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愉快高效教與學孫舜寶著中國優生優育協會會長、中共早期著名領導人中國優生優育協會會長、中共早期著名領導人秦邦憲（博古）之女題詞：在李政道博士題詞前留影作者簡介：孫舜寶男一九五六年十一月出生于南京市江寧縣，中共黨員，現為江蘇省重點高中南京市秦淮中學黨總支書記、教學副校長，江蘇省考研會會員，南京市高中數學教學帶頭人，南京市數學會會員，一九九四年被評為中學高級教師。該同志幼年喪父，從小隨外婆多處漂泊。十五歲時開始獨立生活，在生產隊邊參加集體勞動，掙工分養活自己，邊讀初、高中。中學畢業后，在農村務農四年。恢復高考制度第一年，考入南京曉莊師范數學專業班，畢業后經書面考試進入省重點中學任教，后又考入江蘇教育學院數學本科班，參加南京大學碩士課程班、海南大學文學寫作班（函授）學習。該同志先后在農村中學、市重點中學、省重點中學、國家級重點中學四所學校任教。在市、省、國家級三所重點高中工作期間，均分別擔任過校長、教學副校長，對各種基礎的高中學生情況有一定研究。從事學校行政管理工作二十年來，一直沒有離開高中數學第一線教學的課堂教學，其中一半以上時間，擔任高三畢業班的數學教學。該同志多年擔任高中班主任。即使在擔任學校行政管理工作的前十年，仍然堅持任兩個高中班級的數學教學，同時兼任班主任。與學生感情深厚，擅長對學情調查和分析，調查報告曾獲中國科學院管理科學學術成果二等獎。平時注意研究教與學的實際，業余寫作、發表學術論文４０余篇。另外，在報刊、雜志發表新聞、特寫、思想教育專稿約３０篇，任教以來，教育教學效益，受到師生、家長和社會的廣泛好評。目錄第一章對中學數學教與學的認識和思考第二章課堂教學方法實踐與探索新課講授篇1、循序漸進法2、講練提高法3、數形結合法4、溫故知新法5、實驗探索法6、動定分析法7、猜想驗證法8、討論歸納法9、巧用遷移法10、自學輔導法二、復習總結篇1、概念梳理法2、圖表總結法3、題型凝練法4、學生自主法5、類比對應法6、提綱擴充法7、查漏補缺法8、錯誤矯正法9、系統構建法10、信息反饋法三、評估命題篇1、單元評估法2、夯實基礎法3、重點突出法4、能力提高法5、前后呼應法6、錯誤會診法四、練習講評篇1、重點突出法2、難點突破法3、優生展示法4、錯解選講法5、板演點評法6、一題多解法7、舉一反三法8、易錯多練法9、優生減負法10、弱生幫扶法第三章愉快高效的學習方法案例與點撥１、故事一：他為什么經常與同宿舍同學發生矛盾２、故事二：建立《糾錯、典型收集本》，學會經常反思和提高３、故事三：“做學生，每寫一個字符都要負責任！”４、故事四：高考少做一張試卷，反而取得了好成績５、故事五：筆記，不是在漂亮的本子上寫了一點潦草的字符６、故事六：只有減輕學生負擔，才能讓優秀學生飛翔得更高７、故事七：培養興趣，比其它教學活動更重要８、故事八：學習的時間，一天不一定是２４小時第四章教與學反思與創新一、已公開發表的數學教與學論文選摘１、由勾股數引出的數學猜想２、三角函數解題中的幾種易發錯誤３、巧用“三分法”，解數學難題也輕松４、一國際數學競賽侯選題的多種解法及推廣５、一道值得商榷的高考題６、從一道幾何題求（tgx+ctgx）的極植７、一個常見恒等式的應用８、線段的巧妙平移和調整９、用補圖法巧解平面幾何難題二、已公開發表的教育論文選摘１、數學教學中主動性、合作性學習與減負增效的實驗和思考２、“R、V、T方案”——改革教學參考和課堂教學的一點設想３、胡楊根雕４、激發和培養學生的優良學習動機，貴在讓學生學習中真正“動”起來５、初中優生高中落伍原因調查與分析６、“教是為了不教”——構建學生自主學習，創新課堂教學模式的方案７、“激勵”是使教育成功的重要手段８、善問，良師之長也９、創設多元發展環境，點亮學生智慧心燈１０、“困減”一個極易忽視的教育良機１１、公約化管理新探１２、有感于同學間的禮品第五章新課程管理與探索１、教師應該是社會上“大寫的人”２、以課堂教學為中心向課堂教學要效益３、立師德鑄師魂講規范提效益４、教學質量，學校立校之本提升質量，教師責無旁貸５、優化課堂教學結構提高課堂教學效益６、南京市秦淮中學新課程實施意見（試行）７、秦淮中學2005—2007學年新課程實施計劃及細則８、南京市秦淮中學新課程實施、發展規劃９、學生素質評估（學分管理）組織機構與職責１０、秦淮中學關于試行課堂教學視導制的決定１１、南京市秦淮中學校本研訓制度與實施方案１２、南京市秦淮中學校本教材開發、施用有關規定１３、南京市秦淮中學師生研究性學習的有關規定１４、南京市秦淮中學教師繼續教育的有關規定１５、充分發揮黨組織的戰斗堡壘作用，為學校四星級創建保駕護航第六章附錄：課程改革幾個主要文件附件一：國務院關于基礎教育改革與發展的決定附件二：教育部：基礎教育課程改革綱要(試行)附件三：江蘇省普通高中課程改革實施方案(試行)附件四：江蘇省普通高中課程設置與管理指導意見（試行）第一章對中學數學教與學的認識和思考優先發展教育，將我國真正建設成為人力資源強國，是歷史賦于我們的神圣使命，是高舉中國特色社會主義偉大旗幟，全面建設小康社會、關注民生的重點建設內容。教育是民族振興的基石。更新教育觀念，深化教育教學內容的改革，深化教育教學手段和方法的改革，減輕中小學生課業負擔，提高學生綜合素質，建設全民學習、終身學習的學習型社會，是中國特色社會主義賦于當代每一個教育工作者的神圣職責。進入二十一世紀以來，科學技術迅猛發展，知識經濟成倍翻番，國際競爭日益激烈，可持續的科學發展觀，已為全世界有識之士所認同。新世紀科學發展的一個重要特征是：“在幾乎所有的科技領域，各門科學都有一種更為數學化的趨勢（摘自《世紀科技論壇報告》）”。著名科學家A.N.Rao曾一針見血地指出：“一個國家科學進步的程度，可以用它消耗的數學來度量。”美國前總統里根，首次當選總統時宣布的治國策略中,也將加強中小學數學教育教學，作為治國的大政方針之一，鄭重地提了出來……。當今世界上各國政要和絕大多數科學家對數學學科發展和運用的關注，從各個方面證明了數學素養在提高人的素質方面的必要性，進而與加快科技發展、實現國富民強的重要性。著名數學家柯爾莫戈羅夫更是非常自豪地說：“數學可以應用的領域，原則上是無限的。”中國是一個歷史悠久的文明古國，中華民族同時又是在數學探究和運用方面，為人類文明發展史做出過重要貢獻、勤勞智慧的偉大民族。在世界上許多地區和民族還沒有文字的兩千多年前，我們的祖先所提倡的“禮、樂、射、御、書、數”中，“數、算術”就與“唯此為大”的“禮”并列通稱之為“六藝”；《九章算術》、《骨髀算經》、祖沖之父子所提出的關于圓周長與直徑之比的“祖率”等（現稱π值），雖經千年仍熠熠生輝。不可否認，在中華民族的文明發展史中，數學的發展也有過一些曲折的歷程。在近千年“學而優則仕”的鄉試、縣試、殿試中，“論語”、“中庸”、“大學”、“三綱五常”等文言軟書（個人將毛筆書寫的文字，姑且稱之為一種軟書）的“語言學科”是主要考試和評判的內容，其它一些實用理論和技術，均被歸之為不登大雅之堂的“技”、“藝”、“術”，被排斥在進取仕途的考試內容和過程之外！久而久之，有智、有才，試圖通過考試達到“學而優則仕”的年輕一代，在家庭和長輩們的干涉下，絕大多數放棄了自己在“技”、“藝”、“術”等方面的愛好、探討和研究，一個本來具有四大發明的泱泱大國，逐漸落伍成了西方列強和某些小國欺辱的對象！那些運用中華民族四大發明之一、火藥發明的侵略者，用洋槍洋炮打開了中華古國的大門，到處燒殺搶掠，以血的教訓告訴我們：放棄“技、藝、術的研究，就會落后，落后就要挨打”。面對裝備、技藝領先的外侮，禁煙都督林則徐深有感觸，他冒著被圣上殺頭的危險，提出了“師夷長技以制夷”的主張，這也許是我們的民族，在血的教訓下，第一次喊出“學習外族技藝，以強吾族”的聲音，可惜被可怕的自尊和狂妄淹沒了。他的重臣閩浙總督和船政大臣更是直接聯名向皇帝啟奏：“水師之強弱，以炮船為宗；炮船之巧拙，以算學為本。”驍勇的古代戰將，在那血與火的拼殺中，竟然領悟到了“以算學為本”，想到了運用今天稱之為“數學”學科的理論，是解決海戰之要素“炮船”之“本”，實在令我等后人肅然起敬！實際上，在很長的歷史階段，中華民族在數學的研究上，有著其它任何民族無法攀比的優勢，許多近一兩百年才被世界上普遍研究的數學問題，我們的祖先早在一兩千年以前，就以形象化的實際問題分析，構建了目前還屬于中學數學中最主要的數學概念模型。我們偉大的祖先們，以“雞兔同籠”、“大小和尚吃饅頭”等形象化比如，講述了一元一次方程組、一元二次方程的形式和求解；以“寶塔上的燈盞”構建了數列的基本模型；以“楊輝三角”形象地給出了“二項式展開式的系數”；以“一尺之槌，日取其半，萬世不竭”和中國特有的“割圓術”化方為圓，講述了極限的思想，而極限思想實際上是近代微積分學的基礎和近代高等數學的起源支柱。只可惜因為我們的象形化漢字，在沒有引入阿拉伯數字和其它字母符號以前，表達這樣的數字關系，特別是復雜的數式關系時，是那樣的復雜和困難，以致于目前我們可以讀到的，我們的祖先所寫作的有關數學理論研究的許多著作，看起來是那樣的生澀難懂，即使有大學本科以上學歷的數學專業師生，也未必能夠很順暢地進行閱讀和理解。毋庸置疑，這樣書寫和描述的數學理論，在其推廣和使用上，特別是在古代絕大多數人還是文盲和半文盲的時候，必然落得個“陽春白雪，和者必寡”的窘態。由此看來，即使是世界上最偉大的文字，如果不借鑒全人類的文化精華，在某些方面也會出現一些瑕疵和不足。教育部最新頒布的《普通高中課程標準》指出：“數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮越來越大的作用。數學的運用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，它與計算機技術的結合，在許多方面直接為社會創造價值，推動著社會生產力的發展。數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中，發揮著獨特的、不可替代的作用，數學是人類文化的重要組成部分，數學素質是公民所必須具備的一種基本素質。”《普通高中課程標準》的這段文字，明確地指出了數學的定義和價值。現實確實是這樣，讓我們仔細看看當今五彩繽紛、日新月異的世界：物理學、化工學、生物學、天文學、經濟學和統計學等傳統學科中，數學的運用越來越深入，越來越廣泛，是人們認為隨著時代的發展理所當然的事。而過去一度認為幾乎與數學聯系不多的人口學、考古學、氣象學、規劃學、建筑學、醫藥學，甚至是人們日常生活中的社會學，數學的運用也到了幾乎無所不在的地步。考古研究中碳14的測定，是古生物年代確定的主要依據，用的是典型的指數對數計算；氣象學中天氣變化及未來氣象的描述，運用了概率統計和模糊數學；規劃學中的數理統計、建筑學中的數學曲線運用（如北京０８年奧運會的主建筑之一“鳥巢”的設計）和模型建構、生物學中的數學優選，傳染病學研究中指數計算和偏微分方程的科學精確描述等等，可以說數學為各門科學的數據計算、模型建構、趨勢探索、邏輯推理、外延拓展、綜合運用、快速發展，提供了其它學科難以替代的強有力支撐，為各門學科的迅猛發展提供了工具，增添了騰飛的翅膀。二十世紀醫學檢查、診斷學中，出現過一例非常有趣的發明，國外研究放射學科的醫生，在輔導自己孩子的小學數學時突發靈感：運用數學中最最簡單的加減法原理，輔以計算機的程序控制和操作，在攝片中將短時間內不變的人體皮肉、骨格、毛發等影像“做減法”減去，將不斷流動的血液影像“做加法”增加強化，拍攝出了世界上第一張清晰的血流圖像，發明了一系列醫學檢測機械。讓以前根本看不見摸不著的病人各種血管中的血流情況，血管破裂后機體組織中瘀血情況等，如空中網絡般地、直觀形象地展示在醫生和病人面前（比過去手術探查更簡捷明快），找到了醫學診斷中自古以來醫生們只能憑經驗和想象、估計和猜測，但是無法確定、無法看得見、無法準確描述的、夢寐以求的清晰診斷參考圖片。醫學中這一運用數學最基本原理的發明，為快速地進行醫學診斷，及時地搶救心腦血管病變患者等，提供了直觀、清晰、有力的參考，為挽救許多心腦血管患者的生命，甚至可以說為全人類的健康做出了巨大的貢獻。目前在很多規模較大醫院普遍使用的腦血流圖成像，就是數學加減法這一最基本原理的一項典型的運用；近年來，解析幾何中橢圓曲線的兩個焦點所具有的光學和力學性質，在軍事目標測定，醫學的體外碎石、體外手術中也發揮了奇妙的作用；數學原理、數學知識在各個領域的應用實在是舉不勝舉……。這再一次證明了偉大的導師馬克思很久以前的預言：“一門學科只有當達到了能夠靈活運用數學時，才算是真正地發展了。”“一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了完善的地步。”（摘自拉法格在《馬克思回憶錄》）的正確與先見之明。數學理論、數學邏輯、數學模型、數學建構、數學計算等，在當今世界各個領域的廣泛運用，已是不爭的事實。數學幾乎無處不在，數學的應用還將向更廣泛、更深入的方向發展，這是人類早已形成的共識。隨著世界的科學進步和發展，令人目不暇接的數字化時代必將迅速地到來，數學教育與數學研究的發展和要求，必將隨著社會的需求，不斷地提高，越來越普及。快速發展的現代社會，需要人們有更多的數學素養和數學知識，需要更多的具有一定數學思維，能夠運用數學知識、數學方法和數學技能的人才，這就給數學教育，特別是數學的基礎教育提出了更高的要求。《普通高中課程標準》前言中指出：“數學教育作為教育的組成部分，在發展和完善人的教育活動中、在形成人們認識世界的態度和思想方法方面，在推動社會進步和發展的進程中起著重要的作用。”“在現代社會中，數學教育又是終身教育的重要方面，它是公民進一步深造的基礎，是終身發展的需要。數學教育在學校教育中占有特殊的地位，它使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰、思路有條理，使學生具有實事求是的態度、鍥而不舍的精神，使學生學會用數學的思想方式解決問題、認識世界。”《普通高中課程標準》的這兩段前言，實際上指出了中學數學教育的地位、作用和重要性。中小學的數學教育，在普及義務教育的當代，乃至在今后很長的時間，必然是中小學課程中最最主要的學科之一（對照江蘇省０８年新高考方案，數學在高考中的地位和作用，其重要性更是不言而喻），也是培養和提高人們素養的最重要的基礎學科工程。我們可以預言，隨著時代的進步，科技的發展、社會的需求，對從事中小學數學教育的老師們，必將提出越來越高的要求。隨著國家經濟實力的增長，高中教育必將越來越普及，高中的數學教育更是渴望、并且必然得到進一步的發展。與此同時，我們相信，人類的進步和發展也必將為從事數學教育，特別是從事中小學數學普及教育的工作者們，提供更多的施展才華的廣闊天地。我國中小學數學教育的研究，中小學數學教育的教材教法研究，教學模式、教學方法、教學過程的研究，一直是中小學數學教師特別關注的內容，也是各種教育教學雜志和期刊的熱門研究話題。許多中小學教師和從事教育教學研究的學者和專家，通過調查、實踐、研究、分析、總結等，在教學方法方面，提出過許許多多有影響、有價值的方法，如近年在教學實踐中運用比較廣泛的目標教學法、幾段式教學法、結構定向教學法、精講多練教學法、自學輔導教學法、四步、五步教學法、情景感染式教學法、單元階段式教學法、討論研究式教學法等等，對傳統的數學教學模式進行了不斷地改革和創新，同時也取得了一大批豐碩的成果。在新一輪的課程改革中，教學模式和教學過程的改革更是一項十分重要的內容，中小學數學教育的教材教法研究，教學模式、教學方法、教學過程的研究，必將出現更加喜人的局面。一般地說，教學過程是對教與學活動的嚴格組織、協調和控制的過程。不管是信息技術廣泛運用于教與學的現在，還是在有新的科學技術手段運用于教學的將來，課堂教學在很長一段時間內，仍然是學校教育教學過程的中心環節；是全面貫徹黨和國家的教育方針，全面推進素質教育，全面提升教育教學質量，全方位培養高素質人才的主渠道；是教師傳授知識，讓學生學會學習，掌握知識體系，靈活運用所學知識解決各種問題的主陣地；是每一位從事教育教學的教育工作者，必須經歷和思考研究的課題；是提高教育教學效益、提高師生素質的重要實踐途徑。教育科學研究認為：課堂教學是一個由多種因素組成的復雜系統。教學系統要素的構成可分為兩個方面：構成要素：教師、學生、教材和教學條件；過程要素：教學目標、內容、方法、組織形式和教學結果等。前者是教學活動的主體、媒介和教學過程可以運用的前提條件，是決定教學質量最基本的實體因素；后者是教學系統運行過程中的邏輯程序，是教師個人在教學實踐中選擇的教學方案（一般是教師個人認為最佳的教學方案），是有效地組織教學過程，提高教育教學質量，理應遵循的邏輯程序。課堂教學同時又是一項極其復雜的科學勞動。教師要在有限的時間內，盡可能多地教給學生應該掌握的知識和技能，要求學生理解、掌握和靈活運用所學知識解決所遇到的各種問題（近階段有形的評價是各種形式的考試，是學生解決考試中各種問題的能力評估）。教師要在課堂教學過程中大力開發學生的智力、激發學生的興趣、提高他們的能力、磨練他們的意志、影響他們的人格和品德、陶冶他們的情操等。這一系列的任務要想較好地實現和完成，決不是一件輕而易舉的事。課堂教學的復雜性、針對性、靈活性、實效性，決定了教師課堂教學的獨創性、實踐性、科學性、實用性。由于中小學教師每天面對的是感情豐富、靈活多變、千差萬別、朝氣蓬勃的青少年學生，任何教師很難完全應用現有的，哪怕是正式出版的名人名師教案、集體備課教案，去直接地、刻板地在課堂上進行教學。即使是自己準備好的教案，完全用它去解決課堂教學中隨時可能出現的問題，實踐中也是件很困難的事（有經驗的老師可能準備的適用些、充分些）。所以說，教學方案的設計、教學內容的編排和處理、教學方法和途徑的選擇、教學手段和輔助器材的選用，上課過程中教學策略的隨時調整，教學情感隨著學生的變化而變化地進行交流，教學過程的靈活組織和實施等等，都需要教師在教學過程中、在課堂教學的具體實踐中，發揮自己的主觀能動性，進而體現教師課堂教學的實踐性和獨創性。在課堂教學的具體運作中，由于各種要素排列的不同，教師實際操作的順序、過程的不同，教師與學生情感交流溝通的情況不同等等，同樣的教學內容，同樣的備課預案，可能產生不同的組合效應，形成不同的教學效果。只有各種教學因素，以學生為教學主體，以最佳的形式排列組合，互相協調運行、相得益彰，教師以飽滿的精神狀態全身心地投入，才能達到課堂教學整體功能的優化，實現課堂教學的優質高效。本人在中學工作三十余年，先后擔任過近二十屆高三畢業班的數學教學和初中奧賽班的數學教學，在國家級重點、省重點、市重點、鄉村“五、七”中學等四所中學，均擔任過校長、分管教學副校長等教學管理工作，一直堅持在教學第一線講授中學數學課程。校內、校外聽課近千節，在省內外多次上過公開課、研討課、觀摩課、電視實況直播課。在各級各類報刊、雜志上發表過數十篇教育教學文章，參編過幾冊教學參考書。當面聆聽過徐利治、常庚哲、周伯熏、蘇淳、單土尊等大師的教誨，并得到過他們的多次個別指點和書信指導，深深感到學無定法，教學更無定法，教學研究和探索永無止境。一個老師自己有一定的水平是必備的，但僅僅是教師有水平并不能代表他就能教好學生，教學工作是一個復雜的系統工程。科學的教學理論，必須貫徹落實到每一節實實在在的課堂教學細節之中去，現有的各種教學理論、教學模式、教學方法，必須由一節節課堂教學去組織、去實施、去實踐、去探索。基于上述認識，本人力圖在高中數學課堂教學的具體方法、高中學生的學習方法，特別是數學學習的方法等方面，借鑒專家、學者的理論，結合自己的所見所聞和教與學實踐，包括一些學生學習的個案分析，作一些粗淺的探索，供從事中小學數學教學的同仁們參考，為初任中小學數學教師的年輕同志們鋪路，為正在進行中小學學習的同學們，開設一個學習數學方法的一個窗口，同時希望得到專家、學者和同仁們的指點。第二篇課堂教學方法實踐與探索新課講授篇萬事開頭難，良好的開端，等于成功了一半。數學教學無論是知識體系，還是學生的認知結構，新課講授都是數學教學中十分重要的一環。高中數學教與學，與初中、小學的數學教與學一個明顯不同的特點就是，特別注重數學概念的教與學。絕大部分高中數學的解題過程，就是依據高中數學的基本概念，加上基本的數學思想和多種方法的綜合運用。在數學新課講授時，如果您一走上講臺，就能牢牢地吸引住學生的注意力，教學中能激發學生的興趣，啟迪學生的思維，充分調動學生的積極性，教學過程中又能很好地實現師生間的互動，那么，這節數學課就有了很大的成功希望。根據數學教材不同的章節和內容特點，采取不同的教學方法和措施，經常讓學生有新鮮感，對教師是高要求，對學生是喜聞樂見。在個人的三十年高中數學教學中，除大家所熟知的常見基本方法外，我嘗試了一些下列方法：1、循序漸進法數學課堂教學不但要幫助學生獲得新知識，更要提高學生數學學習的興趣和包括自主學習在內的各種能力。在一次到另外的農村學校借班上公開課的比賽時，我抽簽上課的內容是初中的“一元一次方程的解法”，經過半小時準備，我走進了一個完全不熟悉的教室。課堂上我簡單地講清了一元一次方程解法的基本概念以后，作了如下的課堂教學設計（每次先寫出一個方程，簡單討論后感到學生已經理解了，再緊接著寫出下面一個稍微改動的方程，題后括號內容不向學生展示，僅是個人備課時的基本設想）：解下列方程：1.X-7=5(小學基礎)2.2X-7=5（X的系數改為2）3.2X-7=5X（右邊添字母X）4.2/3X-7=5X（左邊系數改為分數）5.2/3（X-7）=5X（左邊加括號）6.2/3（X-7）=5X-3（右邊增加常數項）7.2/3（X-7）=5X-3/2（右邊系數改為分數）8.0.2/3（X-7）=0.5X-3/2（部分系數改為小數）9.0.2/3（X-7）=0.5X-3/2+1（右邊增“+1”項）10.－X-0.2/3（X-7）=0.5X-3/2+1（左邊增X項并添負號）一個小題板書后簡單地討論一下，緊接著寫出了下一個小題，一連串簡單的小題，每次僅作一點點變化，學生感到既熟悉又生疏，還有一點點神奇！結果，那些可愛的農村孩子，一改過去的沉默和羞澀，一個個躍躍欲試，甚至站起來拼命伸長著自己的小手要求發言，沒等我去布置、要求，舉起的一只只小手猶如一艘艘前進著舢舨的小帆，迫不及待地要求回答和上黑板板演。上黑板的同學之中，絕大多數同學都給出了正確的答案，讓在后面聽課的原任課老師，既高興又感到不可思議？“沒有想到平時見到生人就害怕的農村孩子，在數學課堂上也能如此活躍！沒有想到高中教師到鄉下教一節初中數學課，也能得到農村孩子的如此歡迎！”下鄉開設示范課取得了非常滿意的結果。在平常的高中教學中，我也常以此法試探著設計一些可用此法講授的課堂教學，經過一段時間的培養，學生積極主動地去解決新問題的能力，明顯有了提高。課堂如此設計，雖常有與課本例題形似而不相同的“不足”，但設計巧妙同樣能覆蓋課本中知識。經過實踐證明，數學教材中的例題，教師沒有在課堂上照搬照抄，學生在課堂上常常有新鮮感，反而能激發學生閱讀教材的積極性，解決學生那種“數學書沒有看頭，老師都講了”，其實老師講了學生不一定都會的矛盾。由易而難、循序漸進的課堂設計，向學生展示了復雜問題的產生過程，揭示了數學復雜問題的來由和本質，同時也給學生以戰勝困難的決心和信心，（這是數學教學中常常容易忽視但卻是十分重要的東西，許多高中學生，初中數學成績還比較好，進入高中以后，數學學習遇到了一定的困難，他們中絕大多數人會自覺地進行一段時間的努力。但努力一段時間后，考試成績不一定有明顯地提高。此時，許多孩子可能會在數學學習的信心上有些動搖。此時，老師必須給予及時的幫助，特別是學習信心上、心理上的幫助。否則，這些學生的數學很快就會與班級的整體水平落下一定的距離，形成數學成績明顯的兩極分化）同時又培養了學生在解決問題時，化繁為簡、化難為易的能力，無形中提高了學生的素質。2、講練提高法數學教與學與文言學科教與學的一個最明顯的區別是；有些文科知識，學生聽懂就能掌握，看懂就能參加考試。但數學的教與學，僅僅教會學生記憶、讀懂公式，不做相應的練習和訓練，一般情況下，學生感到好象是掌握了，模仿課本的例題，依照教師的講解，似乎也能做一些作業，但實際上學生的掌握和理解還僅僅是很浮淺的。題目的條件和結論略做改變，公式的應用略作變形，這些學生往往就會感到不能適應。在講授函數的奇偶性這一節課時，我在兩個平行班做了兩種不同的教學方法比較（同樣用兩節課堂教學的時間），一個班在很簡短地講解了函數奇偶性的定義和圖象的性質以后；為了讓學生準確掌握函數奇偶性的定義和圖象的性質，能判斷一些簡單函數的奇偶性；我安排了如下討論和訓練題：1．給出4個函數：（1）；（2）；（3）；（4）。其中是奇函數；是偶函數；既不是奇函數，也不是偶函數。2．函數的奇偶性是________．3．已知是定義在R上的奇函數，且當時，，則=.4．是定義在R上的奇函數，下列結論中，不正確的是（）（A）（B）（C）（D）5．已知是奇函數，且當時，=，那么當時，等于（）（A）（B）（C）（D）緊接著我又安排了如下師生一起討論和探索：例1判斷下列函數的奇偶性（1）；（2）（3）；（4）；(5)例2設為實數，函數，。（Ⅰ）討論的奇偶性；（Ⅱ）求的最小值。例3已知是奇函數，，且，求。例4定義在R上的函數既是偶函數又是周期函數。若的最小正周期是，且當時，，則的值為（A）（B）（C）（D）例5已知函數，對任意的非零實數，恒有，試判斷函數的奇偶性。兩節課堂教學結束前，我安排了如下反饋練習來檢測教學效果：1．函數的圖象（）（A）與的圖象關于y軸對稱.（B）與的圖象關于坐標原點對稱.（）（C）與的圖象關于Ｘ軸對稱.（D）與的圖象關于坐標原點對稱2．函數是（）(A)周期為的偶函數 (B)周期為的奇函數(C)周期為的偶函數 (D)周期為的奇函數3．設函數是最小正周期為2的偶函數，它在區間[0，1]上的圖象為如圖所示的線段，則在區間[1，2]上=。4．若是偶函數，試討論函數的圖象的對稱性。5．已知是奇函數，且，求函數的解析式。在另一個對比班，我以傳統的方法，以教師講授為主，因為按我過去的認識，新授概念課好象教師講授更好些。結果，后一個班的教學比第一個班級在同樣時間內，反而少講了兩道題，容量較前一個班少不說，用同樣的課堂教學后反饋練習檢測，效果也比第一個班級掌握的差一些。看來，有些數學新授課，講練結合的效果，可能明顯好于以教師講授為主的課堂教學模式。后來，我在多次教師會上，都要求教師在教學中，特別是理科教學中，應注意講練結合，原因就來自這次的對比試驗對我的啟發。3、數形結合法“數學是研究空間形式和數量關系的科學”。數學的教與學過程中，必須注意提高學生的空間想象能力，運算能力，數學模型建構等能力。數學語言十分豐富，不但有文字敘述語言，而且有數式語言、幾何語言和圖象直觀顯示語言等等。實際上，數學知識進入高中階段以后，集合有維恩圖，函數有圖象曲線；三角函數有三角函數曲線，數列有點列（直線或曲線上的離散點），復數有復平面上的表示與變換，至于立體幾何、解析幾何、空間向量等，本身就是幾何圖形的研究，更是離不開對圖象的分析。所以說，高中數學的內容本身就決定了數學的教與學有條件，甚至離不開對圖象的分析。這就為數學的教與學采用“數形結合法”創造了獨辟蹊徑的條件。例如，在講授了指數、對數函數的定義和圖象性質以后，我安排了以下師生共同研究性學習的問題：１、設函數y=f(x)的定義域為實數集，它的圖象關于直線x=1對稱，且當x≥1時，f(x)＝－1，請按從小到大的順序排列f(1/3),f(2/3),f(3/2)。分析：方法一，本例可以根據題目的條件信息，先求出時的具體函數y=f(x)，然后分別代入三個自變量，分別求出三個函數值，進而比較大小，但求出函數容易出錯，而且不如方法二形象直觀。┣┣┣┣┣┣21111(2,8)(1,2)2468O┻f(1/3)＞f(3/2)＞f(2/3)。2、設a、b、c均為正數，且2a=，()b=，()c=請按從小到大的順序排列a、b、c分析，本例中三個方程，左邊是指數，右邊是對數，屬于超越方程，根據中學現有數學知識，學生很難求出具體的字母數值，但分別畫出每一組指數、對數函數圖象，我們可以直觀地看到，三組函數圖象的交點分別在不同的范圍內（以橫坐標分析，依次為左、中、右三點）所以我們可以直觀地得出a、b、c三個數的大小：┻┻┻┻┻┣┣┣┣┻┣4321cab-1-1O1234()()..(2,1)(2,-1)與此同時，也要提醒同學，由于作圖的不規范，特別是立體幾何的圖形由于觀察的角度不同，可能會給我們一些錯覺，明明是兩條異面直線，可能會給人一種似乎平行或相交的感覺。解析幾何或兩個函數圖象中，明明不相交，看起來卻可能是兩條相交直線等等，這就要我們通過以數式分析，或邏輯推理來認定。平時利用數形結合分析時，特別是運用函數圖象分析時，要盡可能將圖象畫得準確一些，關鍵點更是不能出錯。4、溫故知新法高中數學的教與學，根據學科特點和知識結構，前后內容具有很強的聯系性，教授新的數學內容時，注意恰當地聯系、復習前面所學的內容和知識，有利于認識新舊知識的結構、聯系和發展，鞏固已學知識，加深對已有知識的進一步理解和掌握。現有高中數學內容，除極個別專題性的章節內容外，均可采用溫故知新的方法進行教學。運用此法進行教學，可能一開始教學進度慢一點，但及時鞏固已學內容，讓知識承上啟下，有利于學生系統地掌握數學知識。例如，教學“不等式的解法”時，可以聯系、對比相應“方程的求解”這一章節內容，既講清了方程根是確定值，又可講清不等式的解通常是一個范圍，而不等式解的范圍邊界，又與類似方程的根有著緊密的對應關系和聯系。講解“雙曲線”時，可以聯系、對比“橢圓”的定義、性質、方程及其討論，對比分析，溫故而知新。特別是橢圓和雙曲線的方程、焦點坐標、準線方程，在字母信息a、b、c中似乎有許多相同點，但實際計算，因為a、b、c的內在關系不同，又有本質的不同。為什么雙曲線有漸近線，而橢圓沒有漸近線？三個字母的運算關系相同點和不同點是什么原因造成的等等。復數這一章節的內容，可以說對前面所學高中數學知識，除立體幾何知識以外，幾乎都可以進行重新整理和覆蓋。復數的代數形式a+bi中，如將字母i可以看作一個特別的、具有周期性性質的符號進行計算，可以覆蓋幾乎所有的代數問題；復數的三角函數表達式z=cos+isin，結合棣莫佛公式，分別進行二項式代數形式展開和利用棣莫佛公式展開，加上角的賦值方法運用，幾乎可以推導所有的三角函數公式，不但有效地復習了三角函數公式和概念，而且給出了一種三角函數公式、特別是課本內容中沒有提及的二倍角以上倍角公式的推導方法，實踐證明，還有助于長時間的記憶并幫助學生探討、研究三倍角、四倍角等多倍角三角函數公式的推導；利用復數模的幾何意義就是兩點間的距離概念，可以根據平面解析幾何中的軌跡定義，對平面解析幾何的所有問題，進行重新討論，對圓錐曲線的概念、公式、基本計算等，從另一個觀察角度給出了一種別開生面的解釋，有很好的促進、加深、鞏固作用。對于新接觸復數這塊內容的學生，同時又讓其感受到了學習復數知識的作用和意義，激發興趣、調動積極性。高中數學的許多新授課程和內容，采用此法進行教學，能夠讓數學知識串成線、鋪成面，前后呼應、相輔相成，及時加強鞏固已學知識，引領新學知識，實踐證明效果較好。5、實驗探索法高中的物理、化學、生物學科，有實驗的要求，有些內容，必須通過實驗教學，才能幫助學生正確理解有關內容和知識點，這是大家所共知的。數學有沒有可以實驗的內容呢？巧妙設計的數學實驗，不但能激發學生學習數學的興趣，而且能優化數學的課堂教學。因為數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎。新興的科學手段如計算機、多媒體等進入課堂教學，為數學的部分內容實驗，提供了可行性條件。例如，進入高二年級以后，學生的計算機基礎知識已經具備，函數的各種圖象、直線與曲線的交點、方程根的存在性、個數的討論，圓錐曲線的方程與圖象畫法、立體幾何圖形的翻轉等等，教師或學生自主設計有關程序以后，在計算機上進行實驗，能夠起到簡明扼要、直觀清晰的效果。如我在講完橢圓一節計算機作圖內容以后，提出，將橢圓方程中“加號”作圖程序改寫成“減號”作圖程序以后，看看圖象會不會還是橢圓？會是什么圖象？雙曲線是不是兩支拋物線對稱構成的幾何曲線等等。拋物線與雙曲線的一支，有沒有區別，為什么雙曲線有漸近線，而拋物線沒有漸近線？通過實驗和邏輯證明的同時映證，可以幫學生加深理解數學的具體內容。附：在南京市某國家級重點中學公開課講學案一份：冪函數（1）講學案班級_______姓名____________（2006、11、5）一、教學目標：1、知識與技能：掌握冪函數的概念，會正確畫出常見冪函數圖象，了解常見冪函數性質，能正確利用冪函數的圖象和性質，解答相關問題。2、過程與方法：通過觀察、實驗、歸納、探究冪函數性質。利用解題比賽，培養自主、合作學習的能力，及時反饋教與學效果。3、情感態度與價值觀：利用冪函數的指數變化，探究冪函數的性質，調動學生學習積極性。利用數形結合及多媒體技術，形象直觀地探究冪函數的指數與圖象性質的內在聯系。二、教學重點：冪函數的概念及常見冪函數圖象和性質教學難點：常見冪函數圖象、性質的歸納及應用三、教學過程：（一）、回顧引入：前面我們學過了指數函數、對數函數。請填寫下表：函數類別函數函數式定義域值域指數指數函數對數函數（二）、請看下列問題：問題一：1、若正方形的邊長為，面積為，那么=__________2、若正方體的邊長為，體積為，那么=__________3、若正方形的面積為，邊長為，那么=__________冪函數的定義為：問題二：判斷下列函數中哪些是冪函數_____________問題三：寫出下列冪函數的定義域，并分別指出它們的奇偶性問題四：（合作探究）試寫出兩到三個符合下列條件的冪函數________________________定義域為一切實數；2、定義域為正實數；3、定義域為不等于零的一切實數問題五：（自主實驗、探究）請畫出幾種熟悉的冪函數圖象_問題六：列表歸納常見冪函數的圖象與性質性質函數圖象定義域值域奇偶性x>0時函數的單調性問題七：利用相關冪函數的性質和圖象比較下列各組數中兩個值的大小。（在橫線上填“<”或“>”）（三）回歸課本：（指導學生看書，摘記重要內容或補充說明）（四）效果檢測反饋1.下列函數中是冪函數的是（）2、下列結論正確的是（）A．冪函數的圖象一定過原點B．當a<0時，冪函數是減函數C．當a>1時，冪函數是增函數D．既是二次函數，又是冪函數3、下列函數中，在（，0）上是增函數的是（）4、若冪函數的定義域分別為M、N、P，則M=______________________,N=____________________,P=____________________(五)本課小結:(另附)(六)作業:P73第2、3、4、5、題四、教與學反思(請同學課后填寫):附：研究性學習：（實驗、探究、分析冪函數共有多少種類型圖象，以下十一種是否均為冪函數圖象，如是列出一個代表性冪函數式，如不是說出理由）（1）（2）（3）（4）。。（5）（6）（7）（8） （9）（10）（11）6、動定分析法在高中數學內容中，有大量的數式字母討論題，同時又是高考數學試卷的命題熱點。分類討論實際上是高中數學最重要的數學思想，也是高中數學與初中以下數學知識和方法的最明顯不同點，是高中學生在學習和作業當中的難點和易錯點，更是考生在高考數學中得分拉開距離的區分點。如何突破這一教學疑難，實踐中我們的做法是：引導學生根據問題提供的各種信息，在既有等式條件，又有不等式條件時，關注等式條件，從等式條件入手；在字母信息中，從“動”的條件中，特別注意發掘“定”的隱含條件，由“定”出發，討論“動”的變化。舉例說明如下：例（根據宿遷市０８年高三模擬試題改編）已知函數y=f(x)是以２為周期的偶函數，且當x[0,1]時，函數f(x)=x。若在區間x[-1,3]內,存在函數g(x)=kx+k+1。試根據k的取值情況，討論方程f(x)=g(x)取零點的個數。分析：本例中函數y=f(x)實際上是一個確定的信息（等式條件）函數g(x)=kx+k+1隨著k的變動而變動，是一個動態的信息。解題分析時，首先可根據確定信息入手，在坐標系上畫出函數y=f(x)的圖象。因為當x[0,1]時，函數f(x)=x，且y=f(x)是以２為周期的偶函數，我們很容易得到函數y=f(x)在x[-1,3]內的圖象：再看函數g(x)=kx+k+1，雖然隨著k的變動，y=kx+k+1是一條變動的直線，但是，將已知式略作變形,可得是一條方程為：y-1=k(x+1)“動”中有“定”的直線，此直線恒過定點(-1,1)。這就為我們討論本題，提供了簡捷明快的“數形結合”、“動定相應”分析法。如圖，在上圖中尋找出“動直線”中當k=0，k=-和k=-1時的三條“定直線”，這是本例分析的三條關鍵直線，顯然可見：當k=0和k=-時，方程f(x)=g(x)有三個零點；當k=-1時，方程f(x)=g(x)有無窮多個零點；當-1<k<-時，方程f(x)=g(x)有兩個零點；當-<k<0時，方程f(x)=g(x)有四個零點；當k<-１或k＞０時，方程f(x)=g(x)僅有一個零點。（說明：本例可抽取其中任何一種零點個數情況，編寫成一道很好的字母k的取值范圍填空題）本例中根據圖２分析，不但可以判斷零點的個數，而且還可以進一步判斷出零點的大致范圍。利用“數形結合”和“動定相應”的分析法，是求解、分析類似問題不可多得的好辦法。7、猜想驗證法數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。有些空間的形式和數量關系、自然規律和社會規律，很難建構具體的數學模型，這就要求教師在平時教與學的過程中，注意培養學生的想象能力，甚至一定的猜想能力。如果師生的想象、猜想，能夠通過邏輯推理、數式運算進行驗證，那么，想象和猜想就是理性的、符合邏輯的、正確的。對想象和猜想的驗證過程，又是實實在的思維訓練和數式推導、計算能力培養的實踐過程。特別是想象和猜想的驗證成功，能激發學生的興趣，培養學生的思維想象能力和大膽的想象創造能力，對學生的思維習慣和終身發展都有一定的影響，是一件十分有意義的事。ABABC在一個正方體中，尋找正方體的棱、面對角線、體對角線所組成的異面直線對，并求出兩異面直線所成角的度數。時間不長，有的同學說有０度，同學們大笑，“兩直線所成角是０度時，是兩平行直線，怎么還是異面直線？”（鞏固了兩異面直線的基本概念）有的同學說有４５度，有的說有６０度，有的說９０度，并分別指出了是哪兩條直線構成的異面直線對。還有一個同學說有１２０度，同學們又笑了起來，“成１２０度角的兩條異面直線，實際上就是成６０度角的兩條異面直線，１２０度角不在兩條異面直線所成角的范圍內。”這又一次鞏固了兩異面直線所成角的范圍是０度到９０度，不包括０度，但包括９０度的概念。正當我非常高興同學們的研究學習成果是那樣地配合我的公開課教學時，一個姓宣的同學在下面低低地說到：“０度、４５度、６０度、９０度，好象常見的特殊角都在這個正方體中出現了，３０度也是特殊角，為什么大家都沒有找到呢？會不會出現呢？”教室里頓時嘰嘰喳喳起來。您說，剛才多么好的局面，我正暗暗地為學生在公開課上的完美配合高興呢！卻不知宣同學橫插了一杠子。您說，幾乎所有的教材和參考書上都沒有講到過這一個問題，我課前的準備上也沒有準備到這一個問題，這讓我怎么說？聽課的老師們估計也感到了我的措手不及。真想裝著沒有聽見，繼續按我的備課案講下去，這樣可以保證本節課的基本圓滿。但教室內的氣氛肯定受影響，因為我平時上課就喜歡并提倡學生隨時提問，經常在學生的提問下改變自己的安排，學生已經習以為常了。我總是認為，老師上課要實實在在地以學生是否聽懂、是否掌握為主，沒有想到自己給自己帶來了麻煩。后來，我還是硬著頭皮與學生一道研究了宣同學的這一插嘴提問，經過師生共同探索，在正方體內的確沒有成３０度角的異面直線對，但有成正弦值是三分之一的異面直線對。雖然，原定的講學內容和任務沒有完成。但師生們的共同討論，實現了皆大歡喜，聽課的老師們也很體諒，認為這節課不是花架子，很實在，在聽課反饋意見表中，給出了非常好的評價。教師與學生一道，對師生中提出的猜想，不管是正確的還是錯誤的，進行嚴格地論證和推導，讓學生在課堂教學中不留疑問和困惑，理應是教師課堂教學的一種自然追求。８、討論歸納法學生中蘊藏著無窮的智慧閃光點和創造性，數學教與學的過程中，注意捕捉學生智慧的閃光點，激發學生的創造性，常常能實現教師教得輕松，學生學得愉快。數學的概念和方法，有時僅僅通過教師講解、示范，不一定能讓學生真正地理解，對于一些比較難理解的數學內容，一些學生理解起來容易出錯的內容和章節，教師預先設計一些循序漸進的問題，逐步引導學生一步步深入討論，這也符合新課改中自主性學習和合作性學習的理念。設計一些模棱兩可、甚至一些誘發學生思維暫時產生錯誤的問題，在師生討論中得到甄別和認識，然后獲得正確結果，顯然較之教師在教學中直接地給出正確的結論，讓學生記憶要牢固的多。如果說，我們的平常教學，是在風和日麗的環境下師生一道行走，那么，學生難理解的內容、容易出錯內容的學習，就好比是雨地里師生一道行走，教師比較巧妙地在易錯問題的地方組織學生討論，即使“在雨天的路上跌倒了，爬起來還有一身泥。”學生對出錯的地方和知識的印象深，記憶牢，有助于避免易錯處出錯，準確記憶知識的關鍵概念。有可能將數學教與學的薄弱部分，反而強化成學生的優勢部分，當其它人容易出錯的地方，我們的學生不出錯、少出錯，我們數學的教與學自然而然會取得成功。例如，在討論有關曲線的對稱性問題時，一開始師生共同討論了曲線y=f(x)關于原點對稱的曲線是y=－f(－x)，關于Ｘ軸對稱的曲線是y=－f(x)，關于Ｙ軸對稱的曲線是y=f(—x)，關于直線y=x對稱的曲線是x=f(y)（可聯系復習反函數的曲線對稱性質）。如果對稱中心是點Ｐ(m,n)、對稱軸是直線ax+by+c=0，那么曲線y=f(x)的對稱曲線是什么呢？利用所學的中點坐標公式和互相垂直的兩條直線的斜率關系，經過一定的數式推導，學生就能順利地歸納得出一系列相關結論，教與學的過程中，不妨一試。９、巧用遷移法已學知識對新知識的學習，隨時隨地、不知不覺地會起著多方面的作用，其中積極的、促進性的作用，在心理學中稱之為知識的“正遷移”，在概念教學和解題教學中，教師如果能將學生需要解決的新問題與學生過去已經熟練的問題組成對比題組，可以促進學生對新知識的正遷移。例如，在講授了正弦函數的有關知識以后，教學余弦函數時，就可以根據正弦函數和余弦函數的余角關系，以定義域、值域、函數式、圖象、奇偶性、單調性、增減區域、極值最值的取值與自變量的對應等進行列表分析、探索。（理科講授反三角函數時，同樣可以類比）。例如在師生共同探究了題目：在△ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC以后，讓學生試著探究：１、在△ABC中，求證：tan２A+tan２B+tan２C＝tan２A·tan２B·tan２C，２、已知x+y+z=xyz，求證：＋＋＝等等。同理，已學知識對新知識的學習，有時也會不知不覺地起著一些消極的作用，這在心理學中稱之為知識的“負遷移”，要特別注意對知識的“負遷移”的甄別，“負遷移”在概念教學和解題教學中，可能造成學生的概念不清、解題錯誤，教師如果能將學生容易混淆的概念、似同非同，似是而非的問題編成題組，與學生共同討論甄別，既可以加深對已有知識的鞏固，又可幫助對新知識的理解。例如，立體幾何中有不少知識在平面幾何中有相應內容，有一部分學生，特別是女生，一開始總會機械地用已有的平面幾何定理、性質，套用在立體幾何中，以平面幾何的觀點和方法來思考立體幾何問題，形成平面幾何知識在立體幾何知識中的“負遷移”。如何將學生可能出現的“負遷移”，轉變為“正遷移”，我曾經設計過這樣一些問題與學生一道探索：判斷下列命題是否正確，如不正確，試舉出反例：１、垂直于同一條直線的兩條直線不可能是異面直線。２、平行于同一條直線的兩個平面必然平行。３、垂直于同一條直線的兩條直線必然平行。４、兩條互相垂直的直線必然有一個交點。５、一條直線上有兩不同點到另一條直線的距離相等，那么，這兩條直線平行。６、一條直線上有兩不同點到同一個平面的距離相等，那么，這條直線必平行于這個平面。７、一個三角形的三個頂點到一個平面的距離相等，那么，這個三角形所在的平面必平行于這個平面。８、不相交的兩條直線，就是平行線。經過一番討論，甚至是爭論，學生對平面幾何與立體幾何知識的聯系和區別有了比較好的理解，相關立體幾何的知識和概念也順利得到了鞏固。1０、自學輔導法“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力。”是新課程理念對當今中小學教師的教育教學工作提出的新的要求。如何根據以上新課程的理念，積極探索改變學生學習方法的現狀，培養學生的自學能力？如何指導高中學生對數學進行自學？如何指導學生有效地利用手邊的各種學習資料和學校已有的圖書資源，進行有效地數學自學？很多老師可能都有這樣的體驗，老師簡單地要求學生進行一些預習，實際效果是很不理想的。如果您在布置以后，第二天檢查一下，很可能就會發現，老師前面的要求，許多同學根本沒有落實。此時，如果您簡單地認為學生不夠自覺、不夠聽話，還不如從老師的自身來尋找原因去調整自己的教學要求更好些。因為高中學生的學習任務是比較重的，他們的手中幾乎有做不完的事，哪一項任務的要求，他們認為松一些，他們就會自覺不自覺地選擇放棄。近二十年來，因本人一直擔任學校的行政工作，有十多年既做行政工作（校長辦主任、副校長時），又擔任兩個班級數學教學，當校長辦主任時，還擔任一個班級的班主任，絕大多數年份還是高三年級的教學。有時因突擊性的行政工作或參加會議，難免會有缺課現象。萬般無奈的情況下，我摸索出了一套指導學生數學自學的方法。（一）、教師指導學生進行數學自學（其它學科理應相似），任務、要求要明確一些，便于學生執行和考核。（二）、教師指導學生進行數學自學前，一般可提出以下要求：１、閱讀某頁至某頁，找出重點和難點。２、找出暫時不能理解的內容，準備課堂上提交老師講解。３、根據閱讀和理解，利用課本練習和習題作業，對自己自學的效果進行自我評估。（具體完成哪幾題練習和作業）４、摘錄或完成參考書中的好題，在班級板書作介紹。有一年任高三課時，我因為上班期間身體受外傷，有近二十天不能正常到兩個高三班級上課，學生又堅持不要別的教師代課，在沒有辦法的情況下，我只好讓課代表每天來拿我事先準備的“學生課堂自學提綱”，在班級抄在黑板上。當時也是一種“死馬當作活馬醫”，不是辦法的辦法。真沒有想到，學生認為老師是因為他們而受傷，感恩的情結特別濃，每天的作業完成得比我上課時所布置的作業還要認真、還要好。四個月后的高考，兩個班級的數學成績，非但沒有受到影響，反而比原來還有些提高。真是“無心插柳柳成蔭”，指導學生自學，讓我嘗到了甜頭，對我后來的數學教學影響很大，深刻地感受到了著名教師魏書生同志的教學經驗有其可行性。指導學生自學，可以實現師生雙方互贏！二、復習總結篇數學教與學的過程中，適時地進行復習和總結（這里不包括目前高中數學新課程結束后，高三年級的系統復習和總結），是將每節課堂教學中零零散散的所學知識點和方法，進行歸納整理，使知識串成線、鋪成面、裝入腦、提能力的教學工作重要環節。如果說，每節課的課堂教學好象是在一個點一個點地采礦，那么，復習就是將所采得的礦物裝入倉庫，總結就是裝入向外運輸的列車車箱，做練習和訓練就是將礦物進行冶煉，總結后運用所學知識解決問題、參加考試等，就是將冶煉后的材料科學地運用。數學教與學就是要達到將所學知識“能科學地運用材料”的境界。曾經讀過一本讓我印象很深的教學方法研究書，介紹了一位有經驗的語文老師，如何指導課文閱讀和進行課文閱讀后提煉、總結的方法。他舉例所講的是魯迅作品的學習、分析和總結。其總結的方法，讓我一個數學教師讀過以后，感到在很長的時間里不能忘懷。后來再有意識地找來魯迅的這幾篇文章，自己再讀一讀，竟然有了一種與以前完全不同的全新印象，對魯迅這幾篇作品的理解和記憶，明顯有了提高。他是這樣給學生講復習、總結提綱的：《為了忘卻的紀念》一文為：一首詩、兩本書、三個典故、四種時間、五位烈士。《祝福》一文為：一個回憶、兩到魯鎮、三次描寫、四場祝福、五類人物。《藥》一文為：一只饅頭、兩條線索、三個場所、四個標題、五類人物。在此序列下，讓學生再讀幾遍這幾篇文章看看，找一找這些內容，看魯迅是如何將這些內容，巧妙地串成一篇篇優美文字的。許多學生聽他一點撥，突然間就有了一種脈絡清晰、一目了然的感覺。數學的復習和總結，為什么不能借鑒這位老師的創意呢？受其啟發，我在數學實踐中也做了一些嘗試。1、概念梳理法現有高中數學教材中的概念，較其它任何學科的教材，表達得更明顯和直觀（有時教材中所選用的字體也有不同），如果教師在每章節、每單元的課堂教學結束以后，僅僅是簡單地羅列一下，或者是讓學生自己去收集整理一下，是很容易做到的一件事。但是，實踐中我們可以發現，教師在課堂上羅列、復述，許多學生聽得好象有點東耳進、西耳出，根本不入腦；學生自己簡單的抄錄、總結，效果也很不樂觀。我遇到過好幾個這樣的學生，教師上課時感到她們的數學概念老是混淆不清，甚至分不清什么是定義、什么是定理、什么是判定、什么是性質？于是，我要求她們自己利用課外時間，好好復習一下書中的概念。這些孩子很聽話，她們有的將書中的概念很認真地抄錄在一個很好看的筆記本上，還拿給我看過。原以為情況會有很大的改觀，結果在考試中，她們對概念的理解，好象還是沒有多大的改進和提高。開始時我也感到納悶，說不清是什么原因。后來經過仔細地調查和分析，我發現，原來許多中學生，在抄錄教材和參考書中的概念內容時，僅僅是“查字典式”的一種文字抄錄，我戲稱她們僅僅是“寫了幾個字”，“照葫蘆畫瓢”一點沒有往心里去記，更談不上有多少理解和思考，怎么可能有多大的效益？（當班主任時，我發現許多作業和筆記都很認真的同學，成績卻提不上來，考試的許多內容，她們的筆記中就有，但她們幾乎一點都記不起來，后來我對她們的筆記內容進行詢問，發現有記載無理解和記憶，筆記僅僅是“在本子上寫了幾個漢字”。當然學習效率不是太高。詳見本書中學習方法點撥案例介紹）再后來，我引導學生在總結概念時，要注意做到：１、學會用自己的語言來敘述，即使說得不準，冗長一些也沒有關系，達到理解的目的就可。如果喜歡抄錄整理，最好是先看一遍，然后帶有默寫性質地抄錄，默寫后再校對，非常有利于記憶。２、對課本中的概念，盡量換一種語言描述，比如用“數形結合”語言，或者干脆用簡單的幾何圖形語言等，能達到自己能對照圖形理解或能用文字語言口頭復述的水平就是成功。３、提綱挈領地寫出概念的“關鍵詞”，通過記住概念的“關鍵詞”，由“關鍵詞”引領，促進對概念和方法的理解和掌握。４、用學生自己喜歡的方式、符合自己高效記憶和理解的語言，對所學概念和方法，進行整理敘述等。總體上講，在概念總結時不能依賴于簡單的機械抄錄和記憶，數學中僅僅是機械的記憶一些概念和公式，沒有深刻地理解，在解決問題時，特別是在解答概念的是非判別題時，常常會產生錯誤。因此，數學概念和方法的復習、總結，必須遵循一個原則，那就是必須在思考、理解的基礎上，尋找符合自己個性，同時又是高效、容易牢記的方法。2、圖表總結法數學概念、知識和方法的特點之一就是邏輯關系特別嚴謹，前后相關的聯系特別清晰，如果在教與學的過程中，學生能在教師的指導下，將所學概念、公式等，制成相關的圖表，形成知識的網絡體系、網絡關聯圖，就能讓知識形成一種“知識鏈”，讓知識在學生的記憶和運用中，由此及彼、由表及里，承上啟下、相輔相成，形成多種關系和角度的相互關聯、形成多角度的交叉記憶，提高記憶的準確性和效率。如果學生對概念和方法真是深刻理解了，即使在教與學的很長時間以后，也能夠用很少的關鍵知識、公式信息，進行其余知識和公式的推導。比如，在三角函數的公式體系推導中，我個人認為兩角和的余弦公式：“cos(A+B)=cosA·cosB－sinA·sinB”就是三角函數中最重要的基礎“母”公式，其它公式，只要賦給Ａ、Ｂ角的一定量的值，如令Ｂ＝Ａ可得二倍角公式，反之又可得到半角公式等等，如再加上考慮符號的變換，進行恰當的數式變形，幾乎是所有的三角函數公式，都可以由這一公式“cos(A+B)=cosA·cosB－sinA·sinB”“派生”出來。提出這一設想以后，讓學生自主地進行賦值推導，就能形成一個不是很復雜的三角函數公式形成網絡圖，或者可稱之為知識體系圖。實踐中，老師不需要直接地給予，讓學生在教師的指導下，自己進行摸索，老師在學生完成復習總結后，再在班級進行一下結果的評比，學生會感到樂此不疲。無形中還教給了學生在很長的時間以后，甚至是對三角函數的許多公式的記憶開始模糊以后，利用自己的推導，可以迅速地重新找回自己解決問題時所需要的三角函數公式的一種方法。如果再加上三角函數中最易出現錯誤的三角函數名稱和“符號問題”的研究方法：針對(k·+α)中ｋ而言，函數名稱（互余）和符號是“奇變偶不變，符號看象限”的判斷，三角函數這一節教與學的基本問題，就達到了脈絡清晰、條理清楚、記憶牢固、準確掌握的地步。在平面解析幾何中，圓錐曲線的部分，有統一的定義，也有分項的軌跡定義，還有一些幾何作圖的表述。但是許多幾何點、線、范圍等名稱，幾個關鍵字母之間的關系，主要推導計算等，具有共同或類似的敘述，教師整章教學后，制定一個圖表，或者在教師的指導下，直接讓學生制定一張圖表，進行總結歸納，既能了解知識的整體全貌，又能促進對知識個性特征的掌握，找到知識之間的相互聯系和區別，形成知識的交叉記憶網絡，對鞏固和提高知識的綜合運用能力，有意想不到的結果。3、題型凝練法高中數學的教與學，離不開對問題的研究。有的數學家干脆就說：“離開了問題的研究、計算、推導和論證，數學學科就不能稱之為數學。”數學的概念、定理、性質的理解和應用，常常以問題的形式來體現，數學教與學的效果檢測和評估，通常也是利用學生解題的正確率來分析。這就提醒教師和學生，在數學學習中，對典型例題和重要的解題方法，要給予充分地關注，廣泛地進行搜集和歸納。而對數學題型的廣泛搜集和歸納，必須建立在學生的廣泛閱讀和主動性學習上。數學題型的收集和歸納，許多教學方法研究的書籍和雜志文章中都有介紹，一看這樣的內容，大家也能理解，這里就不再贅述。個人在指導學生進行學習過程中或過程后的題型總結時，有一個原則：看到典型的范例，必須引起學生自己足夠地反思以后再進行總結。具體要求是：１、根據范例，讓學生寫出或勾勒出題目的已知條件、求解結論和主要求解方法，方法可以不唯一，幾種方法比較以后，哪種方法你個人最感興趣，覺得最容易順理成章地想到，最便于長時期地記憶，最容易實現等等。２、根據范例分析，如果條件或結論改變了怎么辦？條件和結論可能會有哪些改變？由條件到結論的推導和計算的過程，你認為是否合理、是否自然、是否必然？如你能感到：由條件到結論自然而然地就應該這樣想，那說明你已經基本正確掌握了這樣的題型。３、聯想類比過去已學的知識，哪些已學的內容、做過的習題，曾經使用過類似的方法和技巧？立體交叉記憶，能使記憶有長效。４、對特別題型的解法和特別解法的技巧，不能僅僅是驚嘆和佩服，要學會在特殊性的當中，盡可能地挖掘其普遍性、共性的東西。否則，只能是當時對這樣的特別技巧，感到一種贊嘆，時間不久就會遺忘。特別的技巧如果是非常重要的內容和方法，那就要有意識地創造機會，與學生在一起經常地“把玩”，才能達到熟能生巧的地步。4、學生自主法個人認為，對一個學校、對一個教師的教與學的評價，不能只看教師的水平有多高，也不能只看教師在課堂教學中講了多少內容，而是要看通過教師的教學，讓學生真正地學到了些什么知識，真正掌握了多少知識，具備了怎樣一些運用已學知識解決實際問題的能力，是否提高了學生的素質。在新課程改革理念下，不但教學工作要以學生為主體，課程的評價、教學效益的評價更是要以學生為主體。高水平的教師，不一定能教出多少高水平的學生，高水平的學生當然需要得到一批高水平教師的指導，才能達到更高的水平；教師講得很多、很深，學生完全沒有聽懂，沒有學會，這不但沒有學習效率，而且有害。因為它浪費了學生的寶貴時間，說不定還會影響學生對數學學習的信心和聽課習慣。教師根據學生的實際狀況，扎扎實實地按課程目標、考試標準進行教學，循序漸進地提高學生的能力和素質，才是切實可行的高效教學策略和辦法。鑒于以上認識，我認為數學課堂教學中，教師要讓學生充分地“動”起來（本書后面有專門分析的文章）。數學內容學習一段時間以后的復習總結，由于學生在學習的過程中，已經出現了水平不一、差次不齊的局面，教師如果包辦代替，很難讓每一個學生都感興趣，很難讓每一個學生都有很好的收獲，很可能是低效的。有經驗的教師，在平時的教育教學工作中，總是十分注意充分調動學生的積極性。在數學復習總結的教學工作中，教師更應該主動考慮做到、做好這一點，指導學生學會自主復習和總結。根據每單元、每章節的不同內容，教師可以采取靈活機動的各種方法加以指導。學生的自主復習和總結，既是學生自主學習的成果，也帶有一定的研究性學習成果性質，同時能激發學生的興趣，培養學生的自學能力、信息搜集、整理、歸納和分析等能力，提高學生的綜合素質。其整理出來的結果雖然各不相同，但教師可以在學生復習和總結的基礎上，巧妙地進行結果的檢查和評獎。注意，對學生的自主學習成果，進行及時的評講和激勵，是激發學生的興趣、逐漸培養學生自主學習能力的重要措施和有效手段。用學生中的優秀成果展示，讓學生看得見、摸得著、學得象，能讓一些優生積極地影響其它同學、帶動其它同學，長期堅持，可以有效地提高全體同學的學習品質和素質。5、類比對應法根據所學數學知識的內容，聯想已學過的知識，進行適當地聯想、類比，找出新、老知識的共同點、不同點，進行復習和總結，能使新、老知識和方法形成一個立體的體系，達到復習、激活老知識，鞏固新學知識的目的。如果教師自己有相關類比內容復習、總結的多媒體課件，只要再次進行一次快速地播放，對照有關內容進行一些指點、引領，就能很快地指導學生對剛學內容的復習和總結。這樣的復習、總結，耗時少、見效快、內容豐富、教學績效實實在在。比如，高中的函數部分學習，對于每一種函數，我們大致研究了這樣十個方面的內容：定義域、值域、函數式、圖象、單調性、奇偶性、周期性、最值、極值、實際問題的應用等。而根據函數的分類，我們教與學的內容大致又有：初中數學部分在高中再研究的內容：多項式函數、分式函數；高中數學新研究的內容：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、一元多項式高次函數、多種函數關系復合的函數、隱函數、特殊定義的函數等十余類有代表性的函數，只要我們的老師，在復習、總結某一類函數時，在學生的心目中搭起這十個方面研究的框架，每學習到一類新的函數內容時，讓學生系統地整理出這十個方面的內容（有些性質不一定全部出現，但總結、思考一下，耗時不多，有利無害）。函數這一節內容的學習，就整體達到了一個相當高的水準。高一這一塊的內容，剛進入高中學習的學生就能基本順利地掌握。有過高中教學經歷的教師都知道，進入高一以后，學生一開始感到學習最困難的學科、學習壓力最大的學科，常常就是數學和物理，而數學的函數這一章，正是學生感到很難學好的內容，請老師和正在學習的同學按此框架試試看，我自己的教學實踐證明，對不同層次的學生實驗，都是很實用、很有效益的。6、提綱擴充法語文教與學中，許多有經驗的老師，在分析課文和指導學生作文時，有一種根據課文提練提綱（縮寫也是一種）和寫作大塊文章之前先列出提綱的做法，一篇很長的文章，也許可縮寫成一小段文字，或者就是幾個簡明扼要的提綱（本篇開頭中語文老師的一、二、三、四、五，就是一個最好的例子），一個章節、一個單元、甚至是一本數學教材，也可以學習這位語文老師的經驗，進行巧妙的數字編號，讓學生帶著這些編號去整理，去充實。如，本章節、本單元的數學教與學的主要內容共有：一個內容，兩種關系、三條定理、四種判定、五種應用，六種題型、七個補充等等。讓學生去看書、去整理筆記、去查閱資料。實踐起來，學生有時會提出許多有意義的建議，比如不止六種題型，有十種題型等等，有時，同學們為了證明自己的論點是正確的，常常會舉出許多課本以外的好例題，這時候老師讓他在班級展示出來，學生們會特別地關注，也能擴大全班同學的知識面和閱讀視野。出現這樣一種教與學的情況以后，班級的學習和研究的氛圍會特別地好，能有效地促進學生的研究性學習（在新課程改革前，我在實踐中稱之為教輔資料和參考書的研究和補充性學習），同學們也會覺得數學學得活，的確很有意思。對學生提出來的有價值的內容，我會讓學生署名抄寫給我，并注明來自何處，收入我的教學資料，我戲稱此法為“全班同學來為老師備課、增添了老師的知識財富。”學生將手中所有參考書的精華，送給了老師，經過老師的選擇、整理，不要多長時間，老師就有了許許多多有意義、有價值的好題，讓老師實現了教、學相長。前面的畢業生，為后面的學弟、學妹們留下了豐富的知識寶庫。再比如立體幾何教科書，因為受歐幾里德體系影響，全書的體系和條理十分清晰。學生學完課本的基本內容以后，可以運用知識的主線，將整本立體幾何教材的知識點：定義、定理、判定、性質、主要運用等，編寫成一組提綱，可以形成一種清晰的網絡：主線：點、線、面、體及其相互關系。知識點支撐：定理（定義、公理等）判定、性質等：一點不討論，兩點定一線，三點（不共線）定一面，四點（無三點共線）或四點以上定一體。一線和一點（線外）定一面，兩線（平行或相交）定一面，兩面相交有一線，三面以上圍成體（我在立體幾何的教學中有一個觀點，認為立體幾何實際上是多個平面或平面的一部分圍起來的幾何問題。許多立體幾何問題的研究，最終實際上可以化歸到一個平面或幾個平面來研究，這也無形中給出了學生分析、解決立體幾何問題的一種分析思路和解題方法）。“幾何作圖、位置關系判斷證明有計巧，作線不離面，離面不好找”；“線面關系常用線，線線關系常找面，面面關系線與線”；幾何計算有步驟，“圖示條件，作所求量，構三角形