第5講幾何圖形為背景的特殊四邊形

-(2022青浦、崇明、寶山、嘉定、閔行一模25題解法分析＋經典變式練）

教學重難點

l．理解平行四邊形的性質和判定；

2．能應用平行匹邊形的性質和判定進行相關計算和證明；

3．培養學生能在點的運動過程中尋找平行四邊形，繼而解決相關問題；

4．培養學生分類討論的能力，能應用分類討論思想解決相關問題；

5．體驗運動過程，培養學生動態數學思維能力。

【備注】：

l．根據后面兩個圖讓學生回顧平行四邊形的性質和判定，為后面的例題講解做好準備；

2．部分地方引導學生填空，讓學生自己回顧。時間大概5分鐘。

平行四邊形的性質：

對邊平行J.相子必［對角伐互相平兮

對角相等中心對森汾彩

平行四邊形的判定：

I，角，，對角相等的四邊彤

2邊:(J)丙值對邊今剔平行的四邊彤，＇

＠面值對邊令扒相等的四邊彤，＇

＠一值對邊平行且相等的四邊形。

3對角錢，，對角伐主相平今的四邊彤

【備注】：

l．以下每題教法建議，請老師根據學生實際情況參考；

2．在講解時：不宜采用灌輸的方法，應采用啟發、誘導的策略，并在讀題時引導學生發現一

些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學生在復雜的背景下自已發現、領

悟題目的意思；

3．可以根據各題的“教法指導“引導學生逐步解題，并采用講練結合；注意邊講解邊讓學生

計算，加強師生之間的互動性，讓學生參與到例題的分析中來；

4．例題講解，可以根據“參考教法”中的問題引導學生分析題目，邊講邊讓學生書寫，每個

問題后面有答案提示；

5．引導的技巧：直接提醒，問題式引導，類比式引導等等；

6．部分例題可以先讓學生自己試一試，之后再結合學生做的情況講評；

7．每個題目的講解時間根據實際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時間足夠的情況下

講解。

例1.(2022青浦一模25題）在四邊形ABC肛P,ADIiBC,AB={§,AD=2,DC=2,{§,

-tan乙ABC=2（如圖）．點E是射線AD上一點，點F是邊BC上一點，聯結BE、EF,且乙BEF

＝乙DCB.

(1)求線段B組勺長；

(2)當FB=F職，求線段B庉勺長；

(3)當點礁線段4勵延長線上時，設fJE=x,BF=y,求y關千舶函數解析式，并寫出x

的取值范圍．

AED

BFCc

（備用圖）

【解答】解：(1)如圖1，過點A、D分別作Af!..lBC、DG..lBC,垂足分別為點l/、點G.

ED

r-..尸

..

..

..

1七－一－·~c

FMG

圖1

:.A/IllDC,

·:ADIiBC,

:．四邊形AHCD,是矩形，

:.AD=HG=2,AH=/JG,

在Rt/:..,.AB歷飛

tan乙ABC=2,A廬喬，

骨＝2,

:.AH=2B/J,

·:A片＋朋＝威，

:.(2BH)紅朋＝（五）2,

:.BH=1,

:.AH=2,

:.DG=2,

在RtAD6叫，

沉＝2森，

:.CG＝二司（討正了＝4，

:.BC=Bff+-HG+GC=1+2+4=7;

(2)如圖］，過點E作風1..LBC,垂足為點從

:.AHi/EM,

·:ADIiBC,

:．四邊形AI-IiIfE是矩形，

.".EJW=AH=2,

在RLAD6叫二1,DG=2,CG=4,

:.tan乙DCB=墜＝上，

CG2

·:FB=FE,

:.乙FHB=乙／訪'.

·:乙I,、EB＝乙從？B，

：．乙FBE＝乙從？B，

1

:.tan乙FBE=...!:.....

2

:．墮＝上，

BJl2

:.BM=4,

在Rt6EFA忤，FM+EJ!=Fi!,

:.(4-FB)2+i=F,片，

:.BF=—5;

2

(3)如圖2,過點E作伈V//DC，交比的延長線于點N.

A

NE

BF,·

G0_

圖2

·:DEiiCN,

:．四邊形DCNt:是平行四邊形，

.'.DE=CN,乙儀？B=-乙EIVB,

．．飛FEB＝乙DCB,

：．乙FEB=乙BVB,

又？乙EBF＝乙NBE,

:.6BEF(/)6/3JVE,

:．翌＝豎

BEBN

:.BF=BF?R]\r,

過點E作EQ上BC,垂足為點從

則四邊形D6OE是矩形，

:.EQ=DC=2,

:.BQ=x+3.

:．昭＝0礦＋閔＝（入斗3)2+z2=i+6對13,

:.y(7+x)=i+6x+l3.

x""+6x+1321蠢

··y(O<x<:)·

7+x2

例2(2022崇明一模25題）已知：如圖，正方形的邊長為1，在射線AB上取一點E,聯結

DE，將ADE繞點D針旋轉90°,E點落在點F處，聯結EF,與對角線BO所在的直線交千點

/I{，與射線DC交千點凡求證：

AADD

E

BFc"c

（凸川｀｝｀＆川1寸）

1

(1)當AE=－時，求tanLEDB的值；

3

(2)當如在線段AB上，如果AE=x,FM=y，求y關千x的函數解析式，并寫出定義

域；

1

(3)聯結AM，直線胱與直線BC交于點G,當BG=－時，求A咱勺值．

3

【小問］詳解】解：過點月乍EH上BD與H,

A

D

E

BcF

1

？止方形的邊長為l,AE=~,

3

12

:.EB=1-AE=1--:-=-=-,

33

·:BD為正方形對角線，

·'，出嚴分乙ABC,

:.乙AB[)=45°'

?EH上BD,

:.乙BEf/=180°－乙EBf/-乙EHB=l80°-45°-90°=45°,

:.EH=BH,

2五?1

.·.EH=Bf/=BEsin45=-=-x—=—,AB==BDcos45°,

323

5

:.BD=l+—＝五，

2

心2&

:.DJ/=DB-B/f=J-=,

33

5

EH31

tan乙EDB=—==-·

HD2占2'

3

【小問2詳解】解：如上圖，·:AE=x,

:.BE=l-x,

？將叢ADE繞點陣十旋轉90°，得到叢仄咒

:.CF=AE=x,ED=FIJ=歸廳＋AE2＝匯了，

...BF=BC+C戶l+x,

在Rt兇EB吽薩五百五尸＝J（l-x)2+（l+x)2＝五三了，

·:乙ED廬90°,ED=F!J,

:.6DEP為等腰直角三角形，

:.乙DFE立DEF=45°,

:.乙EB臚乙MFD=45°,

立EAIB=LD.航

：心BEM0公叩lf,

BEBM1-xBM

..?=，即=

DFFM盧y'

．：乙D座互Bl1=45°，乙E｀Bli1F,

...AE即O齲,ffF,

EDEMj三了五－y

＝，即=

..BFBM1+xBM

.·.l—Xx-匯了=-BMx五三5—y

~--l+xy..BM

.1-x五－y

I+xy

.·.,l-X+1+x＝扣－y+y即2＝五了歹，

l+xyl+xy

1

:.y=~(l+x)五三7,O~x~l;

2

1

【小問3詳解】解：當點GBC上，BG=－，

3

？四邊形ABC媯正方形，

:.AD//BC,

:，乙DA臚/BG/lf，乙應佑乙GBM,

...AB6M勺心肌M,

1

:.BGBM31,

==-=-

DADM13

·.．由(2)知叢BE歸AFD,If,

BMBE

MFDF

·:DB=.JAB2+AD2=5,

1

:.BM=—DM,BM+DM飛，

3

$

:.BM=—,

4

五：

:.41-x,

=

y~

1

·:y=~(l+x)五三了，

2

5

4l-X21

:.l＝即l－x=-

—(l+x)三言2,

2

五拉

解xl=了凸＝一了舍去；

A

D

E

c,F

BG

1

當點0在CB延長線上，BG=－，過M但機上BC,交直線BC于L,

3

·..CB//AO,

:.:.乙DAA仁乙BGM,乙AD佑乙GB/rf,

:.ABCM(/)AO兒If,

l

:.BGBM31,

==-=—

DADMl3

1

:.BM=~DM,

3

1

:.BM=::....BD,

2

．：乙LBM=乙CB肛45°,肌J_BC,

心MLB為等腰直角三角形，

...llfL//CD,

占乙LMB=乙CDB,乙L＝乙從鄧，

：心肌B(/)6DCB,

BMML1

==-,C[)=1,

BDDC2

1

:.肌＝－

2

·:ML//BE,

占乙L＝乙F龐，乙LMF=乙BEF,

:.6UfF(/)6BEF,

LMLF

..=

BEBF

13

·:BE=A~AB=入寸，Lr-LB+-BC+Cr-~+l+x=~+x,BF=BC+CF=l+x,

22

13

.--+X

22

x-ll+x

整理得：2x2=4,

解得易＝五，x4=－E舍去，

D

F

占莊的值為—一5或J.

2

例3.(2022寶山一模25)如圖，已知正方形ABCD,將A~堯點戰陟寸針方向旋轉n°(0<n<90)

到A府勺位置，分別過點CD作CEl_BP,DFl_BP,垂足分別為點E、F.

A

C

(1)求證：CE=EF;

DP1

(2)聯結CF,如果=—，求乙ABP的正切值；

CF3

五

(3)聯結AF,如果AF=——AB,求n的值．

2

【小問1詳解】：如圖所示，作CG上CE,交FIY延長線丁6點，

·:CE上BP,.DF上BP,CC上CE,

：，乙EFC=乙FE仁乙EC(}:::.4BE仁90°,

．．．四邊形FEC媯矩形，乙0=90°'

？四邊形ABC媯正方形，

：．乙BC爐90°,B仁!JC,

．：乙BC莊乙BCE斗乙ECD,乙ECG=乙ECD+乙DCC,

：．乙BCE立ECD=乙HCJJ+乙儀右，即：乙BC住乙DCC,

在6BC即6DCG中，｛二言CG

BC=DC

:.6.BCE竺6.DCC(MS),:.C住CC,

:．四邊形FEC衍3正方形，．．．CE=EF;

Al

、

、

、G

1

I

I

I

IC

B

【小問2詳解】解：如圖所示，連接CF,

由（l)知，CB=EF,CE上EF，則叢C應為等腰直角三角形，

由旋轉的性質得：乙PA住礦，卅切切，

11

:.乙PAB=90°+n°,乙AP住一(180°－乙PAD)=90°-~n°,

22

·:AP=AB,

11

:.乙AP臚一080°-LPAB)=45°--:-n°,

22

：．乙FPD=乙APD-乙AP片45°'

·:DF_l_AB,

:.乙DFP=90°,

:.6.DFP也為等腰直角三角形，PF=DF,

:．公DFP0公CEF,

DP1

··-=-

CF3

PFDPl

..=-=-

FECF3

設PF=DF=x，則F住CE=3x,

由(l)知匹邊形Cf穴為止方形，

:.FC=FE=3x,

:.DC=FG譏翌X,

．．心BCh至公儀萬，

占BE=D0=2x,

BE2x2

:．在Rt6.B/Ji沖，tanLBCE=—=—=－，

CE3x3

．：乙ABP+乙EBCc90°,乙EBC＋乙BC住90°'

:.乙ABP=乙BCE,

2

:.tan乙ABP=tan乙BCE=~;

3

AI\/

\

、G

I

I

II

II

BC

【小問3詳解】解：？0<n<90,．．．如圖所示，連接A阱U對角線AC,

由（2)可知，乙EFC=45°，乙坪D=90°':．乙CFD=15°,

·:A切正方形ABC勵對角線，占乙CA莊45°,AC＝邁骯．．．乙CA莊乙CFD,

:.點A、C、[J、岡奶藎共圓，．·.乙AFC=乙A儀芍oo'

拉l

·..AF=—AB,:.AF=—AC,

22

AF1

則在RtAAF砰，sin乙ACF=——=－，

AC2

·:乙ACJ'為銳角，．．乙JIC戶30°'乙FJIC=90°-30°=60°,

·:乙CJID=15°,:.乙FJID=60°-45°=15°,

·:AP=A[),AP=AF,PF=[)R...^』AF腔AAF[),

:.乙FAD=乙FAP-=15°,:.乙PAD=30°,:.rF30.

B-c

例4.(2022嘉定一模25題）在平行四邊形ABC肛刁，對角線AC與邊C庭t直，且i-i，四邊形

AC4

ABCD的周長是16,點E是在兒延長線上的一點，點F是在射線AB上的一點，乙CED=L.

CDP.

(1)如圖l，如果點F與點頌i合，求乙AF莊勺余切值；

(2)如圖2,點岡E邊AB上的一點．設AE=x,BF=y，求y關千x的函數關系式并寫出它的

定義域；

(3)如果BF:FA=l:2,求AC沉的面積．

EE

D

B

A

A-F(B)A

備用圖

圖1圖2

【解答】解：（1)如果點l.？與點肌耜令，設肌與A必臼氣點從

E

圖1

·:AC..lCD,

:.乙DCA=90°,

？四邊形ABC戊違平行四邊形，

:.CD//AB,

：．乙CAB＝乙從？11=90°'

在Rt6CA旰，設心＝3k,

..AB3

.::—'

AC4

:.AC=4k,

:.BC＝五產示了＝5k,

？四邊形IlBC頌］周長是16,

占2(AB+BC)=16,

即2(3k+5k)=16,

:.k=l,

:.AB=3,BC=5,AC=4,

了四邊形ABC廢平行四邊形，

:.AM=CM=上AC=2,

2

:.cot乙AFD=坐呈；

戰2

(2)解：·:CD/IAB,

：．互沉＝乙J，加，乙C/)F＝乙AF從

．：乙CED＝乙CDF,

：．乙CED＝乙莊D,

:.6CDH(/)6DAF,

..·DE::DC,

沁rAD

由題意，得AD=BC=5,DE=x-5,DC=AB=3,AF=3-y,

.?.x-5::_3,

3-y5

534

:.y=一一x十一一，

33

定義域是：5<x~且生

5

(3)觥：點戌E射線AB卜都能得到：6CDE(/)6DAF,

·Si:i..CDE,DC

..s=(—)2,

兇DAFAD

＠當點卜在邊Ajj上，

·:BF:/<"11=1:2,AB=3,

占AF=2,

由題意，得S^/)嚇＝上AF?AC,

2

·:AC=4,

11

??.st:,.fJ.-產一汪?AC=-;::X2X4=4,

22

?sw~CDE,32

＝（一），

45

_36

:.s.6.C!Jt--—,

25

＠當點F在A所向延長線上，

._.BF:fJl=l:2,AB=3,

:.AF=6,

山題意，得S兇產=_!_AF?AC,

2

1

:.s.6.JJ.·J產一AF?AC=I2,

2

?sw~CDE,32

=

12（一5）

:.St:,.1:{)F=108

25

綜上所述，AC肌的面積是且婦戈基座

2525

例5(2022閔行一模25題）已知四邊形ABCD是菱形，AB=4,點E在射線CB

上，點F在射線CD上，且LFAF＝乙BAD.

(1)如圖，如果L'BAD=90°,求證：AE=AF

ADF

EB

(2)如圖，當點E在CB的延長線上時，如果L.ABC=60°,設

AF

DF=x=y,試建立Y與X的函數關系式，并寫出X的取值范圍

'AE—

EBC

(3)聯結AC,BE=2,當叢從艾是等腰三角形時，請直接寫出DF的長．

【小問l詳解】解：證明：．．．四邊形ABCD是菱形，乙BAD=90°,

···菱形ABCD是止方形，

:.L.BAE＝韁C=吵F=90°,AD=AB,

Q乙BAE＝乙DAF,

．．．碑E蘭吵F(ASA),

:.AE=AF;

【小問2詳解】解：如圖1,

EB

圖1

在AD上截取DG=DF,．．．四邊形ABCD是菱形，

．．．吵F＝組C=60°,AD=AB=6,:.Af.兀F是正三角形，

．．．乙DFG=60°,GF=DF=DG=x,．．．乙4.GF＝乙ABE=l20°,AG=4-x,

AFAG4-x

·:LBAE=LDAF,．互侐EV)叢GF,.·.—=—,:.y=—(O<x<4);

AEAB4

【小間3詳解】如圖2,

A

.

EB-Hc

圖2

當AE=AC時，作AHJ_CE于H,以F為圓心，DF為半徑畫弧交AD千G，作

FN..lAD于N,

I__1

:.CH=-:-CE=-:-x(4+2)=3,乙FND=LAHB=90°,乙D＝乙FGD,DG=2DN,

22

:.BH=BC—CH=4-3=1,

？四邊形ABCD是菱形，

．·,心＝乙鈕C,

．．．碑HOAFND,LAGF＝乙ABE,

.DNBH1

..-=-=-,

DFAB4

.DG1

..-=-@,

GF2

Q乙BAE＝乙DAF,

．＼碑EOA4GF,

.AGGF

..=,

ABBE

.4-DGGF

..=—@,

42

由0＠得，

8

GF=-,

5

8

:.DF=—,

5

如圖3,

DN~·G

,............

:.:

;·

..:.

..F

...

E;\···'c

HB

囡3

當AC=CE=6時，作AHJ_CE千H,以F為圓心，DF為半徑畫弧交AD于G，作

FNJ_AD于N,

作BMJ..AC于M,

I

:.CM=~AC=3,

2

:.BM=~飛，

ll

由S叢BC=-;:AC-BM=-;:BC·AH得

22

6打＝4．AH，

3石

:.AH=—,

2

··.BH=JAB2-AH2=1,

2

由第牙種悄形知：碑HOAFGN,碑E0霾F,

GNBHlAGABI

..==-==-,

FGAB8'GFBE2

.DG14+DGI

..=—CD,=—@,

GF4GF2

巾＠＠得，

16

GF=—,

7

16

:.DF=—,

7

·:AB+BE>AE,

:.BC+BE>AE,

即CE>AE,

816

綜上所述：DF=－或—.

57

-l【2021年崇明二模】(14分）如圖，已知正方形ABC閃刁，BC=4,AC、B桄目交千點0,過點

A作射線A從LAC,點E是射線川止一點，聯結0龐芝AB邊千點F.以0E為一邊，作正方形OECH,

且點A在正方形OE幼的內部，聯結肌

(1)求證：6.HIX巨6.EAO;

(2)設BF=x，正方形0E吭彴邊長為y,求y關千泊勺函數關系式，并寫出定義域；

(3)聯結AG，當6AEG是等腰三角形時，求B庉勺長．

A

G了\D

/D

D

c/護`C

C