第17部分：推理與證明一、選擇題:1．（2022年高考山東卷文科10）觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數滿足，記為的導函數，則=（A）(B)(C)(D)【答案】D【解析】由給出的例子可以歸納推理得出：若函數是偶函數，則它的導函數是奇函數，因為定義在上的函數滿足，即函數是偶函數，所以它的導函數是奇函數，即有=，故選D。【命題意圖】本題考查函數、歸納推理等基礎知識，考查同學們類比歸納的能力。二、填空題：1．（2022年高考福建卷文科16）觀察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推測，m–n+p=.【答案】962【解析】因為所以；觀察可得，，所以m–n+p=962。【命題意圖】本小題考查三角變換、類比推理等基礎知識，考查同學們的推理能力等。2．（2022年高考福建卷文科15）對于平面上的點集，如果連接中任意兩點的線段必定包含于，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個點集的圖形如下（陰影區域及其邊界）：其中為凸集的是（寫出所有凸集相應圖形的序號）。【答案】②③3．（2022年高考陜西卷文科11）觀察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根據上述規律，第四個等式為.【答案】13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.【解析】∵所給等式左邊的底數依次分別為；；，右邊的底數依次分別為（注意：這里），∴由底數內在規律可知：第五個等式左邊的底數為，右邊的底數為.又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第四個等式為13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.三、解答題：1．(2022年高考北京卷文科20)（本小題共13分）已知集合對于，，定義A與B的差為A與B之間的距離為（Ⅰ）當n=5時，設，求，；（Ⅱ）證明：，且;(Ⅲ)證明：三個數中至少有一個是偶數（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）=3(Ⅱ)證明：設因為，所以從而由題意知當時，當時，所以(Ⅲ)證明：設記由（Ⅱ）可知所以中1的個數為k,中1的個數為設是使成立的的個數。則由此可知，三個數不可能都是奇數即三個數中至少有一個是偶數。2．(2022年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）正實數數列中，，，且成等差數列．（1）證明數列中有無窮多項為無理數；（2）當為何值時，為整數，并求出使的所有整數項的和．【答案】證明：（1）由已知有：，從而，方法一：取，則．用反證法證明這些都是無理數．假設為有理數，則必為正整數，且，故．，與矛盾，所以都是無理數，即數列中有無窮多項為無理數；方法二：因為，當得末位數字是3,4,8,9時，的末位數字是3和7，它不是整數的平方，也不是既約分數的平方，故此時不是有理數，因這種有無窮多，故這種無理項也有無窮多．（2）要使為整數，由可知：同為偶數，且其中一個必為3的倍數，所以有或當時，有又必為偶數，所以滿足即時，為整數；同理有也滿足即時，為整數；顯然和是數列中的不同項；所以當和時，為整數；由有，由有．設中滿足的所有整數項的和為，則．3．（2022年高考上海卷文科22）（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。若實數、、滿足，則稱比接近.（1）若比3接近0，求的取值范圍；（2）對任意兩個不相等的正數、，證明：比接近；（3）已知函數的定義域.任取，等于和中接近0的那個值.寫出函數的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）.解析：(1)x(2,2)；

(2)對任意兩個不相等的正數a、b，有，，

因為，

所以，即a2bab2比a3b3接近；

(3),kZ，

f(x)是偶函數，f(x)是周期函數，最小正周期T，函數f(x)的最小值為0，

函數f(x)在區間單調遞增，在區間單調遞減，kZ．4．（2022年高考廣東卷文科21）（本小題滿分14分）已知曲線，點是曲線上的點（n=1,2,…）.（1）試寫出曲線在點處的切線的方程，并求出與軸的交點的坐標；（2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求試點的坐標；（3）設與為兩個給定的不同的正整數，與是滿足（2）中條件的點的坐標，證明：（2022年高考湖北卷文科21）（本小題滿分14分）設函數，其中a＞0，曲線在點P（0，）處的切線方程為y=1（Ⅰ）確定b、c的值（Ⅱ）設曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，（Ⅲ）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。6．（2022年高考湖南卷文科20）（本小題滿分13分）給出下面的數表序列：其中表n（n=1,2,3）有n行，第1行的n個數是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和。（I）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；（II）每個數列中最后一行都只有一個數，它們構成數列1,4,12，記此數列為求和：