第11章三角形人教版八年級(上)數學探究新知知識歸納典型例題當堂訓練課堂小結導入新課--章末復習課

三角形的三邊關系01

三角形中的重要線段02

有關三角形內、外角的計算03

本章中的思想方法04知識點腰和底不等的等腰三角形1.三角形的三邊關系：2.三角形的分類三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.按邊分按角分不等邊三角形等腰三角形等邊三角形直角三角形銳角三角形鈍角三角形考點聚焦知識點一三角形的三邊關系【例1-1】已知兩條線段的長分別是3cm、8cm,要想拼成一個三角形,且第三條線段a的長為奇數,問第三條線段應取多長?

解：由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得

8-3＜a＜8+3,∴5＜a＜11.又∵第三邊長為奇數,∴第三條邊長為7cm或9cm.典型例題知識點一三角形的三邊關系

三角形兩邊之和大于第三邊,可以用來判斷三條線段能否組成三角形,在運用中一定要注意檢查是否任意兩邊的和都大于第三邊,也可以直接檢查較小兩邊之和是否大于第三邊.三角形的三邊關系在求線段的取值范圍以及在證明線段的不等關系中有著重要的作用.考點聚焦【例1-2】等腰三角形的周長為16,其一邊長為6,求另兩邊長.典型例題知識點一三角形的三邊關系解：由于題中沒有指明邊長為6的邊是底還是腰,當6為底邊長時,腰長為(16-6)÷2=5,另兩邊長分別為5,5；當6為腰長時,底邊長為16-6-6=4,這時另兩邊長分別為6,4.綜上所述，另兩邊長為5,5或6,4.基礎訓練知識點一三角形的三邊關系1.以線段3,4,x-5為邊組成三角形,那么x的取值范圍是________2.若(a-1)2+|b-2|=0,則以a,b為邊長的等腰三角形的周長為___3.已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則這個等腰三角形的周長為()

A.16

B.20或16

C.20

D.12

6＜x＜125C

等腰三角形的底邊長不確定時,要分兩種情況討論,還要注意三邊是否構成三角形.

三角形的三邊關系01

三角形中的重要線段02

有關三角形內、外角的計算03

本章中的思想方法04知識點3.三角形的高、中線與角平分線高：頂點與對邊垂足間的線段,三條高或其延長線相交于一點，中線：頂點與對邊中點間的線段,三條中線相交于一點(重心)，角平分線：三條角平分線相交于一點，考點聚焦知識點二三角形中的重要線段典型例題知識點二三角形中的重要線段【例2-1】如圖,CD為△ABC的AB邊上的中線,△BCD的周長比△ACD的周長大3cm,BC=8cm,求邊AC的長.解：∵CD為△ABC的AB邊上的中線，∴AD=BD，∵△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，∴(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．ADCB【例2-2】如圖,D是△ABC的邊BC上任意一點,E、F分別是線段AD、CE的中點,且△ABC的面積為24,求△BEF的面積．解：∵點E是AD的中點，∴S△ABE=0.5S△ABD，S△ACE=0.5S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=0.5S△ABC=0.5×24=12，∴S△BCE=0.5S△ABC=0.5×24=12，∵點F是CE的中點，∴S△BEF=0.5S△BCE=0.5×12=6．典型例題知識點二三角形中的重要線段ADCBFE基礎訓練知識點二三角形中的重要線段1.下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是(

)C2.如圖,①AD是△ABC的角平分線,則∠____=∠____=0.5∠____，②AE是△ABC的中線，則____=____=0.5___，③AF是△ABC的高線，則∠____=∠____=90o．BADCADCABCEBEBCAFBAFC基礎訓練知識點二三角形中的重要線段3.在△ABC中,AB=AC,DB為△ABC的中線,且BD將△ABC周長分為12cm與15cm兩部分,求三角形各邊長.

解：如圖，∵DB為△ABC的中線,∴AD=CD，設AD=CD=x,則AB=2x，

①當x+2x=12,解得x=4.BC+x=15,得BC=11.此時△ABC的三邊長為AB=AC=8,BC=11；

②當x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7，此時△ABC的三邊長為AB=AC=10,BC=7．無圖時，注意分類討論

三角形的三邊關系01

三角形中的重要線段02

有關三角形內、外角的計算03

本章中的思想方法04知識點4.三角形的內角和與外角(1)三角形的內角和等于180o；(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；(3)三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角.考點聚焦知識點三有關三角形內、外角的計算5.多邊形及其內角和n邊形內角和等于(n-2)×180o(n≥3的整數）.n邊形的外角和等于360°.正多邊形的每個內角的度數是正多邊形的每個外角的度數是在平面內,由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.正多邊形的各個角都相等,各條邊都相等的多邊形.【例3-1】如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63o,求∠DAC的度數．解：設∠1=∠2=x，則∠4=∠3=2x．∵∠BAC=63o,∴∠2+∠4=117o,即x+2x=117o,∴x=39o,∴∠3=∠4=78o,∠DAC=180o-∠3-∠4=24o.典型例題知識點三有關三角形內、外角的計算

若題中沒有給出任意角的度數,僅給出數量關系,常用方程思想設未知數列方程求解.考點聚焦【例3-2】已知一個多邊形的每個外角都是其相鄰內角度數的1/4,求這個多邊形的邊數.

解：設此多邊形的外角的度數為x,則內角的度數為4x,

則x+4x=180o,解得x=36o.∴邊數n=360o÷36o=10.典型例題知識點三多邊形的內角和與外角和在求邊數的問題中,常常利用定理列出方程,進而再求得邊數.考點聚焦1.在△ABC中,三個內角∠A,∠B,∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B,則∠B=

.

2.如圖,在△ABC中，CE，BF是兩條高,若∠A=70o,∠BCE=30o,則∠EBF的度數是_

,∠FBC的度數是_

.3.如圖,在△ABC中,兩條角平分線BD和CE相交于點O,若BOC=132o,那么∠A的度數是

.

60o

ABCEFABCDEO20o40o84o基礎訓練知識點三有關三角形內、外角的計算4.∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內角,且分別滿足下列條件,求∠A,∠B,∠C中未知角的度數.(1)∠A-∠B=16o,∠C=54o；(2)∠A:∠B:∠C=2:3:4.解:(1)由∠C=54o知∠A+∠B=180o-54o=126o①,又∠A-∠B=16o②,由①②解得∠A=71o,∠B=55o;(2)設∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x,則2x+3x+4x=180o,解得x=20o,∴∠A=40o,∠B=60o,∠C=80o.基礎訓練知識點三有關三角形內、外角的計算5.已知一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍少180o,求這個多邊形的邊數．解：設這個多邊形的邊數是n,依題意得(n-2)×180o=3×360o-180o，解得n=7．∴這個多邊形的邊數是7．基礎訓練知識點三有關三角形內、外角的計算6.如圖,五邊形ABCDE的內角都相等,且∠1=∠2,∠3=∠4.

求∠CAD的度數．解：∵五邊形的內角和是540o，∴每個內角為540o÷5=108o，∴∠E=∠B=∠BAE=108o，又∵∠1=∠2,∠3=∠4，由三角形內角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=(180o-108o)÷2=36o，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108o-36o-36o=36o．基礎訓練知識點三有關三角形內、外角的計算7.如圖,六邊形ABCDEF的內角都相等,∠1=∠2=60o,AB與DE有怎樣的位置關系?AD與BC有怎樣的位置關系?為什么?解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵六邊形ABCDEF的內角都相等，∴六邊形ABCDEF的每一個內角都等于120o，∴∠EDC=∠FAB=120o.∵∠1=∠2=60o，∴∠EDA=∠DAB=60o,∴AB∥DE，∵∠C=120o,∠2=60o,∴∠2+∠C=180o，∴AD∥BC.基礎訓練知識點三有關三角形內、外角的計算

三角形的三邊關系01

三角形中的重要線段02

有關三角形內、外角的計算03

本章中的思想方法04知識點方程思想【例4-1】如圖,在△ABC中,∠C=∠ABC,BE⊥AC,△BDE是等邊三角形,求∠C的度數.

ABCED解：設∠C=xo,則∠ABC=xo,∵△BDE是等邊三角形，∴∠ABE=60o,∴∠EBC=xo-60o.在△BCE中,根據三角形內角和定理,得90o+xo+xo-60o=180o,解得x=75,所以∠C=75o.典型例題知識點四方程思想

在角的求值問題中，常常利用圖形關系或內角、外角之間的關系進行轉化，然后通過三角形內角和定理列方程求解.1.如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度數.ABCD))))2413解：設∠1=x,根據題意得∠2=x.∵∠3=∠1+∠2,∠4=∠2,∴∠3=2x,∠4=x，又∵∠3=∠C,∴∠C=2x.在△ABC中,根據三角形內角和定理，得x+2x+2x=180o,解得x=36o,∴∠1=36o.基礎訓練知識點四方程思想【解析】由于沒有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰,則6為底,此時周長為26；第二種10為底，則6為腰,此時周長為22.26或22【易錯提示】別忘了用三邊關系檢驗能否組成三角形這一重要解題環節.典型例題知識點四分類討論思想【例4-2】已知等腰三角形的兩邊長分別為10和6,則三角形的周長是__