備戰中考數學提高題專題復習二次函數練習題一、二函數1．如圖，已知拋物線

y2(0)

的對稱軸為直線

x

，且拋物線與軸于A

、B兩，與y軸于C點其中A，(0,3).（）直線

經過B兩，求直線BC拋物線的解析式；（）拋物線對稱軸

上找一點M，點到A

的距離與到點

C

的距離之和最小，求出點M的標（）點P為物線的對稱軸

x

上的一個動點，求使

為直角三角形的點P的坐標.【答案】（）物線的解析式為

y

，直線的解析式為

y=x+3

.（）

；（）P坐標為

(

或

(1,4)

或

173或(2

【解析】分析：1）把點AC的標分別代入拋物線解析式得到a和，c的系式，根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯立得到方程組，解方程組求出a，，的值即可得到拋物線解析式；把B、兩點的坐標代入直線y=mx+n，方程組出和的值即可得到直線解析式；（）直線BC與對稱軸的交點為M，時MA+MC的最小．把x=-1代直線y=x+3得y的，即可求出點M坐；（）（，）又因為（，，（，）所以可得BC

=18，2（）+t=4+t

，2=（）2+（）=t2-6t+10再分三種情況分別討論求出符合題意

值即可求出點P的坐標．詳解：1）題意得：

a

，解得：

，c拋線的解析式x

.

c對軸為

，且拋物線經過

A把

B

分別代入直線

y

，

22得

，解之得：

n

，直

的解析式為

yx

.（）線與對稱軸xyx得y，直線

的交點為，此時MAMC值最小，把

代入

.即點

M

到點A

的距離與到點

C

的距離之和最小時的坐標為

.（注：本題只求坐沒說要求證明為何此時MC的值最小的原因）.

的值最小，所以答案未證明（）

，

18，

，

t

，①若為角頂點，則

2

PB

2

PC

2

，即：18

2

2

t解：t

，②若為角頂點，則BC

PB，：18

t42解得：t

，③若為角頂點，則PB2，：2t解：t

，2

.綜上所述P的標為

1717或點睛：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考壓軸題．2．在平面直角坐標系中，我們定義直y=ax-a為物線（、、c為常數a≠0的衍直”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸的三角形為“衍生三角形．知拋物線y

33x23

x3與其衍直”交A、兩（點A在點的左側），與軸半軸交于點．

y=x+y=x+（）空：該物線衍生直的解析式為，A的坐標為，點B的坐標為；（）圖，點M為線段上動點，eq\o\ac(△,)ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點的對稱點為N，eq\o\ac(△,)AMN為該拋物線“衍生三角形，點的標；（）點在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線衍直”上是否存在點，使得以點、、E、為點的四邊形平行四邊形？若存在，請直接寫出點、的標；若不存在，請說明理由．【答案】（）y=

x+

；（-2，2）（）（）點的坐標為03-3）（，2）（）（，

3343103）、（，）或（-1，-）（，）33【解析】【分析】（）拋物線“衍生直線”知道二次函數解析式的a即；2）過A作軸點，可知，合點標，則求出的，可求出N點的坐標；3）分別討論當AC為平行四邊形的邊時，當AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足件的E、坐標即可【詳解】（）

3323

，

233

，則拋物線的衍直”解析式為y=

323x+3

；3433聯立兩解析式求交點223A（，23）B1,0）（）圖1，A作ADy軸于點D，

x=1，解得或，

在y

33x23

x3，令y=0可得x=或，C-3,0）且A（，2），

23+2

=13由翻折的性質可知AN=AC=13，AMN為拋物線的衍生三角”，在y軸，且，在eq\o\ac(△,)中由股定理可得

-AD

=13-4=3

，

2，或2，點坐標為0，23-3），（，2）（）當為平行四邊形的邊時，如圖2，作稱軸的垂線FH，過作x軸于點K，有ACEF且AC=EF，，eq\o\ac(△,)和EFH中EFHEHFAC=EF，FH=CK=1，HE=AK=23，拋線的對稱軸，F點橫坐標為0或，點在線AB上當點橫坐標為時，則F（，

3

），此時點E在線AB下，E到y軸距離為EH-OF=

-

33=，即的坐標為3

，

E，

3

）；當點的橫坐標2時則F與A重合，不合題意，舍去；②當AC為平行四邊形的對角時，（，且A-2，）線AC的中點坐標為-2.5，設（，）（，）則（-2.5），y+t=2，

3）x=-4，

2，2-t=-

343×（）+，解得t=-3

，E-1，

-

），（，

1033

）；綜上可知存在滿足條件的點，此時E（，

323）、（，

）或E（，-

），F（，

1033

）【點睛】本題是對二次函數的綜合知識考查，熟練掌握二次函數，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關鍵，屬于壓軸題3．如圖，拋物線﹣（﹣）與x軸于A，（，分別在y軸左右兩側）兩點，與y軸正半軸交于點C，點為D，已知（﹣，）

（）點B，的標；（）eq\o\ac(△,)的形狀并說明理由；（）eq\o\ac(△,)沿x軸右平移t個單位長度0＜）eq\o\ac(△,)QPEeq\o\ac(△,)QPEeq\o\ac(△,)重部分（如圖中陰影部分）面積為S，與的數關系式，并寫出自變量t的值范圍．【答案】)B(3，；，；CDB

為直角三角形；3t2t(0)2(193t(3)22

.【解析】【分析】（）先用待系數法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點，的坐標．（）別求eq\o\ac(△,)三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判eq\o\ac(△,)為角三角形．（）COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：①當0t≤

時，如答圖2所，此時重疊部分為一個四邊形；②當

＜＜時如答圖所示，此時重疊部分為一個三角形．【詳解】解：點

A

在拋物線y

上，

，得拋線解析式為x

，令x，y，C

；令y0得

或

，

.(

為直角三角形理如下：由拋物線解析式，得頂點D的標為

.如答圖所，過點D作

軸于點M

則OMDM

BMOM

.過點

C

作

DM

于點

，則

，

DNMNOC

.在

Rt

中，由勾股定理得：BC2OC2322

；在中由股定理得：CD212

；在Rt中由勾股定理得：BD

BM

2

DM

2

2

2

2

.

BC

BD

，

為直角三角.()設線

的解析式為

ykx

，

，

，解得

k

，

y

，直線QE是線BC向平移t單位得到，直的析式為：

y

；設直線的析式為

，

my

，解得：.

，連續并長，射線交交G，G,3在向平移的過程中：

.(1)當

時，如答圖2所示：

設與

交于點K，得

CQ

，

.設

QE

與的點為F則：

yy

.解得

xyt

，

.S

PBK

11PEBE22

Ftt

.(2)當

時，如答圖3所示：設

分別與

、BD

交于點K、點

J

.CQ，

KQ

，

PKPB

.直線解式為

y，令x，t

，

t

.

tt2＝S

PBJ

PBK

12

1t39t22

.3tt02綜上所述，與t的數關系式為：S12

.4．如圖，在平面直角坐標系中有拋物y＝（x2）﹣和y（x﹣），物線＝（﹣）﹣經原點，與x軸正半軸交于點，與其對稱軸交于點；點P是拋物線y＝a（﹣）﹣上動點，且點在x軸方，過點P作x軸垂線交拋物線y＝（﹣h）

于點，過點D作PD的垂線交拋物線＝a（﹣h）

于點D（不與點D重），連接PD′，設點P的坐標為m：（）直接寫出的值；②直寫出拋物線＝（x﹣）﹣2的數表達式的一般式；（）拋物線y＝a﹣）

經過原點時，eq\o\ac(△,)′與OAB重疊部分圖形周長為L：①求

的值；②直寫出L與m之的函數系式；（）h為何值時，存在點P，使以點、、、為頂點的四邊形是菱形？直接寫出h的值．【答案】（）（）；

；＝﹣x；②L

2)m(0m2(22

(24)

；（）＝±．

【解析】【分析】（）將x0＝代＝a﹣）﹣中算即可②＝

x

2

﹣；（）（，）代入＝（﹣）

中，可求得＝

，＝2，待定系數法求OB、的解析式，由點P的坐標為m，可示出相應線段求解；（）點O、、、為頂點的四邊形是菱形DD＝，知點D的縱坐標為，再由＝＝即可求出h的．【詳解】解：（）將x0＝代＝（﹣）﹣中得：＝（﹣2）﹣，解得：＝

；②＝

x

﹣x；（）拋線＝a﹣）2y＝，

經過原點，＝

；（，0），（，），易得：直線解析式為：＝﹣x，線解式為：＝﹣如圖，1Pm2m,Dm,2,E(m,0),,),2

2

，①

PD

2

2

m

2

PDDD2m②如1，0＜時，＝+EF＝m22)m，當2＜＜時，如圖2，′交x軸G，于H，交x軸于E，交于，

則,0),(m4),D則,0),(m4),D2P,

2

Dm

2

2

，PF

2

12

2

，

2PFm2,PGm42

2

2mDD

EGDD

，即：?PDPE?DD，得：（）＝（m﹣m）mEG＝m﹣

m2，4﹣L＝+EF+FH+＝+PG1mm2

2m2

m

2

1)m2)m(0L2m22(2m（）圖3，

；

OADD為菱形AD＝＝DD＝，PD＝，PA23【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，菱形的性質，拋物線的平移等，解題時要注意考慮分段函數表示方法．5．如圖，拋物線＝+bx+與x軸交于A、兩，點標為3，）與y軸于點（3）（）拋物線y＝x++c的表達式；（）D為物線對稱軸上一點，eq\o\ac(△,)BCD是為角邊的直角三角形時，求點D的坐標；（）P在x軸方的拋線上，過點P的線＝m與直線BC交點E與軸于點，+的大值．【答案】（）2﹣；2），﹣）（）2．【解析】試題分析：1）用待定系數法求拋物線解析式；（）圖1，（，）利用兩點間的距離公式得到BC

2=32

=18，（3），=（﹣）+y=1+y，后討論：當

為邊時得到18+4+（﹣）=1+y；當CD為斜邊時得到（﹣）=1+y+18再分別解方程即可得到對應D的標；（）證=90°eq\o\ac(△,)ECF為等腰直角三角形，作PH軸于H，y軸于G，圖2eq\o\ac(△,)EPGeq\o\ac(△,)PHF都等腰直角三角形，則PEPG，=2PH，設（，2﹣t+3）1＜＜3）則G（，t）接著利用表PF、，這樣+=2PE+PF﹣2t+4t，后利用二次函數性質解決問題．b試題解析：解：1）（，）（，）代入=x+bxc得：c

，解得：c

，拋線=x+bx的達式為y=x﹣+3；

（）圖1，物線的對稱為直線﹣

=2，（，），（，），（，3），BC

=3

+3=18，=4+（﹣2，BD

=（2）y，eq\o\ac(△,)BCD是以為角邊，為邊的直角三角形時BC+DC=此時D點坐標為（，）

，即18+4+（﹣）=1+，得：=5eq\o\ac(△,)BCD是以BC為直角邊，為邊的直角三角形時，+DB

=DC，即4+（﹣）=1+y+18，得﹣，此時

D點坐標為（﹣）（）得BC的解析式為y﹣．直=xm與線平行，直﹣x與線y=xm垂直，CEF=90°，ECF為腰直角三角形，作PHy軸H，軸交于G，圖2eq\o\ac(△,)EPGeq\o\ac(△,)PHF都等腰直角三角形PE

PG，=

2PH，P（，﹣t+3（＜＜），則Gt，t+3），PF

2PH

2t，PG=﹣﹣（﹣4t+3﹣t+3，PE

23PG﹣t+t+=PE+PF=2+PF﹣222t+3

2+

2=t2+4

2=﹣（﹣）+4

2，t=2時+EF的最大值為4

2．點睛：本題考查了二次函數的綜合題．熟練掌握等腰直角三角形的性質、二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質；會利用待定系數法求二次函數解析式；理解坐標與圖形性質，記住兩點間的距離公式．6．如圖，知拋物線＝+bx+3(a與軸于點A(1，和B(，，軸于點．(1)求物線的解析式；(2)設物線的對稱軸與x軸交于點，在對稱軸上是否存在點P，eq\o\ac(△,)為腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由．(3)(中物線的對稱軸上是否存在點Q使eq\o\ac(△,)的長最小？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．(4)如2，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、，四邊形BOCE面的最大值，并求此時E點坐標．

，BOCEFOCE，BOCEFOCE【答案】（）＝﹣2；（）在合條件的點P，其坐標為P﹣，）或P（﹣，10）或P﹣，）（1，

）；（）在（1，）（）3E24

.【解析】【分析】（）知拋物過、兩，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（）根據（）的函數解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出M點坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的標為，），根據、的標可求出的離．然后分三種情況進行討論：①當CP＝時，位CM的直分線上．求P點坐標關鍵是求P的坐標，過P作y軸，果設＝＝，那么直角三角形CPQ中CP＝，的，可根據M的坐標得出CQ＝﹣，此可根據勾股定理求x的值，點橫坐標與M的坐標相同，縱坐標為x，此可得出P的標．②當CM＝MP時，根據CM的即可求出P的縱坐標，也就得出了P的標（要注意分上下兩點）．③當CM＝時，因為C的坐標為，），那么直線y＝必垂直平分PM，此P的縱坐標是6，此可得P的標；（）據軸對﹣最短路徑問題解答；（）于四邊BOCE不是規則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規則的圖形進行計算，過作EF軸，＝

BFE

+S

．直角梯形FOCE中，FO為的橫坐標的絕對值為的縱坐標，已知的坐標，就知道了OC的．eq\o\ac(△,)BFE中，BF＝BO﹣，因此可用E的橫坐標表示出BF的．如果根據拋物線設出E的坐標，然后代上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的積與E的坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的大值及對應的E的坐標的值．即可求出此時E的標．【詳解】（）拋線yax+bx+3（）與x軸交于點A（，）和點B﹣，）

12341234

a

，解得：

．所拋物線解析為y﹣x﹣；（）答圖1，拋線解析式為y＝x﹣，其稱軸為＝

＝﹣1，設點坐標為（1，）當＝時＝，C0，），M﹣，）當＝

時，（1）+（﹣）＝，解得

＝

，P點標為：（1，

）；當CM＝時，（﹣1

+3＝，解得＝10，P點標為：（1，）或（1，﹣10）當CM＝時由勾股定理得：（﹣）＝（﹣）+3﹣），得＝6，P點標為：（1）．綜上所述存在符合條件的點P，其坐標P（，10）P1﹣10）（﹣1，）P（1，

）；（）在，（1，）理由如下：如答圖2，點C（，關于對稱軸＝﹣的稱點C的坐標是（2），連接AC，直線AC與對稱軸的交點即為點．設直線AC函關系式為y＝（）

BOCEBOCE將點A（，）C（﹣，）代入，得，解得t

k

，所以，直線函數關系式為y＝﹣．將x＝1代入，得＝，即：（﹣，）（）點作x軸于點F，E，﹣﹣）﹣＜）＝﹣﹣，＝，＝aS

＝BOCE

BF?EF+（）＝

1（）（﹣﹣）（﹣2﹣）（﹣）2＝﹣

3a﹣a+＝（）+，28當＝﹣

時，S最大，且最大值為．8此時，點E坐為（﹣

，）．4【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合知識，要注意的是2中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解．7．如圖，已知拋物線2bx經A（3，）（，），（，）點，其頂點為D，稱軸是直線，與x軸于點H

22（）該拋物的解析式；（）點P是該拋物線對稱軸上一個動點，eq\o\ac(△,)PBC周長的最小值；（）圖2）若E是段AD上一個動點（E與A、不合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點，交軸點，點E的坐標為meq\o\ac(△,)的積為S①求S與m的數關系式；②S是存在最大值？若存在，求出最大值及時點的標；若存在，請說明理由．【答案】（）

y

.（）.（）S

4m.②當m=﹣時S最，最大值為1，時點E的標為（，）【解析】【分析】（）據函數象經過的三點，用待定系數法確定二次函數的解析式即（）據BC是定值，得到當PB+PC最小時eq\o\ac(△,)PBC的周長最小，根據點的坐標求得相應線段的長即.（）點的橫坐標為，表示出E（）（，

）最后表示出的，從而表示出S于m的函數關系，然后求二次函數的最值即.【詳解】解：（）拋線y

2

bx經過（－0），（，），可拋物線交點為

.又拋線ybx經過C（，），

.拋線的解析式：

，即

2

2x

.（）的長為PB+PC+BC，且BC是值當PB+PC最小時eq\o\ac(△,)PBC的長最.點、點關對稱軸I對，連AC交l于點P，即點為求的.，的長最小是：A－，）（，），（，），AC=3

，.PBC的長最小是：3

.

（）拋物線

y22x

頂點的坐標為（1，）A﹣，）直AD的析為y=2x+6點的橫坐標為m，E（，），（m，2m）

2

4m

.

11114m2222

2

.S與m的數系式為

S4m②4m

，當m=﹣時，最大，最大值為，時點E的標為（2，）8．已知：如圖，拋物線y＝2bx與坐標軸分別交于點A，B（3，），（0）點P是線段上拋物線上的一個點．（）拋物線析式；（）點P運動到什么位置時eq\o\ac(△,)面積最大？（）點P作x軸的垂線，交線段于，過點作PEx軸拋物線于點，接DE請問是否存在點P使PDE為腰直角三角形？若存在，求點P的標；若不存在，說明理由．【答案】（）＝﹣x2﹣x+3（）﹣

，）（）在，（2，）或（

，）【解析】【分析】（）待定系法求解；2過點P作x軸點H，于，線解式為y＝，設P（t，﹣t﹣t）﹣＜＜），則F（，）則＝﹣﹣t+3﹣（+3＝﹣﹣t，根據eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)＝+S寫解析式，再求函數最大值；）設P（，t﹣t）（3＜＜，則D（，），PD＝﹣t﹣t，拋線y＝﹣x﹣

EEEPAFEEEPAFEEE2+3﹣（+1）+4，對軸為直線x﹣x軸交拋物線于點E，得＝，點、關對稱軸對稱，所以

＝﹣，＝﹣﹣＝2﹣，＝﹣||﹣﹣t|，eq\o\ac(△,)PDE為腰直角三角形DPE＝，得PD＝PE，分情況討論①當3t﹣1時，PE＝﹣﹣；當﹣＜＜時，PE＝【詳解】解：（）拋線＝axbx過點B﹣，）C（，）

解：拋線解析式為＝﹣x+3（）點P作軸點H，交于點x＝時，y＝﹣﹣x＝3（，3）直解析式為＝+3點在線段上拋物線上設P（，t﹣t+3）（﹣＜＜）（，+3PF＝﹣﹣t﹣（t）＝﹣﹣3S+

＝+S＝

1333?OHPFBH＝PF＝（﹣﹣t）﹣（+）2222點運動到坐標為（﹣

，）eq\o\ac(△,)積最大4（）在點P使為等腰直角三角形設Pt，﹣﹣t+3（﹣＜＜）則D（，+3PD＝﹣﹣t+3（+3）＝﹣23t拋線＝﹣x﹣＝﹣（+1）+4對軸為直線x＝1PEx軸交拋物線于點E＝，點、關于對稱軸對稱

＝﹣x＝2﹣＝2﹣PE＝﹣|＝﹣2|PDE為等腰直角三角形，DPE90°PD＝①當3t≤﹣時＝2﹣t﹣﹣t＝﹣﹣t

121200102033120121200102033120解得：＝（去），＝2P﹣，）②當1t＜時，PE＝t﹣﹣t＝2+2t解得：＝

，＝（去）2P

，）綜上所述，點坐標為（﹣，）或（三角形．

，）eq\o\ac(△,使)為等腰直角【點睛】考核知識點：二次函數的綜合數結合分析問題，運用軸對稱性質和等腰三角形性質分析問題是關鍵9．如圖，若b是數，直線l=b與軸交于點；直線a：=xb與軸于點；物線L：﹣+的頂點為C，與x軸交點為D．（），求b的，并求此時的對稱軸與a的交點坐標；（）點在l下方時，求點C與l距的最大值；（），點（x，），（，y），（，y）別在，和L上，且y是y，y的平均數，求點，）點D間距離；（）L和所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、坐標都是整數的點稱美點，別

1230000312123000000011230000312123000000012012直接寫出b=2019和=2019.5時美”的數．【答案】（）=4（，﹣2）（）（）

；（4）當=2019時美點的數為4040個，b=2019.5時美點的數為個．【解析】【分析】（）出A、的坐標，由AB，求b的．從而得到L的解析式，找出的對稱軸與a的點即可；（）過配方求出L的頂點坐標，由于點C在l下，則與l的距離可得出結論；

b24

，配方即（）題意得+y=2，進而有b+x﹣（﹣

+）解得x的，出L與x軸交點為D的坐標，即得出結論；（）當=2019時拋物線解析式L：=+2019x直解析式a：=x﹣，點總計個點②b=2019.5時拋物線解析式L=﹣x直線解析式a：=﹣，“美點共有1010個【詳解】（）x=0吋，=x﹣b，B（，）．AB，而A0，），b﹣﹣）=8，b=4，L：=﹣+4，L的對稱軸=2當=2時，=x﹣﹣，L的稱軸與a的點為2，﹣）；（）=﹣（

bbb），L的頂點C（，）．4點在下，C與l的距離b

b24

（﹣）+1點與l距的最大值為1；（）是y，y的均數，+y=2y，b+x﹣=2﹣x+bx），解得：=0或=

．x，=b

，對于，y吋，﹣+bx，即0=（﹣）解得：=0，=b．b＞，右點D（，）點（，）點D間的距離b﹣（

）

．（）當=2019時拋物線解析式L：=+2019x，線解析式：=x﹣2019．聯立上述兩個解析式可得﹣，=2019，可每一個整數x的值都對應的一個整數y值且1和2019之間（包括1和）有個整數；另要知道所圍的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線線和拋物線上各有2021個整數點，總4042個．這段圖象交點2個點重復美”的個數：﹣2=4040（）；

1212②當=2019.5時拋物線解析式L：=﹣x，直線解析式：=x﹣，立上述兩個解析式可得﹣，，當x取數時，在一函數yx﹣2019.5上y取到整數值，因此在該圖象美點為，二次函數yx圖上，當x為數時，函數值可取整數，可知﹣到之間有個數，因“美”共有1010個．故b=2019時美點的個數為4040個b=2019.5時美點”的個數為1010個【點睛】本題考查了二次函數，熟練運用二次函數的性質以及待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．10．平面直角坐標系xOy中如圖，知拋物線y－x，頂點為A．(1)寫這條拋物線的開口方向、頂點的標并說明它的變化情況；(2)我把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等點叫做這條拋物線“不”①試拋物線＝x－x的不”的坐標；②平拋物線＝x－x，所新拋物線的頂點B是拋物線的不點，對稱軸與x軸交于點C，四邊形是形，求拋物線的表達.【答案】拋物線＝－x的口向上，頂的標(1，1)，物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側的部分是下降的，右側的部分是上升的(2)①(00)、3)②新物線的表達式是y(x＋2－【解析】【分析】（）

a

，故該拋物線開口向上，頂點A

的坐標為

；（）設拋物“不動點坐標為

，則t2t，可求解②新物線頂點B為“不點，設點

B線對稱軸為：x，x軸交點

C

，四邊形是梯形，則直線在左側，而點

，即可求解【詳解】

a

，

1212拋物線＝2－的開口向上，頂點的坐標(，－，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側的部分是下降的，右側的部分是上升(2)①拋物線＝－的不點坐為，則＝2－2t解得＝0t＝所以，拋物線y＝2－x“不動點的坐標(，、，②新物線的頂點B是“不”設B的坐標為mm)新物線的對稱為直線x＝m與x軸交點為C(m，四形是梯形，直x＝在y軸.BC與OA不行又點A的坐標，一，點B的標(m，，

m＝－新物線是由拋線yx－x向平移2個單位得到的，新物線的表達是yx＋－1.【點睛】本題為二次函數綜合運用題，涉及到二次函數基本知識、梯形基本性質，此類新定義題目，通常按照題設順序，逐次求解即.11．知：二次函數

y2a

(a為常．(1)請出該二次函數圖象的三條性質；(2)在一直角坐標系中，若該二次函數的圖在x的分與一次函數有兩個交點，求a的值范圍．

y2x

的圖象【答案】見析(2)

．【解析】【分析】(1)可開口方向、對稱軸、最值等角度來研即可；(2)先二次函數的圖象與一次函數

y2

的圖象有兩個交點，即關于的一元二次方程

xa有個不相等的實數根，由此可得

，再根據二次函數的圖象在x部分與一次函數

y

的圖象有兩個交點，也就是說二次函數x

x的象x軸x的分有兩個交點，畫出函數x

x的象結合圖象，可知當

時，x

xa將x=4代入求得a的值范圍，由此即求得答.【詳解】(1)①象開口向上；圖象的對稱軸為直線x當時隨的增大而增大；當時隨的增大而減小；當x時，數有最小值；(2)次函數的圖象與一次函數

y2

的圖象有兩個交點，

xx，xa，4(3aa24

，解得

，二函數的圖象的分與一次函數

y2

的圖象有兩個交點，二函數

w

2

x的象與軸

x

的部分有兩個交點，畫出二次函數wx2a圖象，結合圖象，可知當

x

時，x

2

xa0，當

時，

x

xa，

，當次函數的圖在的分與一次函

y2

的圖象有兩個交點時，

的取值范圍為

．【點睛】本題考查的是二次函數綜合題，涉及了二次函數的性質，二次函數圖象與一次函數圖象的交點問題，二次函數的圖象與x軸交點問題，正確進行分析并運用數形結合想、靈活運用相關知識是解題的關鍵12．圖1，物線

經過平行四邊形

的頂點、、，拋物線與軸另一交點為

.經點

的直線將行四邊形

分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點

.點

為直線上方拋物線上一動點，設點

的橫坐標為.（）拋物線解析式；（）何值時，（）否存在

使

的面積最大并最大值的立方根；為直角三角?存在，求出的；若不存在，說明理

由【答案】（）物線解析式為﹣2+2x+3（）t=

時，PEF的面積最大，其最大值為

×

，最大值的立方根為

=

；（）在滿足條件的點，的為1或【解析】試題分析：1）AB、三的坐標，利用待系數法可求得拋物線解析式；（）A、坐標可求得平行四邊形的中心的坐標由拋物線的對稱性可求得點坐標，從而可求得直線的析式，作PHx軸，交直線于點M，作FN，可用t表示出PM的長，從而可表示eq\o\ac(△,)PEF的面積，再利用二次函數的性質可求得其最值，再求其最大值的立方根即可；（）題意可APE=90°兩情況，當時作PGy軸利用等腰直角三角形的性質可得到關于的程，可求得t的值；APE=90°時作x軸，AQPK則可證eq\o\ac(△,)PKE△AQP，用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得的值．試題解析：（）題意可得

，解得，拋線解析式為﹣2+2x+3（）（，）D23），BC=AD=2B（，）C1，），線AC的中點為（，），直將行四邊形ABCD分為面積相等兩部分，直過行四邊形的對稱中心，A、關于對稱軸對稱，拋線對稱軸為x=1，E3，0），

設直線l的析式為y=kx+m，點對稱中心坐標代入可得，得，直的析式為y=﹣

x+

，聯立直線l和物線解析式可得，得（，）如圖，PHx軸，交l于點M，作PH

或，P點坐標為，（，）M，

t+

），PM=﹣2+2t+3﹣﹣

t+

）﹣+

t+

，

eq\o\ac(△,)

=

PM?FN+

PM

PM（）

（﹣2+t+

）（

）﹣（﹣

）

×

，當t=

時eq\o\ac(△,)PEF的積最大，其最大值為

×

，最值的立方根

=

；（）圖可知PEA≠90°，只有或，①當時如圖，作y軸

OA=OE，OEA=45°，∠APG=45°，PG=AG，t=﹣，+t=0解得t=1或t=0舍去），②當APE=90°，如圖3，作x軸AQPK，則PK=﹣2+2t+3，AQ=t，﹣，﹣2﹣﹣2+2t，APQ+KPE=APQ+，KPE，，△AQP，

，即

，即t2﹣﹣，解得t=

或t=

＜﹣（舍去），綜上可知存在滿足條件的點P，的為1或考點：二次函數綜合題

．13．圖，已知拋物線為，且與y軸于點C（0，）

的圖象與軸一個交點為B（，），另一個交點

121212121212（）直線BC與拋物線的解析式；（）點M是拋物線在x軸方圖象上的動點，過點M作y軸交直線BC于點N求的最大值；（）（）的條件下，取最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為作行四邊形，設平行四邊形的面積為Seq\o\ac(△,，)ABN的積為S，S=6S，求點的坐標。【答案】（）（）（）的坐標為（，）或（，），）或（，－）【解析】【分析】（）（，）C（，）應用待定系數法即可求直線BC與物線的解析式。（）造MN關于點M橫坐標的函數關系式，應用二次函數最值原理求解。（）據=6S求與PQ的離，從而求得PQ由BC平的距離，根據平移的質求得PQ的析式，與拋物線【詳解】

聯立，即可求得點的標。解：（）直BC的解析式為

，將B50，（，）代入，得

，得。直BC的解析式為

。將B50，（，）代入拋線的解析式。

，得，。（）點M是拋物線在x軸方圖象上的動點設

。點N是線BC上與點M橫標相同的點N

。當M在物線在軸下方時N的縱坐標總大于的縱坐標。

。

1212的最大值是。（）取最大值時，

。

的對稱軸是

，（，）（，）AB=4。由勾股定理可得，

。。設BC與的離為，由S=6S得：

，即。如圖，過點B作行四邊形CBPQ的BH，點作x軸垂線交點E，BH=

，是線BC沿軸向平移的距。易得eq\o\ac(△,)是等腰直角三角形，

。直BC沿y軸方向平移個位得的解析式：或

。當

時，與

聯立，得，解得

或

。此時，點P的標為（1）（65。當

時，與，解得

聯立，得或。時，點P的坐標為2－）（，4）。綜上所述，點P的坐標為（1，12）或（，）（，3）或3，4）。14．圖，已拋物線

x

的對稱軸是直線x=3，且與x軸交于B兩點（點點側）與y軸于C點．（）拋物線解析式和A、兩點的坐標；（）點P是拋物線上、兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，eq\o\ac(△,)PBC的面積最大．若存在，請求eq\o\ac(△,)PBC的大面積；若不存在，試說明理由；（）M是物線上任意一點，過點M作y軸平線，交直線BC于點N，MN=3

Q2Q2時，求M點坐標【答案】（）

y

3x2x2

，點A的標為，，B的坐標8，；2）存在點P，eq\o\ac(△,使)的積最大，最大面積是16，由見解析；3）點M的坐標為4-2，

)、，、4)(，

)．【解析】【分析】（）由物線的對稱軸為直線，利用二次函數的性質即可求出值，進可得出拋物線的解析式，再利用二次函圖象上點的坐標特征，即求出點AB的標；（）利二次函數圖象上點的坐標特征可求出點的標，由B、的標，利待定系數法即可求出直線BC的析式，假存在，點P的坐標為（

x2

），過點作PD//y軸交線BC于D，點D的坐標為（

1x）PD=-x4

+2x，用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的積關于的函數關系式，再利用二次函的性質即可解決最值問題；（）設M的坐標為（m,

31m）則點的坐標為m,-m22

）