2021年甘肅省武威九中、愛華育新學校、新起點學校中考數學

二模試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）-2019的相反數是（）

A.—」B.2019C.-2019D.--」

20192019

2.（3分）華為Mate2G手機搭載了全球首款7納米制程芯片，7納米就是0.000000007米.數

據0.000000007用科學記數法表示為（）

A.7X10"B.0.7X10-8c.7X1。"D.7X10-9

3.（3分）拋物線〉=-（》+1）2-2的頂點坐標是（）

A.（1,2）B.（1,-2）C.(-1,2)D.(-1,-2)

4.（3分）下列各式正確的是（）

A.2a2+3a1—5a4cB.2/3

C.（a2）3—a5D.日?

5.（3分）如圖，圓錐的主視圖是（）

C.D.

6.（3分）若關于x的一元二次方程，-2x+〃?=0沒有實數根,則實數m的取值范圍是（）

A./n<lB.m>-1C.m>1D.m<-1

7.（3分）我省2013年的快遞業務量為1.4億件，受益于電子商務發展和法治環境改善等多

重因素，快遞業務迅猛發展，則下列方程正確的是（）

A.1.4（1+x）=4.5

B.1.4（l+2x）=4.5

C.1.4（1+x）2=4.5

D.1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5

8.（3分）如圖所示，邊長為1的小正方形構成的網格中，半徑為1的0。的圓心。在格點

上（）

A.在B.2&C.2D.A

552

9.（3分）如圖，二次函數y=o?+法+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為（工，1）,

2

下列結論：①帥c<0；?4ac-b2=4a；@a+b+c<0.其中正確的有（）個.

10.（3分）邊長為1的正方形A8CQ中，點E在CB延長線上，連接交AB于點F（0.2

WxW0.8）,EC=y.則在下面函數圖象中，大致能反映y與x之間函數關系的是（）

E

RC

二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）因式分解：x1y-4y~.

12.（3分）已知一個三角形的兩邊長是3和4,第三邊的長是方程f-6x+5=0的一個根，

則該三角形的周長是.

13.（3分）如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”.則半徑為2

的“等邊扇形”的面積為.

14.（3分）如圖所示,AB是。。的直徑，弦CD±AB于H,8=2/§,則0。的半徑是.

15.（3分）如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點0）,則小

明的影子AM長為米.

,4

16.（3分）如圖，已知BC=EC,NBCE=NACD,則應添加的一個條件為.（答

案不唯一，只需填一個）

17.（3分）在中，E是4。上一點，且點E將40分為2：3的兩部分，貝US^AEF：

SACBF是______________

18.（3分）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值上稱為這個等腰三角形的

“特征值”.若等腰△ABC中，乙4=80°,則它的特征值上=.

三、解答題（共10小題，共66分，解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟）

19.（5分）計算：（A）-1-2cos30°+V27+（2-IT）0

2

21

20.（6分）化簡求值：（一--I）4--1,其中x=2.

212工

X-1X+x

21.（6分）已知：如圖，平行四邊形A8CQ的對角線AC的垂直平分線與邊A。、BC分別

交于E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.

22.（6分）某校為了解初中學生每天在校體育活動的時間（單位：〃），隨機調查了該校的

部分初中學生.根據調查結果，繪制出如下的統計圖①和圖②.請根據相關信息

（I）本次接受調查的初中學生人數為，圖①中機的值為

（II）求統計的這組每天在校體育活動時間數據的平均數、眾數和中位數；

（III）根據統計的這組每天在校體育活動時間的樣本數據，若該校共有800名初中學生,

估計該校每天在校體育活動時間大于\h的學生人數.

23.（5分）為紀念建國70周年，某校舉行班級歌詠比賽，歌曲有：《我愛你，《歌唱祖國》,

《我和我的祖國》（分別用字母A,B,C依次表示這三首歌曲），將A,B,C這三個字

母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上，八（1）班班長先從中隨機抽取一張卡片，

放回后洗勻（2）班班長從中隨機抽取一張卡片，進行歌詠比賽.

（1）A（1）班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是；

（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果，并求出八（1）班和八（2）

24.（7分）如圖，點A的坐標為（3,2）,點B的坐標為（3,0）

①以點A為旋轉中心，將△AB。順時針方向旋轉90°,得到△A8101；

②以點O為位似中心，將△ABO放大，得到△A2B2O,使相似比為1：2,且點A2在第

三象限.

（1）在圖中畫出△ABIOI和△A2B2。；

（2）請直接寫出點A2的坐標：.

25.（5分）如圖，在某建筑物AC上，豎直掛著“共建文明犍為，小明站在點F處，看條

幅頂端8,再往條幅方向前行10米到達點E處，看到條幅頂端B,求宣傳條幅8c的長

（小明的身高不計，結果精確到0.1米）.73^1.732.

F.

26.(8分)如圖，AB是OO的直徑，點E是俞，NDBC=NBED.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)已知AZ)=3,CD=2,求8c的長.

27.(8分)已知反比例函數丫上的圖象與一次函數戶=辦+〃的圖象交于點4(1,4)和

1x

點3(，*,-2).

(1)求這兩個函數的關系式；

(2)觀察圖象，寫出使得)，1>”成立的自變量x的取值范圍.

28.(12分)如圖，已知二次函數>=/+云+。的圖象與x軸交于點A(1,0)、B(3,0),

與y軸交于點C.

(1)求二次函數的解析式；

(2)若點P為拋物線上的一點，點5為對稱軸上的一點，且以點A、B、P、產為頂點的

四邊形為平行四邊形；

(3)點E是二次函數第四象限圖象上一點，過點E作x軸的垂線，交直線2c于點。

2021年甘肅省武威九中、愛華育新學校、新起點學校中考數學

二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）-2019的相反數是（）

A_J_

B.2019C.-2019D--2019

2019

【考點】相反數.

【解答】解：-2019的相反數為2019,

故選：B.

2.（3分）華為MatelQ手機搭載了全球首款7納米制程芯片，7納米就是0.000（X）0007米.數

據0.000000007用科學記數法表示為（)

A.7X1。-'B.0.7X10-8C.7X10-8D.7X10”

【考點】科學記數法一表示較小的數.

【解答】解：0.000000007=7X10-8；

故選：D.

3.（3分）拋物線y=-（x+1）2-2的頂點坐標是()

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-I,-2)

【考點】二次函數的性質.

【解答】解:

；y=-(x+1)2-5,

頂點坐標為（-1,-2）,

故選：D.

4.（3分）下列各式正確的是（）

23

A.2。2+3/=5。4B.礦?4=4、

C.(fl2)3=/D.

【考點】合并同類項；同底數昂的乘法；哥的乘方與積的乘方；二次根式的性質與化簡.

【解答】解：A、2/+3/=5a，故選項A不合題意;

8、J.”：小,故選項B符合題意；

C、（小）3=小，故選項C不合題意；

D、77=i外

故選:B.

5.（3分）如圖，圓錐的主視圖是（）

【考點】簡單幾何體的三視圖.

【解答】解：圓錐的主視圖是一個等腰三角形，

故選：A.

6.（3分）若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0沒有實數根,則實數m的取值范圍是（

A.m<1B.m>-1C.in>1D.m<-1

【考點】根的判別式.

【解答】解：由題意知，4=4-4%<5,

：.m>\

故選：C.

7.(3分)我省2013年的快遞業務量為1.4億件，受益于電子商務發展和法治環境改善等多

重因素，快遞業務迅猛發展，則下列方程正確的是()

A.1.4(1+x)=4.5

B.1.4(l+2x)=4.5

C.1.4(1+x)2=4.5

D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【解答】解：設2014年與2013年這兩年的平均增長率為x,由題意得：

1.4(5+x)2=4.3,

故選：C.

8.(3分)如圖所示，邊長為1的小正方形構成的網格中，半徑為1的。0的圓心。在格點

A.返B.c.2D.A

552

【考點】圓周角定理；銳角三角函數的定義.

【解答】解：

：.tanZAED=tanZABD=^-=^.

AB2

故選：D.

9.(3分)如圖，二次函數y=/+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為(工，1),

2

下列結論：①帥c<0：③4ac-b2=4a；@a+b+c<0.其中正確的有()個.

【考點】二次函數圖象與系數的關系.

【解答】解：①拋物線開口向下，

：.a<0,

?.?拋物線的對稱軸為x=-旦=3,

2a2

:?b=-。>0,

拋物線與y軸交點在y軸正半軸，

.\c>4,

abc<0,①正確；

②??》=-a,

??ci+b=Ot②正確；

③?.?拋物線的頂點坐標為（2,1）,

2

.\6ac-b2=2,

4a

.\4ac-h2=la,③正確；

④：拋物線的對稱軸為》=上，

2

，x=8與x=0時y值相等，

:當x=0時，y=c>8,

當x=1時，y=a+b+c>0.

綜上所述：正確的結論為①②③.

故選：C.

10.（3分）邊長為1的正方形ABC。中，點E在C8延長線上，連接ED交AB于點F（0.2

WxW0.8）,EC=y.則在下面函數圖象中，大致能反映y與x之間函數關系的是（）

C.。02ORrD.O0?ORr

【考點】動點問題的函數圖象.

【解答】解：根據題意知，BF=1-x,且△EFBS/\E￡)C,

則此理，即1-X-y-1,

DCEC8y

所以y=2(7.2WxW0.5).

x

C、8的圖象都是直線的一部分，A的圖象是雙曲線的一部分.

故選：A.

二、填空題(共8小題，每小題3分，共24分)

11.(3分)因式分解：A-4y=y(x-2)(x+2).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【解答】解：x2y-^y—y(x2-4)—y(x-2)(x+4).

故答案為：y(x-2)(x+2).

12.(3分)已知一個三角形的兩邊長是3和4,第三邊的長是方程f-6x+5=0的一個根，

則該三角形的周長是12.

【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系.

【解答】解：解方程7-6x+4=0得：

xi=2,JC2=5,

?：7〈第三邊的邊長＜7,

.?.第三邊的邊長為5.

這個三角形的周長是7+4+5=12.

故答案為：12.

13.(3分)如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”.則半徑為2

的“等邊扇形”的面積為2.

【考點】扇形面積的計算.

【解答】解：?.?5=Jjr@X2X7=2,

22

故答案為2.

14.（3分）如圖所示，A8是。。的直徑，弦COJ_AB于H,CD=2?,則00的半徑是

【考點】勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【解答】解：連接BC,如圖所示：

是。。的直徑，弦COLAB于”，

ZACB=90a,CH=DH='?

2

；乙4=30°,

：.AC=2CH=2y[l，

在RtZXABC中，/A=30°,

?AC=

：.BC=2,AB=4,

；.0A=5,

即OO的半徑是2；

故答案為：2.

15.（3分）如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點。），則小

明的影子4M長為5米.

【考點】相似三角形的應用；中心投影.

【解答】解：根據題意，易得AMBASAMCO,

根據相似三角形的性質可知迪=3_,即工旦=」L_

OCOA+AM620+AM

解得AM=5m.則小明的影長為5米.

4

16.（3分）如圖，己知BC=EC,ZBCE=ZACD,則應添加的一個條件為AC=C￡>.（答

案不唯一，只需填一個）

C

【考點】全等三角形的判定.

【解答】解：添加條件：AC=CD,

ZBCE=ZACD,

：.NACB=NDCE,

'BC=EC

在△ABC和△￡>匹。中<ZACB=ZDCE>

AC=DC

A/\ABC^/\DEC（SAS）,

故答案為：AC=CD（答案不唯一）.

17.（3分）在。ABC。中，E是上一點，且點E將分為2：3的兩部分,則以AEF:

SACBF是4：25或9：25.

【考點】平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質.

【解答】解：①當AE：ED=2：3時，

：.AE：A￡>=4：5,

在QABCD中，

'：AD=BC,AD//BC,

MAEFsMCBF,

：.AE：CB=AE：AD=2：2,

S^AEF:SACBF是4：25.

②當AE：￡0=3：3時，

同理可得，S^AEF：S^CBF—（―）3=9：25,

5

故答案為：4：25或7：25.

18.（3分）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值Z稱為這個等腰三角形的

“特征值”.若等腰△48C中，NA=80°,則它的特征值&=旦或工.

-5-4~

【考點】等腰三角形的性質.

【解答】解：

①當/A為頂角時，等腰三角形兩底角的度數為：180°-80°

2

特征值％=歿二=&

50°5

②當NA為底角0寸，頂角的度數為：180°-80°-80°=20°

特征值左=地二=工

80°4

綜上所述，特征值/為工或工

54

故答案為B或&

54

三、解答題（共10小題，共66分，解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟）

19.（5分）計算：（工）1-2cos30°+-\/27+（2-n）°

2

【考點】實數的運算；零指數基；負整數指數累；特殊角的三角函數值.

【解答】解：原式=2-2X返+3泥

2

—2-?+5T

=3+6百

21

20.（6分）化簡求值：（」--1）+—i,其中x=2.

212上

X-1X+x

【考點】分式的化簡求值.

21

【解答】解:原式=[xT]*x(x+1)

(x+1)(x-2)(x+4)(x-1)

6?x(x+7)

(x+1)(x-1)

X-l

當x=2時,

原式=_S_=3.

2-1

21.（6分）已知：如圖，平行四邊形ABC。的對角線4c的垂直平分線與邊A。、BC分別

交于E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.

【考點】勾股定理；平行四邊形的性質；菱形的判定；銳角三角函數的定義.

【解答】解：是對角線AC的垂直平分線,

：.OA=OC,ACLEF,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AD//BC,

:.NEAO=/FCO,

'：NAOE=NCOF,

.,.在AAOE?和△C。尸中，

"ZEA0=ZFC0

-AO=CO

ZA0E=ZC0F

.,.△AOE絲△COF(ASA).

：.OE=OF.

四邊形AFCE是平行四邊形,

XVAClfF,

???四邊形是AFCE菱形.

B

22.（6分）某校為了解初中學生每天在校體育活動的時間（單位：/?）,隨機調查了該校的

部分初中學生.根據調查結果，繪制出如下的統計圖①和圖②.請根據相關信息

（I）本次接受調查的初中學生人數為40,圖①中m的值為25；

（II）求統計的這組每天在校體育活動時間數據的平均數、眾數和中位數；

（III）根據統計的這組每天在校體育活動時間的樣本數據，若該校共有800名初中學生,

估計該校每天在校體育活動時間大于球的學生人數.

【考點】用樣本估計總體；扇形統計圖；條形統計圖；算術平均數；中位數；眾數.

【解答】解：（I）本次接受調查的初中學生人數為：44-10%=40,

山％=當、100%=25%,

40

故答案為：40,25；

（II）平均數是.0.2X4+1.6X8+1.5X15+1.8X10+5.IX屋r%

'.40

眾數是1.5〃，中位數是1.5岳

（III）800X處2=720（人），

40

答：估計該校每天在校體育活動時間大于1ft的學生有720人.

23.（5分）為紀念建國70周年，某校舉行班級歌詠比賽，歌曲有：《我愛你，《歌唱祖國》,

《我和我的祖國》（分別用字母A,B,C依次表示這三首歌曲），將4,B,C這三個字

母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上，八（1）班班長先從中隨機抽取一張卡片，

放回后洗勻（2）班班長從中隨機抽取一張卡片，進行歌詠比賽.

（1）A（1）班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是-1;

-3-

（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果，并求出八（1）班和八（2）

【考點】列表法與樹狀圖法.

【解答】解：（1）因為有A,B,C3種等可能結果，

所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是」;

6

故答案為工.

3

（2）樹狀圖如圖所示：

ABCABCABC

共有4種可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率=且=2.

93

24.（7分）如圖，點A的坐標為（3,2）,點B的坐標為（3,0）

①以點4為旋轉中心，將△ABO順時針方向旋轉90°,得到△ABiOi；

②以點O為位似中心，將△ABO放大，得到△A2B2O,使相似比為1：2,且點A2在第

三象限.

（1）在圖中畫出△ABIOI和△42B2O；

（2）請直接寫出點上的坐標：（-6,-4）

.

■..:P

“.t:

m.l.liS

-

m42.:-

.h:

.-

m..u1

.4

all.15

【考點】作圖-位似變換.

【解答】解：⑴如圖，△AB1O1和△A7B2O為所作;

（2）點42的坐標為（-5,-4）.

故答案為（-6,-2）.

25.（5分）如圖，在某建筑物AC上，豎直掛著“共建文明犍為，小明站在點F處，看條

幅頂端B,再往條幅方向前行10米到達點E處，看到條幅頂端B,求宣傳條幅BC的長

（小明的身高不計，結果精確到0.1米）.73^1.732.

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【解答】解：設BC的長為x,

在RtZ\8CF中，

VZBEF=30°,

.?匹=tan3(T=返,

CF3

則CF=y[^x,

在RtZ\BCE中，

VZB￡C=60°,

.,.^^=tan60°=V"§，

CE_

則CE=?x,

3

：EF=10米,

:?小丁旦,

8

解得：x=5y[3^3.1(米).

答：宣傳條幅BC的長約8.4米.

26.(8分)如圖，48是。0的直徑，點E是俞，NDBC=NBED.

(1)求證：BC是。。的切線；

【考點】切線的判定；相似三角形的判定與性質.

【解答】(1)證明：是。。的切直徑，

:.NADB=90°,

又NBAD=NBED,NBED=NDBC,

；.NBAD=NDBC,

NBAD+NABD=NDBC+NABD=90°,

：.ZABC=90a,

；.BC是。。的切線；

(2)解：?:NBAD=NDBC,ZC=ZC,

AABCSABDC,

2

ABC=CD(gpBC=AC'CD=(AD+CD)'CD=10,

CABC

:.BC=K.

27.(8分)已知反比例函數y上的圖象與一次函數”=如+6的圖象交于點A(1,4)和

1x

點8(nn-2),

(1)求這兩個函數的關系式；

(2)觀察圖象，寫出使得)“>”成立的自變量x的取值范圍.

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.

【解答】解：（1）?.?函數yi=K的圖象過點A（1,即4=K,

X1

?M=4,

...反比例函數的關系式為），3=匹；

X

又：點8又,-2）在泗="!上,

X

AH=-2,

：.B（-5,-2）,

又??,一次函數”=QX+〃過A、3兩點，

.?.依題意，得，a+b=5,

I-2a+b=-2

解得卜=5,

Ib=2

一次函數的關系式為y2=3x+2；

（2）根據圖象成立的自變量x的取值范圍為x<-2或0<x<7.

28.（12分）如圖，已知二次函數y=/+〃x+c的圖象與x軸交于點A（1,0）、B（3,0）,

與y軸交于點C.

（1）求二次函數的解析式；

（2）若點P為拋物線上的一點，點尸為對稱軸上的一點，且以點A、B、P、尸為頂點的

四邊形為平行四邊形：

（3）點E是二次函數第四象限圖象上一點，過點E作x軸的垂線，交直線BC于點。

【考點】二次函數綜合題.

【解答】解：（1）用交點式函數表達式得：y=（X-1）（X-3）=笳-以+3；

故二次函數表達式為：y=?-4x+3；

（2）①當AB為平行四邊形一條邊時，如圖5,

則點P坐標為（4,6）,

當點P在對稱軸左側時，即點C的位置、從尸、F為頂點的四邊形為平行四邊形,

故：點P（4,3）或（7；

②當AB是四邊形的對角線時，如圖2,

設點P的橫坐標為m,點F的橫坐標為2里2,

即：匹2=3,

2

故點P(2,-1)；

故：點P(7,3)或(0,-3)；

(3)直線BC的表達式為：y=-x+3,

設點E坐標為(x,7-8x+3),則點。(%,

S四邊形AEBO=AAB(yD-)，E)=-x+3-/+3x--/+6x,

8

V-l<0,故四邊形AEB。面積有最大值，

當》=立，其最大值為旦3,-2).

2624

考點卡片

1.相反數

（1）相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.

（2）相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除。外，互

為相反數的兩個數，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

（3）多重符號的化簡：與“+”個數無關，有奇數個“-”號結果為負，有偶數個“-”

號，結果為正.

（4）規律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“-如a的相反

數是-“，，”+〃的相反數是-（,"+〃），這時機+”是一個整體，在整體前面添負號時，要用

小括號.

2.科學記數法一表示較小的數

用科學記數法表示較小的數，一般形式為“X10”,其中1W間＜10,〃為由原數左邊起第

一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

【規律方法】用科學記數法表示有理數x的規律

X的取值范圍表示方法a的取值n的取值

IM210aX10"整數的位數-1

M<1aXIO"<10第一位非零數字前所有0的個數（含

小數點前的0）

3.實數的運算

（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.

（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

【規律方法】實數運算的“三個關鍵”

I.運算法則：乘方和開方運算、塞的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根

式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

4.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系

數的代數項；字母和字母指數；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會

減少，達到化筒多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母

和字母的指數不變.

5.同底數嘉的乘法

（1）同底數基的乘法法則：同底數基相乘，底數不變，指數相加.

〃是正整數）

（2）推廣：n,p都是正整數）

在應用同底數累的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25,（cP廬）3與（aV）

4,（x-y）2與（x-＞）3等；②。可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只有

相乘時才是底數不變，指數相加.

（3）概括整合：同底數幕的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵.在

運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數累.

6.幕的乘方與積的乘方

（1）易的乘方法則：底數不變，指數相乘.

（/）n=amnCm,〃是正整數）

注意：①基的乘方的底數指的是幕的底數；②性質中“指數相乘”指的是累的指數與乘方的

指數相乘，這里注意與同底數基的乘法中“指數相加”的區別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

（"）”=〃仿"（"是正整數）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘

方的意義，計算出最后的結果.

7.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

8.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注

意運算的結果要化成最簡分式或整式.

【規律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數不能為0.

9.零指數幕

零指數用:a°=l（a#0）

由/勺，"=1,可推出/=1（介0）

注意：0°#1.

10.負整數指數幕

負整數指數累：dp（a#0,P為正整數）

注意：①&W0；

②計算負整數指數塞時，一定要根據負整數指數寨的意義計算，避免出現（-3）一2=（-3）

X（-2）的錯誤.

③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數.

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

11.二次根式的性質與化簡

（1）二次根式的基本性質：

①心NO；心0（雙重非負性）.

②（n）2=4Q20）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）.

'a（a>0）

③、廠?=同=|。（a=0）（算術平方根的意義）

|-a（a<0）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質進行化簡：

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.

yjab="'/a*'\/b（。20,b20）（“20,b>0）

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被

開方數中能開得盡方的因數（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數中每一

個因數（或因式）的指數都小于根指數2.

【規律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

Q）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

12.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

13.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=廬-4對）判斷方程的根的情況.

一元二次方程a/+〃x+c=0（aWO）的根與△=k-4ac有如下關系：

①當△>?時，方程有兩個不相等的兩個實數根；

②當△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數根；

③當△＜（）時，方程無實數根.

上面的結論反過來也成立.

14.由實際問題抽象出一元二次方程

在解決實際問題時，要全面、系統地申清問題的已知和未知，以及它們之間的數量關系，找

出并全面表示問題的相等關系，設出未知數，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關系，

即列出一元二次方程.

15.動點問題的函數圖象

函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中

的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.

用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

16.反比例函數與一次函數的交點問題

反比例函數與一次函數的交點問題

（1）求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數y=?ix和反比例函數y="在同一直角坐標系中的交點個數可總結

X

為：

①當H與上同號時，正比例函數y^k\x和反比例函數y="在同一直角坐標系中有2個交

X

點；

②當k\與12異號時，正比例函數和反比例函數尸占2在同一直角坐標系中有0個交

x

點.

17.二次函數的性質

2

二次函數＞=〃/+加:+。（々W0）的頂點坐標是（-士-,4ac-b）,對稱軸直線

2a4a2a

二次函數（。20）的圖象具有如下性質：

①當時、拋物線以+。（〃W0）的開口向上，xV-上?時，y隨x的增大而減小；

2a

2

X＞-旦時，y隨X的增大而增大；X=-旦時，y取得最小值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當〃<0時，拋物線y=o?+/；x+c（〃?0）的開口向下，x<-±_時，），隨x的增大而增大；

2a

2

X>-旦時，y隨X的增大而減小；x=-旦時，y取得最大值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線>=以2+-+。（aWO）的圖象可由拋物線y=aY的圖象向右或向左平移|--L|個單

2a

位，再向上或向下平移性史上I個單位得到的.

4a

18.二次函數圖象與系數的關系

二次函數y—cu^+bx+c（）

①二次項系數4決定拋物線的開口方向和大小.

當”>0時，拋物線向上開口；當“<0時，拋物線向下開口；間還可以決定開口大小，⑷

越大開口就越小.

②一次項系數b和二次項系數“共同決定對稱軸的位置.

當a與b同號時（即必>0）,對稱軸在），軸左側；當。與b異號時（即"6<0）,對稱軸在

y軸右側.（簡稱：左同右異）

③.常數項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0,c）.

④拋物線與x軸交點個數.

△=廬-4砒>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=/-4“c=0時，拋物線與x軸有1個交

點；△=y-4知<0時,拋物線與x軸沒有交點.

19.二次函數綜合題

（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題

解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系

式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用

將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關鍵

是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數在實際生活中的應用題

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型.關鍵在于觀察、分析、創建，建立

直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的

取值范圍要使實際問題有意義.

20.三角形三邊關系

（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，

只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角

形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時.，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏

的定時炸彈，容易忽略.

21.全等三角形的判定

（1）判定定理1：sss--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若

已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊

對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應

鄰邊.

22.等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中

任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論.

23.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么〃2+廿=02.

（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+/=°2的變形有：?=^c2_b2,人=式五丁及。=石。1

（4）由于aW=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

24.平行四邊形的性質

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

25.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：?.?AB=BC=C￡>=D4；.四邊形ABCD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）.

幾何語言：???ACLBD,四邊形ABCD是平行四邊形...平行四邊形ABC。是菱形

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

27.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都