PAGEPAGE10不等式的證明方法麥蓋提縣庫爾瑪鄉中學買合木提·買買提2012年12月30日

不等式的證明方法不等式的證明方是中學數學的難點和重點，證明不等式的途徑是利用不等式的性質進行代數變形，經常用到的證明不等式的主要方法有基本法如：比較法，綜合法，分析法。其他方法：如反證法，放縮法，數學歸納法，渙元法，構造法和判別式法等。1．證明不等式的基本方法1．1比較法比較法是證明不等式的方法之一，比較法除了比差法之外，還有比商法，它們的解題依據及步具步驟如下：比差法。主要依據是實數的運算性質與大小順序關系。即，基本解題步驟是：作差——變形——判斷符號。作商比較法。當欲證的不等式兩端是乘積形式冪指數式可采用作商比較法。當欲證只需證欲證只需證基本解題步驟是：作商——變形——判斷。（與1的大小）求證：時等號成立。所以成立。已知求證證：又（1）當時，，所以（2）當時所以（3）當時不等式取等號。所以（1），（2），（3）知，不等式成立。1.2．綜合法綜合法就是從已知式已證明過的不等式出發，根據不等式的性質推出，欲證的不等式，通過一系列已確定的命題（包含不等式的性質，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。幾個重要不等式：為實數）同號）（當且僅當時等號成立）例3．已知且求證：證：所以兩邊同時乘得即原不等式成立。1.3．分析法從求證的不等式出發，分析不等式成立的條件把證明這個不等式轉化為判定使這個不等式成立的條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都以具備那么就可以判定這個不等式成立，這種證明方法叫做分析法。例4．求證：證即：因為因為為了證明原不等式成立，只順證明即即即所以原不等式成立。2．證明不等式的其他方法。2.1．反證法。反證法是從假設結論不成立入手，推出與已知條件，假設公里，定理式顯然成立的實相矛盾的結果，從而判定假設錯誤，結論成立，這種方法叫做反證法。反證法屬于間接證法，其主要步驟是：1.作出與命題結論相反的假設。2.在假設的基礎上，經過合理的推理導出矛盾的結果。3.肯定命題的正確性。反證法的原理是《否定》之否定定于肯定。例5.已知求證：證：假設成立則由此得，這是不可能的2.2.放縮法放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做.放縮法。放縮是使用的主要方法有：舍去或加上一些項：如：，，將分母或分子放大（或縮小）例6.求證：證：有原不等式成立。2.3.數學歸納法證明有關自然數的不等式，可以采用數學歸納法順用兩個步聚完成。驗證取第一個數值時，不等式成立，假設取某一自然數時，不等式成立。（歸納假設），由此推演出取時，此不等式成立。例7．求證：證：（1）當時，左邊=1，右邊=2不等式顯然成立。（2）假設時，則時左邊==時不等式也成立。由（1），（2）對于任意的，原不等式都成立。2.4.換元法換元法是指對結構較為復雜的命題，通過恰當入變量代換原命題中的部分式子，簡化原有結構，使其教化未便于研究的形式。例8．若求證證：已知條件令，左端右端即可知原不等式成立。例9．已知求證：證：因為設，其中因為而，2.5．構造法。通常有構造函數，構造復數法，構造方程法。（1）構造函數是將不等式的證明轉化為函數的單調性問題利用函數的單調性建立不等關系，達到證明的目的。例10．已知且求證：證：構造函數函數在上為增函數原不等式成立。構造復數法：例11．已知求證：證構造復數：，，，（3），構造方程法。例12．若且證：證：令則構造方程為方程的兩個根。即但即由于原不等式成立。2.6．判別式法。判別式法是根據已知的或構造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數的根，解集函數的性質等特征確定判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方程。例13．設求證：證：因為的系數為，原不等式成立。不等式的證明涉及到代數，幾何，三角等各方面知識，綜合性較強，題型各樣，一個不等式證明沒有固定的模式，方法多變。因此不等式的基本證明方法是非常必要的，枝巧性很強.

叁考文獻（1）高考完全解讀：王興旺，王先東，徐竟中國青年出版社（88-93頁）（2）高中數學噢林匹克競賽教程浙江教育學會中學數學教學分會編寫，浙江教育出版社（118-127頁）（3）高中數學教與練，伍健中，三環出版社，（213-244頁）（4）基礎數學（上冊