2023年江西省吉安市高考理科數(shù)學模擬試卷

本試卷滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的市（縣、區(qū)）、學校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.已知全集。={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合4={xeZ|y=,2-|x|},8={-3,

1,2,3},則（CuJ）C3的子集個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.8個

2.復數(shù)z=|ij的虛部為（）

L—1

A.IB.-IC.iD.-i

3.某食品的保鮮時間y（單位：h）與儲藏溫度x（單位：C）滿足函數(shù)關系”

=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）.若該食品在儲藏溫度為0C時的保鮮時間是

216小時，在儲藏溫度為20℃時的保鮮時間為24小時，則該食品在儲藏溫度為30℃時的

保鮮時間是（）

A.4hB.8hC.\2hD.16h

4.已知單位向量b滿足則下列結論正確的是（）

TT—T

A.a\\bB.Q_Lb

C.|a+&|=2D.Z與1的夾角為60。

5.已知Z）GR,且OVaVIVb,則下列結論中正確的是（）

11

A.-<-B.Va+Vb>2C.aa>hbD.lgba>lgab

ab

6.已知球。為正三棱柱的外接球，正三棱柱/8C-4181cl的底面邊長為1,

高為3,則球。的表面積是（)

第1頁共23頁

acosB

7.在△ABC中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,則“工=—是“△力8。是等

bcosA

腰三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

/alla12。13

8.如叫。21。22。23）,三行三列的方陣中有九個數(shù)旬（，=1,2,3；7=1,2,3）,從中

\a31a32a33

任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是（)

34113

A?-B?一C.—D.—

771414

9.已知橢圓^|+昌=l（a>b〉O）的左、右焦點分別為點尸、F,過原點。作直線/交

。于45兩點，若云?薪'=0,3\AF\=4\Ar\f\AB\=5f則。的方程為（）

2

至

2X2吟B

---=1

125

AC.X31

4X2

T石

4/-

9HD.=1

n7i

10.若a€(0,—),pe(0,—且(l+cos2a)(1+sinP)=sin2acos0,則下列結論正確的

是()

A.a+S=2B.a+g=2C.2a-S=,D.a-0=彳

11.天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支

在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,

第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲

戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推.今年是辛丑年,

也是偉大、光榮、正確的中國共產黨成立100周年，則中國共產黨成立的那一年是（）

第2頁共23頁

A.辛酉年B.辛戊年C.壬酉年D.壬戌年

12.若直線y=ox+Z?與曲線-x相切，則a+b的最大值為()

A.-1B.e^-\C.eD.e~1

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若(4x-1)4=。0+。11+W2+。以耳卬、則41+。2+。3+。4=.

2-x

14.已知函數(shù)/(x)=log3啜二+3,若/(a)=1,/(-a)=3,則logMZ=.

15.某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,該三棱錐所有表面中,

最大的面積為

22

16.已知為，尸2分別是雙曲線C：x靛一y令=1(a>o,b>0)的左，右焦點，P是雙曲線C

的右支上一點，Oi是△尸尸1尸2的內心，且S^OMP：SAOIFIP：SaOiFiF2=l：2：3,則C

的離心率為.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

2

17.(12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足ai=4,an+i-(2a?-1)an+i-2a?=0.

(I)求｛a,,｝的通項公式；

(II)若數(shù)列｛a｝滿足仇=a“+(2?-5)cosnn(nGN*),求數(shù)列｛兒｝的前2力項和.

第3頁共23頁

18.（12分）公司為了將N型材料更好地投入商用，擬對工型材料進行應用改造、根據(jù)市場

調研與模擬，得到應用改造投入x（億元）與產品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

當0<xW17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y=4.1x+10.9,模型②：y=

21.37^-14.4；當x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為y=-0.7x+a.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<xW17時模型①，②的相關指數(shù)尺2的大小，

并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對/型材料進行應用改造的投入為17億元時

的直接收益；

回歸模型模型①模型②

回歸方程

y=4.1x4-10.9y=21.37^-14.4

葭1(%-%)279.1320.2

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當應用改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元,

以回歸方程為預測依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17

億元與20億元時公司收益（直接收益+國家補貼）的大小.

附：刻畫回歸效果的指數(shù)尺2=1一除名二荽，且當產越大時，回歸方程的擬合效果

（yt-yY

越好.V17M,1,

用最小二乘法求線性同歸方程丫=bx+a的截距：。=歹—反.

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19.(12分)如圖所示，平行四邊形EFG4的四個頂點E,F,G,，分別為四面體Z8CC

的棱長40,AC,BC,80上的點.

(1)證明：48〃平面EFG”；

(2)若平面4平面BCD,線段EH過A4BD的重心且/B=4C=/O=CO=8C=V2,

求直線AC與平面EFGH所成角的正弦值.

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20.(12分)已知點M為直線八：x=-1上的動點，N(1,0),過M作直線人的垂線，交

的中垂線于點P,記尸點的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程：

(2)若直線匕：y=左葉機與圓氏(x-3)2t/=6相切于點。，與曲線C交于Z,B兩

點，且。為線段的中點，求直線/2的方程.

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21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x3-klnx16R).

(I)求函數(shù)/(x)的最值；

(II)若g(x)=sinr-klnx(x>0),求方程f(x)=g(x)的根的個數(shù).

第7頁共23頁

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.［選修4-4：坐標

系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標系xOy中，將曲線Ci；(。為參數(shù))上任意一點

(y—if1(7

M(x,y)經過伸縮變換尸；=后得到曲線。2.以坐標原點0為極點，x軸的非負半軸

(y=y

為極軸，建立極坐標系，直線/的極坐標方程為p(cosO+sin。)=1.

(1)求直線/的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

(2)設直線/與曲線C2交于4B兩點,P(1,0),求|用-「和的值.

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[選修4-5：不等式選講|

23.已知函數(shù)/(x)=2|r4-l|-|x-2|.

(1)求不等式/(x)<1的解集；

(2)對Vx2O,前尾，2],使得/(x)//-am+l成立，求實數(shù)。的取值范圍.

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2023年江西省吉安市高考理科數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.已知全集。={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合4={x€Z|y=j2—|x|},8={-3,

1,2,3},貝!］（Cu4）C8的子集個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.8個

【解答】解：全集。={-3,-2,-1,0,1,2,3},

集合4={xeZ|y=J2—|x|}={xCZ||x|W2}={-2,-1,0,1,2},

B={-3,1,2,3},

，CuZ={-3,3},

:.（Cu/）G8={-3,3},

（Cu4）C5的子集個數(shù)為2?=4.

故選：C.

2.復數(shù)z=/的虛部為（）

z-I

A.1B.-1C.iD.-i

【解答】解：復數(shù)2=若=涉女瑞=苧=1+3故此復數(shù)的虛部等于1，

故選：A.

3.某食品的保鮮時間y（單位：h）與儲藏溫度x（單位：。C）滿足函數(shù)關系y='2/>（e

=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k,6為常數(shù)）.若該食品在儲藏溫度為0℃時的保鮮時間是

216小時，在儲藏溫度為20℃時的保鮮時間為24小時，則該食品在儲藏溫度為30℃時的

保鮮時間是（）

A.4/?B.8/iC.⑵D.16/?

【解答】解：???該食品在儲藏溫度為0℃時的保鮮時間是216小時，在儲藏溫度為20℃

時的保鮮時間為24小時，

幡企24,解得7,即F，

當x=30時，

y—e30A+2Z>—e20k+2b.e10*=24X\=8,

第10頁共23頁

故該食品在儲藏溫度為30℃時的保鮮時間是8/?.

故選：B.

4.已知單位向量^滿足日一22=遍，則下列結論正確的是（）

TTTT

A.a||bB.aA.b

C.|a+6|=2D.之與力的夾角為60。

【解答】解：根據(jù)題意，單位向量展，b滿足|b-22|=遍，則有（匕一2盂）2=房+元？-

->—

4a*h=5,

變形可得2?b=0,即2_Lb,故力、。錯誤，8正確；

又由（a+b）2=必+次+2。?6=2,則|a+b|=&,C錯誤；

故選：B.

5.已知a,bER,且OVaVICb,則下列結論中正確的是（）

A.-<-B.Va+VF>2C.aa>bhD.lgba>lgab

ab

t

【解答】解：對于4,\O<a<\<bf

.\b-a>0,ab>0,

11b—CL

A--7=-->0,故/錯誤，

abab

對于8,令a=g,h=V2,滿足OVaVlV6,但歷+也<2,故8錯誤，

對于C,令“=*，6=2,滿足但aY網(wǎng)故C錯誤，

對于。，V0<a<l<6,

：.ha>aa>ab,

：.lgb。>lgab,故。正確.

故選：D.

6.己知球0為正三棱柱力BC-481cl的外接球，正三棱柱/8C的底面邊長為1,

高為3,則球。的表面積是（）

317r16TI317r

A.4TTB.-----C.-----D.-----

3312

【解答】解：設正三棱柱44C-小為。的高為〃，底面邊長為。，設球。的半徑為R,

第11頁共23頁

則三棱柱底面三角形的外接圓半徑『滿足2r=急,解得r=*a,

由題意可知，a=l,h=3,

所以R2=（^a）2+（j/i）2=^+^=1+!=||,

則球O的表面積為S=4TT/?2=學.

故選：B,

acosB

7.在△ZBC中，內角力,B,C所對的邊分別為a,b,c,則“工=―是“ZVIBC是等

bcosA

腰三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

acosB

【解答】解:

bcosA'

sirt4cos/l=sin8cos8,即sin2/=sin28,

:△/BC的內角/,B,Ce(0,n),

.?.24=23或24+28=TT,即4=8或4+8=全

..《=月推出三角形可能是直角三角形，故畔=能”="△初。為等腰三角形”

bcosAbcosA

是假命題，

acosB

△N8C為等腰三角形不能得到/=8,故“△/8C為等腰三角形"n“工=—?"是假命

bcosA

題，

acosB

???"￡=—/是“△/8C為等腰三角形”的既非充分也非必要條件.

bcosA

故選：D,

/alla12a13

8.如叫。21。22。23）,三行三列的方陣中有九個數(shù)劭?（i=l,2,3；尸1,2,3）,從中

\a31a32a33

任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是（）

34113

A.-B?-C.-D.一

771414

【解答】解：從9個數(shù)中任取3個數(shù)共有%=84種不同的取法，

若三個數(shù)任意兩個數(shù)不在同一行或者同一列，共有3X2X1=6種不同的取法，

設事件M為”這3個數(shù)中至少有2個數(shù)位于同行或同列”，

第12頁共23頁

則事件M包含的取法共有84-6=78（種），

根據(jù)古典概型的概率計算公式得P（“）=含=H

故選：D.

9.已知橢圓C：苴+3=l（a>b>0）的左、右焦點分別為點尸、F,過原點。作直線/交

C于48兩點，若於-人尸二。，3|力尸|=4|4尸\AB\=5,則C的方程為（）

C.—+—=1D.—+—=1

911496

【解答】解：根據(jù)題意，作出如下所示圖形，

由對稱性知，四邊形是矩形，

設|Zf]=4m,則|B尸|=必尸|=3w,

在RtA48尸中，有HFf+l明2=0砰，...（4w）2+（3/n）2=52,解得機=1或-1（舍負）,

：.\AF}=^,M尸|=3,

7

由橢圓的定義知，尸1=7=2”，

'：\OF\=^\AB\=^-c,

.,.b2—a2-c2=（芻尸-（1）2=6,

4%2y2

，橢圓的方程為二77+二~=L

496

故選：D.

第13頁共23頁

nn

10.若a€(0,-),pe(0,—)f且(l+cos2a)(1+sinp)=sin2acos0,則下列結論正確的

是()

A.Q+/?=5B.a+g=SC.2a-/?=^-D.ex—/?=5

71

【解答】解：因為aE(0,5),

所以cosar0,由(l+cos2a)(1+sinp)=sin2acosp,

可得2cos2a(1+sinp)=2sinacosacosp,化簡得cosa(1+sinp)=sinacosp,

所以cosa=sinacosp-cosasinP=sin(a-0),

n

則sin(a-P)=sin(5—a),

yrn

因為：aE(0,—),pc(0,5),

所以_.Va-0〈務0<J-a<p

7T7T

由于函數(shù)夕=5沌》在區(qū)間(一今-)上單調遞增，

乙2

所以a-0=*a,可得2a-0=*

故選：C.

II.天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支

在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,

第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲

戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推.今年是辛丑年,

也是偉大、光榮、正確的中國共產黨成立100周年，則中國共產黨成立的那一年是()

A.辛酉年B.辛戊年C.壬酉年D.壬戌年

第14頁共23頁

【解答】解：由題意可知，天干是公差為10的等差數(shù)列，地支為公差為12的等差數(shù)列,

所以100+10=10為辛年，100+12=8……4,為酉年(丑往前推4年)，

則100年前可得到為辛酉年，

故選：A.

12.若直線y=ax+6與曲線-x相切，則a+b的最大值為()

A.-1B.e+1C.eD.e-1

【解答】解：由題得/(X)=6^-1,設切點為"/(/)),

則f(/)-/,f(/)=el-1；

則切線方程為y-(￡-，)—(￡-1)(x-z)?

即歹=(e'-1)x+el(1-/),又因為y=ox+b,

所以a=et-Lb=d(1-f),則a+b=-1+2/-M

令g(力=-l+2ef-id,則g'(/)=(1-/)d,

則有01,g'(/)<0；Z<1,g'(/)>0,

所以，=1時，g(x)取最大值，

所以a+b的最大值為g(1)=-l+2e-e—e~1.

故選：D.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若(4x-l)4=ao+a,貝!J。1+。2+。3+。4=§0.

【解答】解：由于(4x-1)4=〃0+。［/。2%2+43/+〃4r4,

當x=0.時,—0=1，

當X=1時，40+。1+。2+。3+。4=34=81,

故。1+。2+。3+。4=80,

故答案為：80.

2—x

14.已知函數(shù)/(x)=l°g萬耳+上若/(。)=1，/(-。)=3,則log〃a=0.

2—x

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=log3—4-6,且/(〃)=l,/(-a)=3,

2—CL2+a

則/(a)=log3T--+6=1,/(-a)=log3T—+6=3,

2+Q2-a

2—a2+a

則f(a)(-a)=log3T—+log3T—+26=log31+2b=2b=4,貝!Jb=2,

2+Q2—a

2_CL

若/(a)=1,則log3：J--=-l?解可得Q=l，

第15頁共23頁

故log/>Q=0,

故答案為：0.

15.某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,該三棱錐所有表面中,

最大的面積為—2V3.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體4-BCD

如圖所示：

由于：S2BCD=-2^2X2=2,S“CD=S&ABC=]X2X2A/2=2>/2,S^ABD=2x2yx

J22+(V2)2=2V3,

故答案為：2次.

/y2

16.已知Q,92分別是雙曲線C君一金=1(40,b>0)的左，右焦點，P是雙曲線C

的右支上一點，O1是△尸白尸2的內心，且Sggp：S^OIFIP：S^O1F1F2=1：2：3,則。

的離心率為3.

【解答】解：設內切圓半徑為廠，則

111

S^oiF2P：S^O\F\P：S^o\F\F2-j\PF\rz-IPFJr：[FiGy

42zz

=|PF1|：\PF2\：I四尸2尸L2：3,

199A

故IPF2I=||F1F2|=如|P%|=3尸1/2I=Jc,

第16頁共23頁

2

又|PQ|-|P尸2|=2a,：.-c=2a,

故e=2=3,

a

故答案為：3.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

2

17.（12分）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足QI=4,an+\-（2〃〃-1）-2斯=0.

（I）求缶〃｝的通項公式；

（II）若數(shù)列彷〃｝滿足（2〃-5）cos/771（wGN*）,求數(shù)列｛瓦｝的前2〃項和.

【解答】解：（I）依題意，由q+i-QQ'-l）0n+1-2%=0,可得

（“"+1-2。"）（an+i+l）=0,

?〃"+1+1>01??〃"+1=24"，

Vai=4,

二數(shù)列｛或｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)歹U，

n1n+1

：.an=4-2~=2,?eN*,

(II)由題意及(I),可得

bn—an+(2〃-5)COSMTT

—2"+i+(2〃-5)COS/JTT

_f2n+1+5-2n,n為奇數(shù)

一(2"+1+2n-5,"為偶臧

數(shù)列｛b｝的前2〃項和為

61+62+63+64+…+歷”-1+歷”

=(22+5-2X1)+(23+2X2-5)+(24+5-2X3)+(25+2X4-5)+-+[22n+5-2(2n

-1)]+[22叫2?2〃-5]

=(22+23+24+25+-+22,,+22W+I)+2X[(2-1)+(4-3)+???+(2”-2〃+l)]

=22"+2+2〃-4.

18.（12分）公司為了將N型材料更好地投入商用，擬對Z型材料進行應用改造、根據(jù)市場

調研與模擬，得到應用改造投入x（億元）與產品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:

第17頁共23頁

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

當0<x<17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y=4.1x+10.9,模型②：y=

21.3Vx-14.4；當x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為y=-0.7x+a.

(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<xW17時模型①，②的相關指數(shù)爐的大小，

并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對/型材料進行應用改造的投入為17億元時

的直接收益:

回歸模型模型①模型②

回歸方程

y=4,1x+10.9y=21.3Vx—14.4

%(y<-y<)279.1320.2

(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當應用改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元,

以回歸方程為預測依據(jù)，根據(jù)(1)中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17

億元與20億元時公司收益(直接收益+國家補貼)的大小.

虎=1>

附:刻畫回歸效果的指數(shù)爐=1一且當尺2越大時，回歸方程的擬合效果

刃2

越好.V17?4.1.

用最小二乘法求線性同歸方程丁=bx+a的截距：a=9-成.

【解答】解：(1)對于模型①，對應的歹=15+22+27+^+48+54+60=33,

￡；=i(yt-y)2=(15-38)2+(22-38)2+(27-38)2+(40-38)2+(48-38)2+(54

-38)2+(60-38)2=1750,

所以相關指數(shù)儲=1一夕?］邛=】一鬻*0.9548,

1Et=i(y；-y)21750

同理，模型②的相關指數(shù)儲=1—磊=0.9889,

因為0.9889>0.9548,

所以模型②擬合精度更高；

故對型材料進行應用改造的投入為17億元時的直接收益為21.3g-14.4"72.93；

第18頁共23頁

i??口+csnr4Rt/i-21+22+23+24+25-68.5+68+67.5+66+65

(2)當x>17時，后五組的x=-------g--------=23,y----------g---------=67,

由最小二乘法可得a=67-(-0.7)X23=83.1,

故當投入20億元時公司收益(直接收益+國家補貼)的大小為：-0.7X20+83.1+5=74.1

>72.93,

故投入11億元比投入20億元時收益小.

19.(12分)如圖所示，平行四邊形E/G”的四個頂點E,F,G,，分別為四面體48C。

的棱長NO,AC,BC,8。上的點.

(1)證明：48〃平面防GH

(2)若平面平面BCD,線段EH過A4BD的重心且AB=AC=AD=CD=BC=V2,

求直線AC與平面EFGH所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：由題意，在平行四邊形EFG"中，F(xiàn)G//EH,

又平面A5O,FGC平面N8O,

所以尸G〃平面

又平面/8DC平面/8c=/8,尸Gu平面/8C,

所以18〃FG,

又FGu平面EFG",N8C平面EFG/Z,

故48〃平面EFGH；

(2)解：取8。的中點。，連接/。，CO,

由題意可得，AOLBD,

因為平面48D_L平面8CQ,平面平面8CZ)=8。，NOu平面”8。,

故ZOJ_平面BCD,

同理可得COJ-平面ABD,

則/O_L。。，AOLCO,COYDO,

因為NO=CO,

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則△NOC為等腰直角三角形，所以8。=2,

故以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,

則工(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),

所以就=(Lo,-1),/=(o,-1,-1),cb=(-1,1,0),

設平面EFG4的法向量為￡=(x,y,z),

則g役=-y-z=0,

(.n-CD=—x+y=0

令y=l,則x=l,z--1,

故n=(1,1,—1),

|ic-n|______2______/6

所以|cos<4C,n>\=2

|ic||n|Vl+l+lxVl+0+13'

20.（12分）已知點M為直線/i：x=-1上的動點，N（1,0）,過M作直線/i的垂線，交

MN的中垂線于點P,記尸點的軌跡為C.

（1）求曲線C的方程；

（2）若直線/2：y=Ax+機與圓E：（x-3）2+f=6相切于點。，與曲線C交于4,8兩

點，且。為線段N8的中點，求直線/2的方程.

【解答】解：（1）由已知可得，1PM=『M，

即點P到定點N的距離等于到直線1\的距離，

故尸點的軌跡是以N為焦點，/I為準線的拋物線，

所以曲線C的方程為/=4x.…（4分）

（2）設/（xi，yi）,B（m，yi）>D（xo>yo）,直線/2斜率為k,顯然〃W0,

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y—kx+得，(2切?-4)計〃?2=o,

由

y2=4%

4-2km

Xl+X2=

rrKI%i+%22—km.2/—km2

所以xo=%=—p—,yo=kxo+m=p即。(一一，工).

因為直線/2與圓E：(x-3)2勺;2=6相切于點。，

所以|。￡|2=6；DEAJ2,

一一2—km,22—km

從而（一^—-3）2+（-）o2=6；--3=-2,

整理可得（令2=2,即仁土企.

所以加=0,

故/2的方程為y=或^=一…(12分)

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=-klnx(左€R).

(I)求函數(shù)/(x)的最值；

(II)若g(x)=sinr-klnx(x>0),求方程f(x)=g(x)的根的個數(shù).

【解答】解：(I),:于(x)=#-klnx,：./(x)=%2—^=

???當％W0時，f(x)>0,函數(shù)在(0,+8)上單調遞增，無最值；

當左>0時，令/(x)=0,即4-左=0,得X=孤，

，當xe(0,Vfc)時，/(x)<0,/(x)單調遞減，

當在(Vfc,+8)時，/(x)>0,/(x)單調遞增，

/(X)有極小值也是最小值為/(Vfc)=j(W-kln(y/k)=|fcZnp

綜上可得，當上W0時，函數(shù)f(x)在(0,+8)上無最值；

1e

當左>0時，/'(X)的最小值為4k仇工，無最大值.

?5K

(II)g(x)=sinx-klnx(x>0),f(x)=-klnx(AGR).

1

由/(x)=g(x),得-klnx=s\nx-klnx(x>0),

1

求方程/(x)=g(x)的根的個數(shù)，即求1工3-sinr=O(x>0)的根的個數(shù),

令h(x)=-sinx(x>0),則〃'(x)=f-cosx(x>0),

令m(x)=x2-cosx(x>0),則加'(x)=2x+sinx(x>0),

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令"(x)=2x+sinx(x>0),則〃'(x)=2+cosx>