數學物理方程第二章復變積分2023/2/25阜師院數科院第一頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院性質：常數因子可以移到積分號外。函數的和的積分等于各函數積分之和，反轉積分路徑，積分反號，全路徑上的積分等于各段上積分之和。或可看作實矢量場的積分第二頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院沿y=xz第三頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院沿第四頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院柯西定理由于復變函數可以看作平面上的實矢量場，它的積分可以應用實矢量場的積分來研究閉路l上的積分連續，且同理連續，且在S這兩個條件就是柯西－黎曼公式。因此第五頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院柯西定理：在某閉區域解析的函數，它沿此區域邊界的積分為零。奇點復變函數不可導的點。孤立奇點復變函數在其有限小鄰域可導的奇點。含孤立奇點的區域，可將其每個奇點的有限小鄰域挖掉，使原區域變為復通區域在A

圍成的區域中含的孤立奇點，引入曲線將此奇點挖掉，余下的區域（復連通區域）中解析。第六頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院由柯西定理或又

與方向相反，但與方向相同。第七頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院2.2.柯西定理閉單通區域上的解析函數沿境界線的積分為零。閉復通區域上的解析函數沿所有內外境界線正方向的積分和為零。閉復通區域上的解析函數沿外境界線逆時鐘方向的積分等于沿所有內境界線逆時鐘方向的積分的和。固定起點和終點，積分路徑的連續形變不改變積分第八頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院并且整數

一個公式第九頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院全平面解析，積分只與起、終點有關。改沿實軸第十頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院2.3不定積分由柯西定理，在單通區域，解析函數沿任意路徑的積分只與起點與終點有關。于是在這樣的區域中，任意選取兩點作起點和終點，唯一確定了復變函數的一個積分值。或者說，對于固定起點，積分是積分上限的單值函數。并且可以證明這是解析函數，有。即它是原函數。并且，第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院例計算a.在回路之外，無論何n此積分為零。b.在回路之內，，被積函數解析，積分為零。c.在回路之內，，將回路變形為以為圓心的半徑為

的圓。積分變為第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院故第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院1.在C外2.3.4.002iπ第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日2023/2/25阜師院數科院2.4柯西公式1.若在閉單通區域上解析，為的境界線，為內任一點，則有柯西公式證明由有為函數的奇點。以為圓心，為半徑作圓，函數為單值解析函數