4.3.2獨立性檢驗主題獨立性檢驗為了研究人的性別與患色盲是否有關系，某研究所進行了隨機調查，發現在調查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為人的性別與患色盲有關系嗎？提示：由題意列出2×2列聯表：由公式得χ2=≈28.225.因為χ2≥6.635，所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認為患色盲與人的性別有關系.患色盲未患色盲總計男性39441480女性6514520總計459551000結論：1.2×2列聯表隨機事件A和B的樣本數據的列聯表(稱為2×2列聯表)為：A

總計Baba+b

cdc+d總計a+cb+da+b+c+d2.獨立性檢驗的基本思想(1)公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.(2)獨立性檢驗的具體做法：①根據實際問題的需要確定容許推斷“兩個隨機事件有關系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定_______k.②利用公式計算隨機變量χ2的值.臨界值③如果χ2≥k就推斷“事件A與事件B有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“事件A與事件B有關系”.【對點練】1.考察棉花種子經過處理與得病之間的關系得到如下數據：種子處理種子未處理總計得病32101133不得病61213274總計93314407根據以上數據，則 (

)A.種子經過處理與是否生病有關B.種子經過處理與是否生病無關C.種子是否經過處理決定是否生病D.以上都是錯誤的【解析】選B.χ2=≈0.164，χ2值較小，所以種子是否經過處理跟是否生病無關.2.下面是一個2×2列聯表：y1y2總計x135a70x2151530總計50b100其中a，b處填的值分別為________.

【解析】由a+35=70，得a=35，a+15=b，得b=50.答案：35，50探究點一2×2列聯表和χ2統計量【典例1】(1)博鰲亞洲論壇2020年年會原定于3月在海南博鰲舉行，為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了50名記者擔任對外翻譯工作，在下面“性別與會俄語”的2×2列聯表中，a+b+d=________.

會俄語不會俄語總計男ab20女6d總計1850(2)某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調查，下列2×2列聯表：主食蔬菜主食肉類總計50歲以下481250歲以上16218總計201030則χ2=________.

附：χ2=【思維導引】(1)根據總人數為50結合表格中的數據可求出a+b+d的值.(2)由獨立性檢驗公式計算可得：χ2=10.【解析】(1)由總人數為50，可得出a+b+6+d=50，解得a+b+d=44.答案：44(2)由公式得χ2=答案：10【類題通法】獨立性檢驗的兩個關注點(1)獨立性檢驗的關鍵是正確列出2×2列聯表，并計算出χ2的值.(2)弄清判斷兩變量有關的把握性與犯錯誤概率的關系，根據題目要求進行正確回答.【定向訓練】1.下列是關于出生男嬰與女嬰(與時間的關系)調查的列聯表，那么A=_______，B=________，C=________，D=________，E=________.

晚上白天總計男嬰45AB女嬰E35C總計98D180【解析】由題意，45+E=98，A+35=D，45+A=B，E+35=C，B+C=180，所以A=47，B=92，C=88，D=82，E=53.答案：47

92

88

82

532.支付寶和微信支付已經成為現如今最流行的電子支付方式，某市通過隨機詢問100名居民(男女居民各50名)喜歡支付寶支付還是微信支付，得到如下的2×2列聯表：支付寶支付微信支付總計男401050女252550總計6535100附表及公式：χ2=n=a+b+c+d.則χ2約為________.

【解析】由2×2列聯表得到a=40，b=10，c=25，d=25，則代入χ2=得χ2=≈9.89.答案：9.89探究點二獨立性檢驗【典例2】為了了解一個智力游戲是否與性別有關，從某地區抽取男女游戲玩家各200人，其中游戲水平分為高級和非高級兩種.(1)根據題意完善下列2×2列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%以上的把握認為智力游戲水平高低與性別有關？性別高級非高級總計女40男140總計(2)按照性別用分層抽樣的方法從這些人中抽取10人，從這10人中抽取3人作為游戲參賽選手；①若甲入選了10人名單，求甲成為參賽選手的概率；②設抽取的3名選手中女生的人數為X，求X的分布列和期望.附表：χ2=其中n=a+b+c+d.P(χ2≥k)0.0100.0050.001k6.6357.87910.828【思維導引】(1)根據題意完善2×2列聯表，再計算χ2，對照臨界值得出結論即可.(2)①從10人中抽取3人共有個基本事件，甲為參賽選手共有個基本事件，再代入古典概型公式即可.②首先用分層抽樣得到抽取的男、女生人數，得到女生的人數X的所有取值為0，1，2，3，計算出相應的概率，再列出分布列，計算數學期望即可.【解析】(1)性別高級非高級總計女40160200男60140200總計100300400χ2=≈5.333<6.635，所以沒有99%以上的把握認為智力游戲水平高低與性別有關；(2)①甲入選3人名單的概率為②根據分層抽樣的特征10人中男女各5人，女生的人數X的所有取值為0，1，2，3；P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=所以X的分布列為期望E(X)=【類題通法】運用獨立性檢驗的方法(1)列出2×2列聯表，根據公式計算χ2的值.(2)運用臨界值作出判斷.【定向訓練】1.為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對該班50名學生進行了問卷調查，得到了如下的2×2列聯表：喜愛打籃球不喜愛打籃球總計男生20525女生101525總計302050則在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為喜愛打籃球與性別有關.

附：χ2=P(χ2≥k)0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【解析】根據所給的列聯表，得到χ2=≈8.333>7.879所以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為喜愛打籃球與性別有關.答案：0.5%2.(2020·全國Ⅲ卷)某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質量等級[0，200](200，400](400，600]1(優)216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”.根據所給數據，完成下面的2×2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)由頻數分布表可知，該市一天的空氣質量等級為1的概率為

=0.43，等級為2的概率為=0.27，等級為3的概率為

=0.21，等級為4的概率為=0.09.(2)由頻數分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數為

=350.(3)2×2列聯表如下：人次≤400人次>400空氣質量好3337空氣質量不好228K2的觀測值k=≈5.820>3.841，因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.【跟蹤訓練】某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表：滿意不滿意總計男顧客401050女顧客302050總計7030100(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：χ2=P(χ2≥k)0.050.010.001k3.8416.63510.828【解析】(1)由題中表格可知，50名男顧客對商場服務滿意的有40人，所以男顧客對商場服務滿意率估計為P1=50名女顧客對商場滿意的有30人，所以女顧客對商場服務滿意率估計為P2=(2)由列聯表可知χ2=≈4.762>3.841.所以能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【課堂小結】1.某組織通過抽樣調查(樣本容量n=1000)，利用2×2列聯表和χ2統計量研究學生使用智能手機是否與學習成績有關：計算得χ2=11.11，經查對臨界值表知P(χ2≥10.828)≈0.001，現判定學生使用智能手機與學習成績有關系，那么這種判斷出錯的可能性為 (

)A.0.01 B.0.999C.0.99 D.0.001【解析】選D.由題意，利用2×2列聯表計算得χ2=11.11，經查對臨界值表知P(χ2≥10.828)≈0.001，可得這種判斷出錯的可能性為0.001.2.對于隨機事件A與B的統計量χ2，下列說法正確的是 (

)A.χ2越大，說明“A與B有關系”的可信度越小B.χ2越大，說明“A與B無關”的程度越大C.χ2越小，說明“A與B有關系”的可信度越小D.χ2接近于0，說明“A與B無關”的程度越小【解析】選C.由獨立性檢驗的定義及χ2的意義，得：χ2越大，說明“A與B有關系”的可信度越大，“A與B無關”的程度越小；χ2越小，說明“A與B有關系”的可信度越小，χ2越接近于0，說明“A與B無關”的程度越大.3.為了判斷高中三年級