淺析喝牛奶中的數學問題——一節網課錄制后的思考摘要：“喝牛奶中的數學問題”是人教版五年級下冊第四單元"分數的加法和減法"中解決問題的內容，安排在＂分數的意義＂的教學之后，目的是通過對分數意義的理解，借助幾何直觀、數形結合的方法找到變量中的不變量，從而解決問題。關鍵詞：數學問題畫圖分析不變量的思考變式練習喝牛奶問題是建立在學生學習了分數的意義和性質及分數加減法后進行教學的，此時學生還沒有學習分數乘法,所以在"半杯水和牛奶混合物中有多少杯純牛奶和多少杯水"這個知識點上理解起來比較抽象。本節網課教學力求通過運用"數形結合"與"變中不變"等策略來分析解決問題。在上網課之前，我們先來分析下關于喝牛奶的問題，先把這個問題分為兩大類：第一類是多次加水，最后全部喝完，喝的牛奶為一杯，喝的水為每次加水的總和。例如：一杯牛奶，喝了1/2杯后加滿水，又喝1/3杯后加滿水，再喝1/4杯后又加滿水，最后全部喝掉，那么喝了多少杯牛奶？多少杯水？分析：注意全部喝完，所以牛奶是1杯水，掉的是加入的水，第一次喝掉了1/2杯，所以加入了1/2杯水，第二次喝掉1/3杯，所以加入了1/3杯水，第三次喝掉1/4杯，所以加入1/4杯水。水是1/2+1/3+1/4=13/12杯。第二類是多次加水，最后剩余。例如一杯牛奶，喝了1/2杯后加滿水，又喝1/3杯后加滿水，再喝掉1/4杯，那么喝了多少杯牛奶？多少杯水？這種情況下計算方法要分為四個步驟：1、喝掉的液體的總量=牛奶的初始量+多次加水的總量-最后剩余的量，牛奶初始量為“1”，多次加水的總量：1/2+1/3，最后的剩余量：1—1/4，于是1+1/2+1/3+（1—1/4）=31/12；2、剩下的牛奶的量（畫圖分析）從圖中可以看出，剩下的牛奶量是6/24。3、喝掉的牛奶的量=牛奶的初始量-剩余牛奶的量；4、喝掉的水的量=喝掉的液體的總量-喝掉的牛奶的量31/12-3/4=22/12=11/6杯。分析完喝牛奶的問題的類型之后，會發現這類問題的關鍵是在體會"畫圖"策略解決問題的優越性;在變式問題中,借助直觀得出結果,借助直觀發現本質;在陌生問題中,主動運用"畫圖"策略解決問題，在以前我們可以在課堂上可以和學生互動，折紙畫線段圖等方法，而這次的疫情期間，我們要通過網課的形式呈現，如何把這樣一節課讓學生理解呢？我們回到課本中的例題來。例題３：一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了。樂樂一共喝了多少杯純牛奶？我們先來看看題目中的已知條件。出示PPT１：把題目中的兩個關鍵的半杯兩個字劃記出來，雖然兩次喝的都是半杯，但是卻意義不同，我們再次熟讀題目，提取題目中的已知條件，出示PPT２：求一共喝了多少杯純牛奶？一共這兩個字太熟悉了，是用加法計算，第一次喝了半杯就是二分之一杯，如果我們能知道第二次喝的純牛奶是多少杯？這個問題就解決了，但是第二次喝之前，加滿了熱水，所以我們要畫圖分析，到底喝了多少杯純牛奶呢？出示PPT３：具體畫圖分析：牛奶一杯，第一次喝了12

杯純牛奶，這個圖的展示給學生做出很好的示范，利用簡潔的圖形就可以表示出題目中的信息，并能根據圖形直觀進行分析，在此滲透分數的意義，二分之一就是把一杯純牛奶平均分成兩份，其中的一份就是二分之一。加滿水，此時牛奶是12

杯，水是12

杯，注意這里的變化，加入水之后，牛奶被沖淡了，關鍵是牛奶沒有變化，仍然是那么12的一半是多少杯呢？我們可以這樣理解，一半的一半就是14，或者把12化成２4，而２4的一半也是14接下來回答題中的問題，一共喝了多少杯純牛奶？把第一次喝的12杯和第二次喝的14杯相加，12+14

把這樣的異分母分數通分，變成24+1整個題目分析到這里，那么我們怎樣檢驗是否正確呢？我們一起來回憶一下，整個過程加入的是一杯純牛奶和半杯水，最后剩下的是半杯，也就是說喝了總共的一杯，34杯純牛奶和從這個例題來看，屬于我們我們剛開始分析牛奶問題類型中的第二類，兩次加水最后剩余，因為是網課，為了鞏固學生這節課的掌握情況，我在視頻的講解下方還出了三道變式練習題：1.小明喝一杯牛奶，第一次喝了一半后，加滿水;第二次又喝了一半后,又加滿水,最后全部喝完。他喝的牛奶與水比較()A、牛奶多B、水多C、一樣多問題分析解答：這一過程中，一直沒有加牛奶，最后全部喝完，所以共喝了一杯牛奶，又前后共加兩半杯水，，則共喝了一杯水，所以喝的牛奶與水一樣多，所以選C。一杯純牛奶，樂樂喝了杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？畫圖分析：從圖中可以看出，第一次喝了，第二次喝了，就是整體的，解答：喝的牛奶：，因為最開始喝了，再喝半杯，喝了，也就是。喝的水：把平均分成兩份，也就是。3、張師傅加工一批服裝，上半月完成計劃的，下半月完成計劃的，超額完成計劃的幾分之幾？解答：答：超額完成計劃的。我們一起來回顧這節課的講解過程以及之后的變式練習，先是從題目的問題著手，一步步找到題中的有效信息，圈記出來，通過分析，利用了借助畫圖找準標準量，也就是牛奶一直都沒有變化，只是加了水，讓學生體會變量中的不變量，在畫圖分析中利用分數的基本性質進行轉化，從而解決問題。我記得莊子在《天下篇》中說過：一尺之錘，日取其半，萬世不竭，這個問題的數學意義是1/2的n次方當n等于無窮大時，其值不等于0，物理意義是物體具有無限性，可能前提是只要分的手段正確，哲學意義是對事物的認識是無止境的，也就是物體的運動是絕對的。這也如我們的牛奶問題中的數學一樣，在變化中找不變量，數學問題不簡單的等同于生活問題。在數學教學中，還需要對生活問題進行提煉、再加工，促進學生思維的發展和解決問題的策略選擇。【參考文獻】

羅曉喻

《小學數學參考》《小學教學新課程標準》