2023年湖南省長沙市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程(y)2=x的階數為()A.1B.2C.3D.4

2.

3.()A.A.條件收斂

B.絕對收斂

C.發散

D.收斂性與k有關

4.設y=2x3，則dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

5.A.A.4πB.3πC.2πD.π

6.

7.A.A.

B.0

C.

D.1

8.A.A.2xy3

B.2xy3-1

C.2xy3-siny

D.2xy3-siny-1

9.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

10.

11.設Y=x2-2x+a，貝0點x=1()。A.為y的極大值點B.為y的極小值點C.不為y的極值點D.是否為y的極值點與a有關

12.下列關系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

13.下列說法中不能提高梁的抗彎剛度的是()。

A.增大梁的彎度B.增加梁的支座C.提高梁的強度D.增大單位面積的抗彎截面系數

14.

15.設f'(x)=1+x，則f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

16.

17.圖示懸臂梁，若已知截面B的撓度和轉角分別為vB和θB，則C端撓度為()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

18.極限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

19.A.-e2x-y

B.e2x-y

C.-2e2x-y

D.2e2x-y

20.

二、填空題(20題)21.設y=f(x)在點x0處可導，且在點x0處取得極小值，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為________。

22.微分方程xdx+ydy=0的通解是__________。

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.設f(x)=sin(lnx)，求f(x)=__________．

31.

32.

33.

34.設函數z=x2ey，則全微分dz=______.

35.

36.

37.

38.

39.

40.過點M1(1，2，-1)且與平面x-2y+4z=0垂直的直線方程為__________。

三、計算題(20題)41.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．42.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

43.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

44.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．45.

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.求微分方程的通解．48.證明：49.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

50.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．51.

52.53.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．54.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．55.

56.

57.58.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．59.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

60.

四、解答題(10題)61.求曲線y=e-x、x=1，y軸與x軸所圍成圖形的面積A及該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vx。

62.

63.設z=x2ey，求dz。

64.求xyy=1-x2的通解．

65.

66.證明:ex＞1+x(x＞0).

67.將f(x)=ln(1+x2)展開為x的冪級數．68.69.

70.y=xlnx的極值與極值點．

五、高等數學(0題)71.f(x)=lnx，則f[f(x)]=__________。六、解答題(0題)72.計算∫xcosx2dx．

參考答案

1.A

2.A

3.A

4.B由微分基本公式及四則運算法則可求得．也可以利用dy=y′dx求得故選B．

5.A

6.A

7.D本題考查的知識點為拉格朗日中值定理的條件與結論．

可知應選D．

8.A

9.A本題考查的知識點為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區域D的不等式表達式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應選A．

10.C解析：

11.B本題考查的知識點為一元函數的極值。求解的一般步驟為：先求出函數的一階導數，令偏導數等于零，確定函數的駐點．再依極值的充分條件來判定所求駐點是否為極值點。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一駐點x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由極值的充分條件可知x=1為y的極小值點，故應選B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由極值的定義可知x=1為y的極小值點，因此選B。

12.B本題考查的知識點為定積分的性質．

由于x，x2都為連續函數，因此與都存在。又由于0＜x＜1時，x＞x2，因此

可知應選B。

13.A

14.C

15.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

可知應選C．

16.A

17.C

18.C本題考查的知識點為重要極限公式．

由于，可知應選C．

19.C本題考查了二元函數的高階偏導數的知識點。

20.B

21.y=f(x0)y=f(x)在點x0處可導，且y=f(x)有極小值f(x0)，這意味著x0為f(x)的極小值點。由極值的必要條件可知，必有f"(x0)=0，因此曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)為所求切線方程。

22.x2+y2=C

23.

24.

25.2

26.3yx3y-13yx3y-1

解析：

27.00解析：

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.dz=2xeydx+x2eydy35.e-1/2

36.6x26x2

解析：

37.y+3x2+x

38.

39.0

40.

41.

42.由等價無窮小量的定義可知

43.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％44.由二重積分物理意義知

45.

46.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.

48.

49.

50.

列表：

說明

51.由一階線性微分方程通解公式有

52.

53.

54.

55.

則

56.

57.

58.函數的定義域為

注意

59.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

60.

61.

62.

63.

64.解先將方程分離變量，得

即為原方程的通解，其中c為不等于零的任意常數．

65.

66.67.由于

因此

本題考查的知識點為將函數展開為冪級數．

綱中指出“會運用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麥克勞林展開式，將一些簡單的初等函數展開為x或(x-x0)的冪級數．”這表明本題應該將ln(1+x2)變形認作ln(1+x)的形式，利用間接法展開為x的冪級數．

本題中考生出現的常見錯誤是對ln(1+x2)關于x的冪級數不注明該級數的收斂區間，這是要扣分的．68.本題考查的知識點為參數方程的求導運算．

【解題指導】

69.

70.y=xlnx的定義域為