梯形問題見輔助線的法梯形是在學習了三角形和平行四邊形后學習的又一種特殊的四邊形，因此，利用化歸的思想方，我們可利用平移、旋轉等作出輔助線，通過割補、拼接，把梯形的問題轉化為我們已經熟悉和解了的三角形和平行四邊形問題，從而用三角形和平行四邊形的有關知識解決梯形問題。下面通過例題具說明梯形問題常見的輔助線的做法及其應用。一、平梯一，將形轉成行邊。即過梯形上底或下底的一個端點作一腰的平行線，將梯形分割成三角形和平行四邊形，并出現下底的差，利用這些條件解決所給的問題。例、圖1，在梯形ABCD中AD∥BCAB=DCBD⊥DC且平分ABC，若梯形的周長為20cm，此梯形的中位線長。解如圖，過點D作DEAB交BC于E由已知ADBCAB=DCBD平分

B

ADE圖1

CABC，易得：四邊形ABED為菱形從而有AD=BE=DE=DC，BD⊥，∴EC=BE=AD=AB=DC，又∵梯形的周長為，∴AD=4cm，BC=8cm∴梯形ABCD的中位線長為

12

（4+8）=6cm。二平梯的條角，梯轉化平四形直三形即過梯形上底或下底的一個端點作一條對角線的平行線，將梯形割補成與之等積的三角形，并現上下底的和，利用這些條件解決所給的問題。例如圖2形ABCD中，AD∥線ACAC=5cm，

A

則該梯形中位線的長等于。

B

E解如圖2，過點DE∥交的延長線于E則由已知得AD=CE，DE=AC，⊥。BE=BD2DE522cm

圖∴梯形中位線的長等于

(ADBC)BE

=6.5cm。填6.5思：別過、、點作對角線的平行線，是否可以解出此題呢？（提示：可以，解法同上三過上的個點梯的高，將形成個角形一矩。例、圖3，在梯形ABCD中，已知∥BCBC=BDAD=AB=4cmA=120，求梯形的積。

A

D解如圖3，分別過點A、作AEBC，DFBC，垂足分別是E、F，則由已知易得：∠EAB=∠，eq\o\ac(△,Rt)AEB和eq\o\ac(△,Rt)中，AE=2cm，cm，

B

E

圖3

F

C∴BD=BC=43cm，

0000∴梯形的積S=

1(BC)(43)3)cm。22四延梯兩交一，成個似角。例4如圖4梯形ABCD中AB∥，∠A+∠B=90，AB=a，CD=b、分是、CD點，求EF的。解如圖，延長AD、BC交G連結GE、GF1∵∠A+∠，∴AGB=90。CD，GF=2

D

E

C∴GE=DEGF=AF，∴∠∠AGE，∠∠AGF。

A

F

B圖4∵AB∥，∠∠GAF∴∠AGE=∠AGF。∴GE、三在同一條直線上，-GE=

11-（22說明：此題也可以通過過點E平移兩腰來求得，請同學們自己練習。五連結底一點一的中，延長交底延線一將形補與等的角。例、圖，在梯形ABCD中，AD∥，、N別為、DC的中。1（）證MN∥，MN=（BC+AD2

M

A

D

N（若ADBC=12四形ADNM面積等于10求四邊形MNCB的面積。

P

B

C解1連結并延長交CB的延線P，則由已知易證△ADM≌△BPM

圖5∴DM=MPDN=NC∴∥且MN=

111PCMN∥BCPC=（BC+AD222（設AD=x則BC=2x∴MN=

33x由四邊形ADNM的面積四形MNCB面積=[（x+：22137[（x+2x]，：四邊形MNCB的=·=14。2275六作形中線將個形化兩梯。例、圖6，已知四邊形ABCD中∥BC若DAB的平分線AE交CD于E，連結BE，BE平分∠ABC求證：AB=AD+BC證：AB中F，連結EF∵AD∥BC，∴DAB+∠CBA=180∵∠CBE=∠ABE，∠DAE=∠BAE，∵EBA+∠EAB=900∴∠BF=EF=AF∴AD∥EFBCEF是梯的中位線，1∴AB∵AF=BFCE=DE∴EF=（AD+BC）AB=AD+BC。2七、連上的端與條角線中，長下交一，造

BFCE圖6AEH

G

D

ADF等角。例、如圖7，在梯形中AD∥BCEF是梯的中位線，連結AC交EF

B

K圖7

C

22于G，BD交EF于H，若AD：BC=2，則HG：AD于（）22A．1：B．：C．：3．：3解如圖，連結AH并長交BC于，易證ADH△KBH∴AH=HK，AD=BK，又AG=GC，∴HG∥，HG=

1113KC=（）（∵BC=AD∴HG=AD∴應選B。2222由此題的證明可得如下結論結形兩條對角線的中點所得線段行于兩底且等于兩底差的半。八作置等梯，造行邊。例8、已知直角梯形ABCD中，ABCD，∠A=D=90，BC=AB+CD，為AD的中。求證CP⊥。證：圖8，作與梯形ABCD等的梯形ACBD，則由已知可四

B

'

DCP邊形CBCB為菱形，∵P為AD點，P菱形的對稱中心，即P為菱

C

'

A

B圖8形兩對角線的交點，CC⊥BB即CPPB九過腰中作一的行，兩（其長）交，梯割成之積平四邊。

A

F例、知為形ABCD腰CD的點。求證：

S

ABE

12

S

.

E

證：如過作FHAB，分別交BC和AD的長線于H、，則11，因此，S。HCEDFEABHF

B

圖9

H

C說：題還可延長BE交AD的延線于G，將梯形問題化為三角形問題來證。十作形對線將形割兩三形例10在直角梯形ABCD中AB∥DC,AD⊥DC,AB=BC,又⊥BC于E。證CD=CE.證：圖10連結AC，AB=BC，∴∠∠CAB=∠，AD⊥，AE⊥BC，AAC=AC，△ADC≌AEC，∴。圖10十、等梯的稱。例11、在梯形ABCD中AD∥BCAB=CD。試在梯形內部求一點O，使OA=OB=0C=0D。作法：如圖11）兩底的垂線分別交兩底ADBC、N；A（AB的直平分線交MN于O點，點O為求。證：梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，對稱軸MN為底公用垂直平分線。∵AB垂平分線交MN于點∴OA=OB且OA=ODOB=OCB故OA=OB=0C=0D。∴點O為所。圖11

ED

B

C

000相練：0001、在課外活動課上，老師讓同們作一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風箏，其面積為450cm則對角線所用的竹條至少需（）AEquation.DSMT4

2

cmBCD60EMBEDEquation.DSMT4

2

cm2、已知一個梯形的四條邊的長別為，，，。則此梯形的面積等于（）A.4B.6C.

D.

103

23梯形ABCD中，AD∥中線EF分別BD于點H若則GH=。4、四邊形ABCD中AB∥CD，D=2B，若求CD的長5、梯形ABCD中，AB∥，∠A=90

0

，AB=4，CD=3，BC=7，為AD邊的點，求O到的距。6、在梯形中AD∥，B=30，C=60E、、、分別AB、、、的中。知BC=7，。EF的值。7、接凸四邊形一組對邊中點線段等于另一組對邊和的一半。問這個凸四邊形是什么四邊形？試證明你的結論。8、在等腰梯形ABCD中AB∥，ABC=60AC分∠DABE、F分是對角線、BD的點且EF=a，試求梯形的積。答與示1、C2、只有以1、4為