半導體物理光電工程學院微電子教學部馮世娟fengsj@2023/3/11第三章半導體中載流子的統計分布引言

半導體的電導率直接依賴于導帶電子和價帶空穴的多少，因此電子在各個能級上如何分布是個根本問題。

前面我們提到半導體是熱敏的。這是因為在平衡時，半導體中的載流子是由熱激發產生的。處于低能級上的電子，如價帶電子，可以從晶格的熱振動或晶體中的熱輻射獲得能量，躍遷到高能態導帶中去。溫度愈高，熱激發愈頻繁，因此載流子的多少與溫度有密切聯系。這一章就是要討論在包括有雜質存在的半導體中載流子的數目及其隨溫度的變化。2023/3/12引言熱平衡和熱平衡載流子本征激發：電子+空穴雜質電離：電子or空穴同時，電子可以從高能量的量子態躍遷到低能量的量子態，并向晶格放出一定的能量，從而使導帶中的電子和價帶中的空穴不斷減少。這一過程稱為載流子的復合。在一定溫度下，載流子的產生和復合將達到動態平衡——熱平衡狀態。這時，半導體中的導電電子濃度和空穴濃度都保持一個穩定的數值，這種處于熱平衡狀態下的導電電子和空穴稱為熱平衡載流子。2023/3/13引言2023/3/14引言解決問題的思路：熱平衡是一種動態平衡，載流子在各個能級之間躍遷，但它們在每個能級上出現的幾率是不同的。要討論熱平衡載流子的統計分布，首先要解決下述問題：1）載流子在允許的量子態上的分布函數（幾率函數）2）允許的量子態按能量如何分布——能量狀態密度g（E）2023/3/15第三章半導體中載流子的統計分布3.1狀態密度3.2費米能級和載流子的統計分布3.3本征半導體的載流子濃度3.4雜質半導體的載流子濃度3.5一般情況下的載流子統計分布（自學）3.6簡并半導體2023/3/163.1狀態密度1.三維情況下的自由電子氣（復習）三維情況下自由粒子的運動遵循薛定諤方程考慮在邊長L的立方體中的電子要求波函數是x、y、z的周期函數，周期為Lk的分量是這個問題的量子數，此外，還要考慮自旋方向的量子數。2023/3/173.1狀態密度三維情況下電子每個允許狀態可以表示為k空間中一個球內的點，它對應自旋相反的兩個電子，二者的能量相同。波矢分量kx、ky、kz量子化的結果是：k空間中每個最小允許體積元是(1/L)3，即這個體積中指存在一個允許的波矢（電子態），由一組三重量子數kx、ky、kz決定。考慮自旋，k空間的態密度為k空間中，電子態是均勻分布的。2023/3/183.1狀態密度2.

狀態密度的定義單位能量間隔內的狀態數目k空間考慮自旋后的態密度為按能量分布的狀態密度能量變化dEk狀態變化dkk空間體積的變化dΩ*狀態數的變化dZE-k關系2023/3/193.1狀態密度例子：球形等能面導帶的E-k關系球形等能面方程球體的體積當E→E+dE時，球體的半徑k→k+dk球體體積Ω*→Ω*+dΩ*狀態數Z→Z+dZ2023/3/1103.1狀態密度導帶中單位能量間隔的狀態數——狀態密度2023/3/1113.1狀態密度價帶中單位能量間隔的狀態數特點：狀態密度與能量呈拋物線關系有效質量越大，狀態密度也越大僅適用于能帶極值附近2023/3/1123.1狀態密度橢球等能面（導帶）實際半導體中，導帶存在多個極值2023/3/1133.1狀態密度考慮到Si、Ge的導帶底存在s個極值導帶底電子狀態密度有效質量2023/3/1143.1狀態密度Si、Ge的價帶頂，處于k=0處，等能面為球面，有兩支，一為重空穴

一為輕空穴價帶的總狀態密度價帶頂空穴狀態密度有效質量2023/3/1153.1狀態密度一維三維二維2023/3/1163.2費米能級和載流子的統計分布1.費米分布函數f（E）能量為E的一個量子態被一個電子占據的幾率為EF——費米能級（化學勢）熱平衡系統具有統一的化學勢統一的費米能級決定EF的條件：2023/3/1173.2費米能級和載流子的統計分布費米分布函數的性質費米能級的意義：標志了某能級被電子占據的水平2023/3/1183.2費米能級和載流子的統計分布費米分布函數中，若E-EF>>k0T，則分母中的1可以忽略，此時玻爾茲曼分布函數2023/3/1193.2費米能級和載流子的統計分布費米—狄拉克統計只容許每個量子態最多被1個電子占據（每個能級最多被2個自旋相反的電子占據——泡利不相容原理）。在f~0的情況下，這種限制所帶來的影響將是很小的。因此費米分布和玻爾茲曼分布趨于一致。服從玻爾茲曼分布的電子系統——非簡并系統相應的半導體——非簡并半導體服從費米分布的電子系統——簡并系統相應的半導體——簡并半導體2023/3/1203.2費米能級和載流子的統計分布電子的費米分布函數空穴的費米分布函數電子的玻爾茲曼分布函數空穴的玻爾茲曼分布函數2023/3/1213.2費米能級和載流子的統計分布在多數情形下，半導體中的EF在離開帶邊若干k0T的禁帶中。這時，導帶能級被電子占據的幾率很小，價帶能級被空穴占據的幾率也是很小的。電子和空穴的多少顯然依賴于費米能級的位置。費米能級愈靠近導帶，則導帶中電子濃度愈高，半導體表現為n型；反之，當費米能級靠近價帶時，則表現為p型。2023/3/1223.2費米能級和載流子的統計分布2.導帶電子和價帶空穴濃度導帶電子濃度導帶中的電子數目導帶中電子濃度設EC-EF>>k0T，則可采用下列近似

采用玻爾茲曼分布函數

gc適用整個導帶

積分上限改為∞2023/3/1233.2費米能級和載流子的統計分布2023/3/1243.2費米能級和載流子的統計分布定義：導帶有效狀態密度熱平衡下，導帶電子濃度不是一個常數，而是溫度的函數2023/3/1253.2費米能級和載流子的統計分布價帶空穴濃度價帶有效狀態密度2023/3/1263.2費米能級和載流子的統計分布3.載流子濃度的乘積只與mn*、mp*、Eg和T有關，與EF和摻雜濃度無關。材料參數無論本征半導體，還是雜質半導體，只要是熱平衡下的非簡并半導體，都適用。2023/3/1273.2費米能級和載流子的統計分布兩個結論：1.當材料一定時，n0、p0隨EF和T而變化；2.當溫度T一定時，n0×p0僅僅與材料相關。2023/3/1283.3本征半導體的載流子濃度1.本征載流子濃度ni沒有雜質、沒有缺陷的半導體，其費米能級和載流子濃度只由材料的本征性質決定，故稱為本征半導體。本征半導體的電中性條件將Nc、Nv代入2023/3/1293.3本征半導體的載流子濃度ni與禁帶寬度Egni與溫度T測量值2023/3/1303.3本征半導體的載流子濃度注意：對于某種特定半導體，T確定，ni也確定。室溫下：斜率極限工作溫度Si：520KGe：320KGaAs：720K“高溫”半導體2023/3/1313.3本征半導體的載流子濃度本征載流子濃度的意義可作為判斷半導體材料的熱平衡條件。當半導體處于熱平衡時，載流子濃度的乘積n0×p0保持恒定，如果電子的濃度增加，則空穴的濃度要減少；反之亦然。

——針對非簡并半導體而言因此，若已知ni和一種載流子濃度，則可根據上式求出另一種載流子濃度。2023/3/1323.3本征半導體的載流子濃度2.

本征半導體費米能級的位置由電中性條件本征半導體的費米能級Ei基本位于禁帶中線處2023/3/1333.3本征半導體的載流子濃度本征費米能級位于禁帶中線處，滿足n0＝p0的關系。但是由于導帶有效狀態密度Nc和價帶有效狀態密度Nv中分別含有電子狀態密度有效質量mdn和價帶空穴狀態密度有效質量mdp。由于兩者數值上的差異，使本征半導體的費米能級偏離禁帶中央。如果費米能級偏離禁帶中線很小，可以認為費米能級基本上位于禁帶中央。2023/3/1343.4雜質半導體的載流子濃度1.

雜質能級上的電子和空穴雜質能級的分布函數：電子或空穴占據雜質能級的幾率能帶中的能級——可以容納2個電子雜質能級——只可以容納1個電子↑↓↑↓全空↑↓全空2023/3/1353.4雜質半導體的載流子濃度可以證明見補充材料：電子占據雜質能級的幾率(1)電子占據施主能級的幾率討論：1°當ED>>EF時，fD(E)→0

2°當ED<<EF時，fD(E)→13°當ED=EF時，fD(E)=2/3(2)空穴占據受主能級的幾率E-EFED-EF2023/3/1363.4雜質半導體的載流子濃度電子占據雜質能級的幾率*雜質能級最多只能容納某個自旋相反的電子gD和gA分別是施主和受主的基態簡并度2023/3/1373.4雜質半導體的載流子濃度請分別說明施主和受主雜質能級位于費米能級之上、之下和等于費米能級時的雜質電離情況施主：雜質能級位于費米能級之上全電離雜質能級位于費米能級之下幾乎不電離雜質能級等于費米能級1/3電離受主：雜質能級位于費米能級之上幾乎不電離雜質能級位于費米能級之下全電離雜質能級等于費米能級1/3電離2023/3/1383.4雜質半導體的載流子濃度幾個概念施主能級上的電子濃度nD電離的施主濃度nD+（未電離的施主濃度）受主能級上的空穴濃度pA電離的受主濃度pA-（未電離的受主濃度）2023/3/1393.4雜質半導體的載流子濃度2.單一雜質半導體中的載流子濃度以n型半導體為例電中性條件和EF假設只含一種雜質，雜質濃度為ND，施主能級為ED。在熱平衡條件下，半導體是電中性的：導帶電子濃度價帶空穴濃度電離施主濃度總的負電荷濃度總的正電荷濃度只要T確定，EF就能確定，n0、p0隨即確定2023/3/1403.4雜質半導體的載流子濃度分不同溫區進行討論(1)低溫弱電離區≈02023/3/1413.4雜質半導體的載流子濃度(2)中等電離區=χ22023/3/1423.4雜質半導體的載流子濃度討論：→0時，低溫弱電離區>>1時，強電離區(3)強電離區電中性方程χχ2023/3/1433.4雜質半導體的載流子濃度注意a低溫弱電離區強電離區EF在ED上EF在ED下當EF=ED，1/3的雜質電離2023/3/1443.4雜質半導體的載流子濃度注意b弱電離與強電離的區分決定因素雜質電離能雜質濃度溫度一般認為：室溫下雜質全部電離2023/3/1453.4雜質半導體的載流子濃度(4)過渡區（強電離區→本征激發區）此時需要考慮本征激發電中性條件EF！2023/3/1463.4雜質半導體的載流子濃度n0、p0的另一種表達雙曲正弦函數2023/3/1473.4雜質半導體的載流子濃度討論更接近強電離區更接近本征區2023/3/1483.4雜質半導體的載流子濃度(5)高溫本征激發區在此溫度下，和本征半導體的情況類似2023/3/1493.4雜質半導體的載流子濃度小結（對于n型半導體）——EF隨T的變化2023/3/1503.4雜質半導體的載流子濃度小結——電子濃度n0隨T的變化2023/3/1513.4雜質半導體的載流子濃度小結——EF隨ND的變化以室溫為例，此時雜質幾乎全部電離EF——反映半導體的導電類型和摻雜水平ND高強n型NA低弱p型NA高強p型ND低弱n型本征高度補償2023/3/1523.4雜質半導體的載流子濃度3.少數載流子濃度多數載流子少數載流子n型半導體電子空穴p型半導體空穴電子2023/3/1533.4雜質半導體的載流子濃度與雜質濃度的關系與溫度的關系2023/3/1543.4雜質半導體的載流子濃度基本要求能夠寫出只摻雜一種雜質的半導體的電中性方程能夠熟練計算室溫下的載流子濃度和費米能級在摻雜濃度一定的情況下，能夠解釋費米能級、多子濃度隨溫度的變化關系2023/3/1553.4雜質半導體的載流子濃度例題1室溫下,已知硅的p0=0.5×1010cm-3，其Eg=1.12eV，Nc=Nv=1019cm-3，求:

(1)電子濃度n0；

(2)EF的位置；

(3)該半導體的類型。2023/3/1563.4雜質半導體的載流子濃度例題2

若兩塊Si樣品中的電子濃度分別為2.25×1010cm-3和6.8×1016cm-3，試分別求出其中的空穴的濃度和費米能級的相對位置，并判斷樣品的導電類型。(假定為室溫)2023/3/1573.4雜質半導體的載流子濃度例題3證明n型半導體的EF大于本征半導體的Ei。2023/3/1583.4雜質半導體的載流子濃度例題4如果半導體只含有濃度為ND的施主，當溫度升高到

求證，費米能量EF具有最大值

2023/3/1593.4雜質半導體的載流子濃度例題5若Si中的ND＝1×1017cm-3，△ED＝0.012eV，求施主雜質3/4電離時所需的溫度。2023/3/1603.4雜質半導體的載流子濃度根據具體條件，寫出電中性方程代入相應的公式求解費米能級和載流子濃度其他相關參數（如溫度）2023/3/1613.4雜質半導體的載流子濃度作業：P81:1、2、7、15、18補充1：設二維正方格子的晶格常數為a，若電子能量為：E(k)=h2(kx2+ky2)

/2mn*，求狀態密度。補充2：三塊硅材料，室溫下（300K）空穴濃度分別為：p01=2.25×1016cm-3，p02=1.5×1010cm-3，p03=2.25×104cm-3。(1)

求三者的電子濃度n01，n02，n03；(2)

判斷三者的類型；

(3)計算三者的EF位置。

2023/3/1623.5一般情況下的載流子統計分布自學：p70-7410-15min主要內容：電中性方程的一般形式用解析法求解載流子濃度及費米能級2023/3/1633.5一般情況下的載流子統計分布1.兩種雜質情況以ND>NA為例電中性條件分溫區進行討論僅EF和T未知2023/3/1643.5一般情況下的載流子統計分布(1)低溫弱電離區∵ND>NA受主雜質全電離n型半導體同時，極低溫度下，施主雜質不能完全電離，所以EF位于ED上下。分情況討論2023/3/1653.5一般情況下的載流子統計分布(1)低溫弱電離區a.極低溫度下此時2023/3/1663.5一般情況下的載流子統計分布(1)低溫弱電離區b.溫度升高此時(類似于單一雜質情況)2023/3/1673.5一般情況下的載流子統計分布綜上所述，對于ND>>NA的情形，載流子濃度(取對數坐標)對1／T的曲線將出現斜率不同的兩個區域，低溫下的斜率為較高溫度下斜率的兩倍．發生轉折的電子濃度應為受主濃度。摻雜濃度為7.41014cm-3的p型Si的實際測量結果。由發生轉折的空穴濃度可以定出其中所含施主濃度約為1011cm-3。2023/3/1683.5一般情況下的載流子統計分布(1)低溫弱電離區c.一般情形2023/3/1693.5一般情況下的載流子統計分布(2)強電離區即需要考慮雜質的補償作用(3)過渡區2023/3/1703.5一般情況下的載流子統計分布(4)高溫本征激發區此時和本征半導體相同注意：少數載流子濃度仍然為非簡并系統的熱平衡狀態2023/3/1713.5一般情況下的載流子統計分布2.多種施主、受主并存基本要求1）掌握半導體同時含有施主雜質和受主雜質情況下電中性方程的一般表達式。2）能較熟練地分析和計算補償型半導體的載流子濃度和費米能級（強電離區）2023/3/1723.5一般情況下的載流子統計分布小結請同學們自己總結摻雜半導體，在各溫區下的電中性方程！電中性方程低溫弱電離區強電離區過渡區高溫本征激發本征n型p型ND>NA2023/3/1733.6簡并半導體1.簡并的出現以摻某種n型雜質為例，在室溫下，處于強電離區此時，當玻爾茲曼統計不再適用~1必須考慮泡里不相容原理，采用費米統計分布——載流子的簡并化簡并半導體2023/3/1743.6簡并半導體2.簡并半導體的載流子濃度仍以摻某種n型雜質為例費米積分!!!2023/3/1753.6簡并半導體3.簡并化條件非簡并與簡并情況下的相對誤差則，相對誤差非簡并簡并弱簡并2023/3/1763.6簡并半導體簡并化條件n型p型2023/3/1773.6簡并半導體簡并臨界濃度的估算2023/3/1783.6簡并半導體一般來說，半導體發生簡并時，摻雜濃度接近或大于導帶底有效狀態密度Nc（價帶頂有效狀態密度Nv）。對于雜質電離能小的雜質（容易電離），則雜質濃度較小時就會發生簡并（容易簡并化）。對于不同種類的半導體，因導帶底有效狀態密度和價帶頂有效密度各不相同。一般規律是有效狀態密度小的材料，其發生簡并的雜質濃度較小。2023/3/1793.6簡并半導體簡并濃度的正式計算強簡并條件注意：Nc與溫度有關2023/3/1803.6簡并半導體4.簡并時雜質的電離情況非簡并時，室溫下，通常EF<ED，nD+≈ND簡并時，EF≥EC，則nD+<ND簡并時，雜質不能充分電離簡并半導體電子濃度較高，費米能級遠在施主能級之上，使施主