立體幾何大題訓練(1)1．如圖，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中點．（1）FD∥平面ABC；（2）AF⊥平面EDB．2．已知線段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點。（1）求證：MNABCDEF如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分別是A1A，D1ABCDEF_G_M_D_1_C_1_B_1_A_1_N__G_M_D_1_C_1_B_1_A_1_N_D_C_B_A（1）求證：EF∥平面CB1D1；ABCDA1B1C1D1EF（2）求證：平面ABCDA1B1C1D1EF立體幾何大題訓練(4)EABCFE1A1B1C1D1D7、如圖，在直四棱柱ABCD-A1EABCFE1A1B1C1D1D(1)設F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥面FCC1；(2)證明：平面D1AC⊥面BB1C1C。8．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，點E，F分別在PD，BC上，且PE：ED=BF：FC。（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求證：EFAPBCDEFABCC1A1B1EDCB1C1A1ABAPBCDEFABCC1A1B1EDCB1C1A1AB（I）求證：PA1⊥BC；（II）求證：PB1圖，平行四邊形中，，將沿折起到的位置，使平面平面（I）求證：（Ⅱ）求三棱錐的側面積。第14題14.如圖,在四棱錐中,側面底面,側棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一點.第14題(Ⅰ)若,試指出點的位置；(Ⅱ)求證:.立體幾何大題訓練(8)15、如圖所示：四棱錐P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，ABABCDEQP（1）證明：EB∥平面PAD；（2）若PA=AD，證明：BE⊥平面PDC；16．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，點D是AB的中點。（I）求證：CD⊥平面A1ABB1；（II）求證：AC1BADCFE（第17題）A1B1C1ABCDPECBADO四棱錐中，底面為菱形，,E為OA的中點，F為BC的中點，連接EF，求證：BADCFE（第17題）A1B1C1ABCDPECBADO（1）(2)ABEDC24、已知：等邊的邊長為，分別是的中點，沿將折起，使，連,得如圖所示的四棱錐ABEDC(Ⅰ)求證：平面(Ⅱ)求四棱錐的體積AABCED立體幾何大題訓練(13)25、如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E是PD的中點（1）求證：PB∥平面AEC（2）求證：平面PDC⊥平面AEC26．如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點，點在上，。求證：（1）EF∥平面ABC；w.（2）平面平面.立體幾何大題訓練(14)27、如圖所示，在棱長為2的正方體中，、分別為、的中點．（1）求證：三棱柱的底面邊長與側棱長都是2，分別是的中點.C1B1A1C1B1A1EDCBA（Ⅱ）求證：∥平面;（Ⅲ）求證：平面⊥平面.立體幾何大題訓練(15)29.已知直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且，分別為的中點，（1）求證：ABCDABCDEABCDEOH立體幾何大題訓練(16)31．（本小題滿分14分）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，ABAD，CD=DD1=4，AD=AB=2，E、F分別為BC、CD1中點．(I)求證：EF∥平面BB1D1D；ABCDEA1B1CABCDEA1B1C1FD1第31題圖(Ⅲ)求四棱錐F-BB1D1D的體積.32、如圖，已知平面是正三角形，，且是的中點。（I）求證：平面；（II）求證：平面平面；立體幾何大題訓練(17)33.如圖已知平面，且是垂足．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，試判斷平面與平面的位置關系，并證明你的結論．34．如圖，四棱柱的底面邊長和側棱長均為1，為中點．A1D1A1D1C1B1BACDO1（II）求證：；（III）求四棱柱的體積．立體幾何大題訓練(18)35.如圖，正三棱柱中，已知，為的中點．ABCA11ABCA11C1B1M（Ⅱ）試在棱上確定一點，使得平面．36．正三棱柱中，點是的中點，．設．（Ⅰ）求證:∥平面;（Ⅱ）求證:⊥平面．答案與評分標準1.證明（1）取AB的中點M，連FM，MC，∵F、M分別是BE、BA的中點，∴FM∥EA，FM=EA．∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM．………………3分又DC=a，∴FM=DC．∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC．即FD∥平面ABC．……………7分（2）∵M是AB的中點，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，………………11分又F是BE的中點，EA=AB，∴AF⊥EB．即由AF⊥FD，AF⊥EB，FD∩EB＝F，可得AF⊥平面EDB．……………………14分2.（1）取PD的中點E，連接AE、EN∵EN平行且等于DC，而DC平行且等于AM∴AMNE為平行四邊形MN∥AE∴MN∥平面PAD（2）∵PA⊥平面ABCD∴CD⊥PA又∵ABCD為矩形∴CD⊥AD,∴CD⊥AE，AE∥MN，MN⊥CD∵AD⊥DC，PD⊥DC∴∠ADP=45°,又E是斜邊的PD的中點∴AE⊥PD，∴MN⊥PD∴MN⊥CD，∴MH⊥平面PCD.3、證明：（1）∵E,F分別是的中點．∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD，∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直線EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是ＢＤ的中點，∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面面4、(1)證明∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側面BB1C1C∴AD⊥CC1(2)證明延長B1A1與BM交于N，連結C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥側面BB1C1C，∴C1N⊥側面BB1C1C∴截面C1NB⊥側面BB1C1C∴截面MBC1⊥側面BB1C1C(3)解結論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側面BB1C1C∴ME⊥側面BB1C1C，又∵AD⊥側面BB1C1C∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面∵AM∥側面BB1C1C，∴AM∥DE∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點∴AM=DE=AA1，∴AM=MA15.證明：（1）取CD的中點記為E，連NE，AE．由N，E分別為CD1與CD的中點可得NE∥D1D且NE=D1D，………………2分又AM∥D1D且AM=D1D………………4分所以AM∥EN且AM=EN，即四邊形AMNE為平行四邊形所以MN∥AE，………………6分又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD……8分（２）由AG＝DE，，DA＝AB可得與全等……………10分所以，……………11分又，所以所以，………………12分又,所以，……………………13分又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG……………15分6.（1）證明:連結BD.在長方體中，對角線.又E、F為棱AD、AB的中點，..又B1D1EQ\d\ba6()平面，平面，EF∥平面CB1D1.（2）在長方體中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1EQ\d\ba6()平面A1B1C1D1，AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1EQ\d\ba6()平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．7、證明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，EABCFE1A1B1C1D1DF1連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4,CD=2,且ABEABCFEABCFE1A1B1C1D1DF1EABCFE1A1B1C1D1D所以CC1⊥AC,因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4,BC=2,F是棱AB的中點,所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，,△ACF為等腰三角形，且所以AC⊥BC,又因為BC與CC1都在平面BB1C1C內且交于點C,所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.8．（1）證明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=a.在△PAB中，∵PA2+AB2=2a2=PB2,∴PA⊥AB，同時PA⊥AD，又ABAD=A，∴PA⊥平面ABCD.……4分（2）作EG………………6分則∴GF…8分又PAAB=A，EGGF=G，∴平面EFG…10分9．(1)在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，同理可得∵，∴∵平面ABC，∴PA⊥BC.(2)如圖所示取PC的中點G，連結AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點又D、E分別為BC、AC的中點，∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F∴面ABG∥面DEF即PC上的中點G為所求的點。（3）10、（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，則BB1⊥AB，BB1⊥BC，又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，則AB=，則由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，則AC⊥平面B1CB，所以有平面AB1C⊥平面B1CB；-----------------------------------8分（2）三棱錐A1—AB1C的體積．----------14分11、（1）設AB1與A1B相交于F，連EF，DF．則EF為△AA1B1的中位線，∴EFA1A．……2分∵C1DA1A，∴EFC1D，則四邊形EFDC1為平行四邊形，∴DF∥C1E．……4分∵C1E平面A1BD，DF平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．……6分（2）取BC的中點H，連結AH，B1H，由正三棱柱ABC－A1B1C1，知AH⊥BC，……8分∵B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC＝B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD．……10分在正方形B1BCC1中，∵tan∠BB1H＝tan∠CBD＝，∴∠BB1H＝∠CBD．則B1H⊥BD．……12分∵AH⊥∩B1H＝H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1．在正方形A1ABB1中，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD．……14分12.解：（I）證明：取B1C1的中點Q，連結A1Q，PQ，∴△PB1C1和△A1B1C1是等腰三角形，∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ， …………2分∴B1C1⊥平面AP1Q，…………4分∴B1C1⊥PA1，…………6分∵BC∥B1C1，∴BC⊥PA1. …………7分（II）連結BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q為中點，∴PQ=1，∴BB1=PQ，…………9分∴BB1∥PQ，∴四邊形BB1PQ為平行四邊形，∴PB1∥BQ.…………11分∴BQ∥DC1，∴PB1∥DC1，…………12分又∵PB1面AC1D，∴PB1∥平面AC1D.…………14分13.證：（I）證明：在中，又平面平面平面平面平面平面平面（Ⅱ）解：由（I）知從而在中，又平面平面平面平面，平面而平面綜上，三棱錐的側面積，14.(Ⅰ)解:因為,,且,所以……………(4分)又,所以四邊形為平行四邊形,則……(6分)而,故點的位置滿足………(8分)(Ⅱ)證:因為側面底面,,且,所以,則…………………(10分)又,且,所以…………(14分)而,所以…………………(16分)15、（1）取PD中點Q，連EQ、AQ，則∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，又∥AQ又∥平面PAD（2）PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA，又CD⊥AD∴CD⊥平面PAD∴AQ⊥CD若PA=AD，∴Q為PD中點，∴AQ⊥PD∴AQ⊥平面PCD∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD16．證明：（I）證明：∵ABC—A1B1C1是三直棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1，∵AC=BC，點D是AB的中點，∴CD⊥AB，平面ABC∩平面A1ABB1=AB，∴CD⊥平面A1ABB1。（II）證明：連結BC1，設BC1與B1C的交點為E，連結DE?！逥是AB的中點，E是BC1的中點，∴DEGBADCFE解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．GBADCFE在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．∴SABCD＝．則V＝．（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，∴AF⊥PC．………………7分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E為PD中點，F為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC．………9分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……10分（Ⅲ）證法一：取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．………12分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．………14分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．………15分23.24、證明：(Ⅰ)連，在等邊中有，而，----3分ABCED在中，，則，由對稱性知，ABCED在中，則又，----7分(Ⅱ)在梯形中，易知----10又-------14分25．（1）連結交于點，連結，因為為中點，為中點，所以，…2分，，所以，………………6分（2）因為，所以，又因為，且，所以．…………8分因為，所以．………………10分因為，所以．因為，所以．……………12分又因為，所以．………………14分26．27、證明：（1）連結，在中，、分別為，的中點，則 （2）（3）且，∴即 == 28．解:（1）解由三棱柱是正三棱柱，且棱長均為2，可知底面是正三角形，側面均為正方形，CBAEDCCBAEDCBA(2)在正三棱柱中，因為分別是的中點，可知,又∥,所以四邊形是平行四邊形，故∥,又平面,平面,所以∥平面.(3)連,設與相交于，則由側面為正方形，可知與互相平分.在△中，,同理可得,故,連,可得.連,同理可證,又與相交于，故平面.因為平面,故平面平面.29.解：（1）取BB1中點G，連DG,EG∵B1D=AD，B1G=GB，∴DG………………（2）∵AB=AC=2BAC=,∴BC=2在中EC=1∴=3=∴又∵,∴平面,∴∵，,∴平面………………10分（3）EF=.，=1…14分30.解：(1)證明∵O、H分別為AE、AB的中點∴OH31．證明：(I)連結BD1，∵E、F分別為BC、CD1中點；∴EF∥BD1，………………2分又∵BD1平面BB1D1D，EF平面BB1D1D∴EF∥平面BB1D