金融工程的基本分析方法2/22/202312.1無套利定價法定義：套利是同時持有一種或者多種資產的多頭或者空頭，從而存在不承擔風險的情況下鎖定一個高于無風險利率的收益。兩種套利方法：當前時刻凈支出為0，將來獲得正收益〔收益凈現值為正〕當前時候一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零〔支出的凈現值為0〕。無套利原那么：如果市場是有效率的話，市場價格必然由于套利行為作出相應的調整，重新回到均衡的狀態。注意：無套利并不需要市場參與的者一致行動，實際上只要少量的理性投資者可以使市場無套利。在有效的金融市場上，市場不存在套利均衡。案例2-1假設現在6個月即期年利率為10%〔連續復利，下同〕，1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個月到1年期的遠期利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產生套利活動？答案是肯定的。回顧：連續復利的概念假設名義利率為r，一年〔期〕平均付息m次，那么相應的有效利率rm為后者為連續復利，如果是T年〔期〕，那么2/22/20235套利過程是：交易者按10%的利率借入一筆6個月資金〔假設1000萬元〕簽訂一份協議〔遠期利率協議〕，該協議規定該交易者可以按11%的利率，在6個月后從市場借入資金1051萬元〔等于1000e〕。按12%的利率貸出一筆1年期的款項金額為1000萬元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元〔等于1000e0.12×1〕，并用1110萬元〔等于1051e〕償還1年期的債務后，交易者凈賺17萬元〔1127萬元-1110萬元〕。這是哪一種套利？先看遠期外匯定價的例子目前貨幣市場上美元利率是6%，馬克利率是10%；外匯市場上美元與馬克的即期匯率是1美元兌換馬克(1:1.8)問：一年期的遠期匯率是否還是？無套利的定價法的原理：套利者可以借入1美元，一年后要歸還美元；在即期市場上，他用借來的1美元兌換成馬克存放一年，到期可以得到馬克；在遠期市場上套利者在購買馬克同時按照目前的遠期匯率〔〕賣出馬克，換回美元。在扣除掉為原先借入的1美元支付的本息美元之外，還有一個剩余美元〔美元美元〕。如果不計費用，這個剩余就是套利者獲取的無風險利潤。顯然，不是均衡的遠期外匯價格。無套利的價格無套利均衡的價格必須使得套利者處于這樣一種境地：他通過套利形成的財富的現金價值，與他沒有進行套利活動時形成的財富的現金價值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現金流量狀況。

套利者借入1美元后，如果不進行套利活動，他一年后將得到美元；如果他實施了套利活動，他一年后將得到馬克。這兩種情況都是從期初的1美元現金流出開始，到期末時兩個現金流入的價值也必須相等。于是美元馬克，即1美元馬克。這個價格才是無套利的均衡價格。無套利的定價法的原理：無套利定價的關鍵技術是所謂“復制〞技術，即用一組證券來復制另外一組證券。如果兩種資產〔組合〕的現金流特征完全相同，根據無套利原理，二者可以相互復制如果A資產〔組合〕的風險與B資產〔組合〕完全相同，那么A資產的收益，就可以推斷B的收益，從而得到B的資產的定價。案例2-2無套利定價法運用到期權定價中假設一種不支付紅利的股票，目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設現在的無風險年利率等于10%，問題：求一份3個月期執行價格為元的該股票歐式看漲期權的價值。

為了找出該期權的價值，可構建一個由一單位看漲期權空頭和Δ單位的標的股票多頭組成的組合。假設股票價格=11，那么該期權執行，那么組合收益為11Δ假設股票價格=9，那么該期權不執行，那么組合收益為9Δ為了使該組合在期權到期時無風險，Δ必須滿足下式：11Δ＝9Δ，即Δ組合價值為元由于該組合中有一單位看漲期權空頭和單位股票多頭，而目前股票市場價格為10元，因此，從無套利出發，期權費f〔期權的價值〕必須滿足根據無套利定價原理，無風險組合只能獲得無風險利率，所以組合的現值為無套利定價機制的主要特征無套利定價原那么要求套利活動必須在無風險狀態下進行在一個不存在套利機會的有效市場上，投資者可以建立起一個包含了衍生品〔比如期權〕頭寸和基礎資產〔比如股票〕頭寸的無風險的資產組合。假設數量適當，基礎資產多頭盈利〔或虧損〕就會與衍生品的空頭虧損〔或盈利〕相抵，因此在短期內該組合是無風險的〔理論上只對瞬間的時刻保持無風險，否那么，需要在這個資產組合中持續地調整基礎證券與衍生證券的投資比例〕。根據無套利原那么，無風險組合的收益率必須等于無風險利率。所以這個原理實際上表示了衍生證券的期望收益率，基礎證券的期望收益率和無風險利率之間的一個均衡條件無套利定價法的應用

金融工具的模仿〔mimicking〕即通過構建一個資產〔組合〕使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。注意：盈虧狀況相似或者相同，但價值可能有所不同。金融工具的合成〔compound〕即通過構建一個資產〔組合〕使之與被模仿的金融工具具有相同價值。合成是建立在模仿的基礎上案例2-3：模仿股票〔themimickingstock)模仿股票：一個看漲期權多頭和一個看跌期權的空頭的組合。假設t時刻，股票買權和賣權的價格分別是ct和pt，兩個期權的執行價格都是X＝St〔t時刻股票的價格〕，到期日股票價格為ST。那么到期日的收益為股票模仿股票模仿股票與實際股票有所區別！表面上看，持有模仿股票似乎不合算但下面的例子說明，模仿股票在財務杠桿方面的巨大優勢，為風險偏好型的投資者提供了一個性質不同的投資渠道假設一只股票現在的市場價格是10元，以該價格作為執行價格的看漲期權和看跌期權的價格分別是元和元。一個投資者用10元錢采取兩種方案進行投資方案一直接在股票市場上購買股票方案二是用同樣的資金購買模仿股票10元錢可以購買100個模仿股票股票價格上升到元時兩個方案的比較股票價格下跌到元時兩個方案的比較

期初投資凈收益投資收益率方案一方案二10元10元10.5-10=0.5元100*（10.5-10-0.1）=40元5%400%期初投資凈收益投資收益率方案一方案二10元10元9.5-10=-0.5元100*（9.5-10-0.1）=60元-5%-600%案例2-4合成股票〔compoundstock〕合成股票的構成是：一個看漲期權的多頭，一個看跌期權的空頭、無風險債券多頭Xe-r(T-t),實際是模仿股票和無風險債券的合成目的：消除模擬股票與股票之間的差異那么組合的最終價值為max(0,ST-X)-max(0,X-ST)+X=ST-X+X=ST期初價值應相等：St=Ct-pt+Xe-r(T-t)2.2風險中性定價法無風險資產的收益是確定的，其風險為零，而風險資產的收益具有隨機性——各種狀態的出現具有一定的概率，故具有補償風險的超額收益率。啟發：改變各個狀態出現的概率，使風險資產的回報率等于無風險收益率——超額收益率為0。風險中性定價原理：在這個改變了概率的世界里，所有證券的預期收益率都等于無風險利率r，所有現金流量都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。風險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定由于風險中性，人們只關心收益不考慮風險風險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。

案例2-2風險中性定價法運用到期權定價中假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設現在的無風險年利率等于10%，現在我們要找出一份3個月期協議價格為元的該股票歐式看漲期權的價值。

在風險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P?！搽m然有實際的概率，但可以不管〕，如果風險中性，那么該股票無超額收益，這個風險中性世界的概率是同樣，在風險中性的世界里，可以賦予期權價值的概率，該期權同樣只能獲得無風險收益率，那么期權的現值為兩種方法求得結果是等價——風險中性定價本質上仍是無套利定價。比較兩種定價方法假設一個無紅利支付的股票，當前時刻t，股票價格為S，基于該股票的某個期權的價值是f，期權的有效期是T，在這個有效期內，股票價格或者上升到Su〔u>1〕，或者下降到Sd〔1>d>0〕。當股票價格上升到Su時，我們假設期權的收益為fu，如果股票的價格下降到Sd時，期權的收益為fd。Sf總結：無套利定價法的思路首先，構造由Δ股股票多頭和一個看漲期權空頭組成的證券組合，并計算出該組合為無風險時的Δ值。如果無風險利率為r，那么該無風險組合的現值為在無套利假定下，構造組合的成本滿足將〔〕代入〔〕整理得到總結：風險中性定價的思路假定風險中性世界中股票的上升概率為P，由于股票的期望值按無風險利率貼現，其現值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得：由上式可見，期權價值只與無風險利率、股票上漲〔下跌〕的幅度和時間有關，而不依賴于股票上漲的實際概率。這完全違反直覺！期權的價值依賴于標的資產的上漲〔下跌〕，但未來上升和下跌的概率已經包含在股票的價格中！2.3狀態價格定價技術狀態價格的定義：指的是在特定的狀態發生時回報為1，否那么回報為0的資產在當前的價格。狀態價格定價技術：如果未來時刻有N種狀態，而這N種狀態的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產在未來各種狀態下的回報狀況以及市場無風險利率水平，我們就可以對該資產進行定價。該方法是無套利定價原那么和證券復制技術的具體運用。A是有風險證券，其目前的價格是PA，一年后其價格要么上升到uPA，要么下降到dPA(d<1+rf=RA<u)這就是市場的兩種狀態：上升狀態〔概率是q〕和下降狀態〔概率是1-q〕狀態價格定價技術的原理

案例2-51、構造兩個基本證券〔單位證券〕?；咀C券1在證券市場上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券1現在的市場價格是πu，基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為1?；咀C券2的價格是πd。πu和πd分別被稱為上升狀態的價格和下降狀態的價格這兩個基本證券的特征是，它們可以用來復制有風險的A證券10πuq1-q01πdq1-qq1-qπuuPA+πddPA1×uPA＋0×dPA＝uPA0×uPA＋1×dPA＝dPAuPAdPAPAq1-q

2、由基本證券模擬證券A。購買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2組成一個假想的證券組合根據無套利假設由此可見，該組合在T時刻無論發生什么情況，都能夠產生和證券A一樣的現金流，所以組合是證券A的復制品。根據無套利原理，復制品與被復制對象的市場價格應該相等，即PA=πuuPA+πddPA或者1＝πuu+πdd〔〕3、證明：在T時刻無論出現什么狀態，各1個單位(uPA=dPA=1)基本證券構成的組合的回報都是1元。因此，該組合是無風險的，它只能獲得無風險收益率，假設無風險收益率為r，那么〔〕q1-q1πu+1πd1×1＋0×1＝10×1＋1×1＝1tT所以由〔〕和〔〕聯立得到1=πuu+πdd決定基本證券價格的實際上就是3個因素：無風險利率r,金融工具價格上升的速度u和其價格下降的速度d，同其他的因素就沒有關系了

結論：只要有具備上述性質的兩個基本證券存在，我們就能夠通過復制技術，為金融市場上的任何有價證券定價。擴展二叉數模型。關于有價證券的價格上升的概率q，雖依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對q認識的分歧不影響為有價證券定價的結論。無套利分析〔包括其應用狀態價格定價技術〕的過程與結果同市場參與者的風險偏好無關。練習假設有價證券的市場情況如下：PA＝100，r＝2％，u＝，d＝，T－t＝1，假設另外有一個證券B，其價格1年后可能上升為103，也可能下降為元，求該證券的合理價格。提示：先求基本證券1和2，由基本證券來復制證券B：uPB份的基本證券1和dPB份的基本證券2。具體例子1：用基本證券1和2來復制證券B假如有價證券A的市場情況如下：PA=100，r=2%，，T-t=1,可以求得：假設另一個證券B，它在一年后的價格可能上升到103元，也可能下降到元。那么，它當前的價格應該是PB=πuuPB+πddPB具體例子2：用現實中的證券A和無風險證券來復制證券B復制過程：用Δ份證券A和當前市場價值為L的無風險證券構成市場價值為I的組合，其成本是I=100Δ+L一年后，該組合無論市場價格上升還是下降，都必須與證券B的價格相同。于是有解得于是B現在的市場價值是狀態價格定價技術：兩期的情況求B現在的均衡價格？解出ΔU，Lu=50.76,因此有PBU=107ΔU+Lu=102.99

對右下方的二叉樹，同理解出Δd，Ld=48.62,因此有PBd=98Δd+Ld使用倒推法，先從B的圖形中右上部分開始。在第1年末，假設市場處于上升狀態，此時用Δu份證券A和市場價值為Lu的無風險證券來復制證券B的組合，見圖。

107114.49104.86107ΔU+Lu104.86ΔU+e0.02Lu114.49ΔU+e0.02Lu最后，我們用Δ份證券A和價值為L的無風險證券的組合復制證券B同前例同理，解出Δ=0.5,L=48.53,證券B的價值PB=98.52當二叉樹模型由單期擴展到二期〔或以上〕時，需用動態無套利的方法來解釋這里涉及到的“自融資〞問題。在第一期期末時Δ和L發生變化：原是〔Δ，L〕=〔〕,現在是〔，〕,但證券組合價值未改變，因為有107Δ+eL=PBU〔=103〕=107ΔU+Lu狀態價格定價法在期權定價中的應用

假設某股票符合前面提到的兩種市場狀態，即期初價值是S0，期末價值是S1S1只可能取兩個值：S1=Su=uS0,u＞1S1=Sd=dS0,d＜1求：以該股票為標的資產的看漲期權的價值是多少？構造與看漲期權的價值特征完全相同的投資組合：以無風險利率r借入一部分資金B〔相當于做空無風險債券〕，同時在股票市場上購入N股標的股票該組合成本為NS0-B到了期末，該組合的價值V是NS1-RB，R是利率對應于S1的兩種可能，V有兩個取值：S1=Su,那么V=Vu=NSu-RBS1=Sd,那么V=Vd=NSd-RB。令到期日組合的價值與看漲期權的價值相同解得由于期初的組合應該等于看漲期權的價值，即有NS0-B=c0,把N和B代入，得到看漲期權的價值公式c0=[pcu+(1-p)cd]e-r(T-t)

p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。具體例子假設一份看漲期權，到期日為1年，執行價格X是112元；標的股票當前的價格是100元，無風險利率〔單利〕是8%。1年后，股票的價格或是上升到180元，或是下降到60元。根據上述公式，得到：N=〔68-0〕/〔180-60〕〔股〕B=〔0.57×60-0〕e〔元〕c0=NS02.4積木分析法從應用的角度，在為金融資產定價時，金融工程主要運用積木分析法積木分析法也叫模塊分析法，指將各種金融工具進行分解和組合，以解決金融問題。

積木分析法主要以圖形來分析收益/風險關系以及金融工具之間的組合/分解關系多頭金融價格風險當金