1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系

目標導航

課程標準課標解讀

1.理解與掌握直線的方向向量，平面的法

1.通過本節的學習，掌握直線的方向向量，平面的法

向量.

向量的概念并會求出直線的方向向量與平面的法向

2.會用方向向量，法向量證明線線、線面、

量.

面面間的平行關系；會用平面法向量證

2.能根據所給的條件利用空間向量這一重要工具進行

明線面和面面垂直，并能用空間向量這

空間幾何體的平行、垂直關系的證明明.

一工具解決與平行、垂直有關的立體幾

問題.

善,高頻考點

（一）判斷直線、平面的位置關系］

（二）己地兩向量至直求參數考點四利用空間向量證明垂直問題

（三）證明垂亶詞強J用空間向量研究直線、K—

平面的位置關系：播

（一）判斷直發平面的位星關系

考點三用空間向量證明平行問題考點二求平面的法向量

受二知識梳理

知識點1空間中點、直線和平面的向量表示

1.空間直線的向量表示式

設A是直線上一點，a是直線/的方向向量，在直線/上取壽=a,設尸是直線/上任意一點,

（1）點P在直線/上的充要條件是存在實數f,使力=%，即力=凝.

（2）取定空間中的任意一點O,點P在直線/上的充要條件是存在實數/.使而=豆+也

⑶取定空間中的任意一點0,點尸在直線/上的充要條件是存在實數f,使次=亦+以氏。

注意點：

(1)空間中，一個向量成為直線/的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線

與/平行或重合.

(2)直線上任意兩個不同的點都可構成直線的方向向量.與直線I平行的任意非零向量a都是直線的方向向

量，且直線/的方向向量有無數個.

(3)空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.

2.空間平面的向量表示式

①如圖，設兩條直線相交于點。，它們的方向向量分別為“和從尸為平面a內任意一點，由平面向量基

本定理可知，存在唯一的有序實數對(x,y),使得舁=xa+油.

/

%力4/②如圖，取定空間任意一點0,空間一點尸位于平面A5C內的充要條件是存在實數x,y,

使誦=示+*贏+嬴.我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.

Y③由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.

如圖，直線LLa,取直線/的方向向量a,我們稱向量a為平面a的法向量.給定一個點A和一個向量a,

那么過點4,且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a?壽=()}.

(1)平面?的一個法向量垂直于平面a內的所有向量.

(2)一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行.

易錯辨析：

(1)空間中給定一個點A和一個方向向量能唯一確定一條直線嗎？能

(2)一個定點和兩個定方向向量能否確定一個平面？不一定，若兩個定方向向量共線時不能確定，若

兩個定方向向量不共線能確定.

(3)由空間點A和直線/的方向向量能表示直線上的任意一點？能

【即學即練1】【多選】若M(1,O,-1),N(2,1,2)在直線/上，則直線/的一個方向向量是()

A.(2,2,6)B.(1,1,3)

C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

【解析】?:M,N在直線/上，.?.曲=(1,1石)，故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直線/的一個方向向量.

故選AB

【即學即練2】已知直線/的一個方向向量機=(2,—1,3),且直線/過4(0,y,3)和8(—1,2,z)兩點，貝(Jy

-z等于()

A.0B.1C.&D.3

【解析】VA(0,必3)和5(—1,2,z),：.AB=(-l,2-y,Z-3),

k=~\,

1―1=2A,

:直線/的一個方向向量為洲=(2,-1,3),故設4方=人機???《2一丁=一%,解得〈y=1.

[z-3=3A.

z=0.故選A

【即學即練3]已知通=(2,2,1),AC=(4,5,3),則平面ABC的一個單位法向量為()

,122、/122、

A.(——,——,——)B.(————)

333333

,122、，122、

C.(一§，§，§)D.

/、(2x+2y+z=0,

【解析】設平面ABC的法向量為力=(x,y,z),則有，匚.八取x=l，則丁=-2*=2.

'7(4x+5y+3z=0,

i29

所以為=(1,-2,2).因為同=3,所以平面ABC的一個單位法向量可以是故選：B

【即學即練4】在空間直角坐標系內，平面。經過三點A(l,0,2),8(0,l,0),C(-2,l,l),向量萬=(1,九〃)是

平面a的一個法向量，貝!|彳+〃=()

A.-7B.-5C.5D.7

【解析】而=(—1,1,一2),阮=(—2,0,1).萬?而=—1+/1-2〃=0;萬?或=—2+〃=0.

可得〃=2,4=5,2+〃=7故選：D

【即學即練5】若直線/的方向向量a=(l,0,2),平面a的法向量為n=(—2,0,-4),貝!!()

A.l//aB.11.a

C./C?D./與a斜交

【解析】B【即學即練6】下列命題中，正確命題的個數為()

①若%,為分別是平面a,4的法向量，貝！|%〃%=a〃人

②若匕,為分別是平面處”的法向量，則a_L“o%?日2=0；

③若萬是平面a的法向量，。是直線/的方向向量，若/與平面a平行，則力也=0；

④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直.

A.1B.2C.3D.4

【解析】①中平面a,/?可能平行，也可能重合，結合平面法向量的概念，可知②③④正確.故選：C

知識點2空間平行、垂直關系的向量表示

設“1,“2分別是直線/1，,2的方向向量，n?血分別是平面a,。的法向量.

線線平行ll//l2^Ul//U2^B^Rf使得Ul=證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條

入"2直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充

注：此處不考慮線線重合的情況.但要條件證明.②建立空間直角坐標系，通過坐標運算，利用

用向量方法證明線線平行時，必須向量平行的坐標表示.

說明兩直線不重合

線面平行，i〃a—uiJLni臺u「ni=0(1)證明線面平行的關鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂

注：證明線面平行時，必須說明直直.

線不在平面內；(2)特別強調直線在平面外.

面面平行“〃夕0ni〃n2臺使得ni=2ni(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量

注:證明面面平行時，必須說明兩個平行.

平面不重合.(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明.

線線垂直Z1±，2臺1U±U2<=>U1-U2=0(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直,都可轉化為兩直線的

方向向量相互垂直.

(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐

標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數量積為0.

線面垂直JLaOu]〃n]0m2￡R,使得Ui=xni(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，

證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證

得結論.

(2)坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐

標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零，

從而證得結論.

(3)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的

坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法

向量共線，從而證得結論.

面面垂直a±/?<=?n1±n2<=>nrn2=0(1)常規法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線

垂直去證明.

(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直

【即學即練7】已知向量”=(2,4,5),6=(3,x,y)分別是直線，2的方向向量，若/i〃b，貝!1()

15

A.x=6,j=15B.x=3,y=~f

15

C.x=3,j=15D.x=6,7=5

【解析】由題意得，/.x=6,y=當故選D

(即學即練8］已知平面a的法向量是(2,3,-1),平面p的法向量是(4,2,-2),若a//fi,則2的值是()

A.一號B.6C.—6D.?

23—1

【解析】的法向量與/?的法向量也互相平行..?q=］=三，；"=6.

【即學即練9】設/i的方向向量為a=(l,2,-2),/2的方向向量為b=(—2,3,⑼，若/Jb,則％=.

【解析】VZi±/2,：.a±b,：.a-b=-2+6~2m=0,得，"=2.

【即學即練10］已知京=(1,5,-2),~BC=(3,1>z),若方'>!"就，~BP=(x-l,y,-3),且而_1平

面ABC,則訴=.

【解析】VAB±BC,/.3+5-2Z=0,

：.z=^."：~BP=(x~\,y,一3),且/_L平面A8C,

8尸?48=0,x-l+5j+6=0,

?V即,

[3x—3+y—12=0,

(40

x=y,

叫15故訴=(苧,-y,-3)

1尸節，

fgf3315

答案：(亍，—y?

考點精析

考點一求直線的方向向?

解題方略：

理解直線方向向量的概念

(1)直線上任意兩個不同的點都可構成直線的方向向量.

(2)直線的方向向量不唯一

【例1-1】若4(-1,0,1),3(1,4,7)在直線/上，則直線/的一個方向向量為()

A.(1,2,3)B.(1,3,2)

C.(2,13)D.(3,2,1)

【解析】因為罰=(2,4,6),所以(1,2,3)是直線/的一個方向向量.故選A

變式1：已知向量a=(2,—1,3)和)=(-4,2d,6x)都是直線/的方向向量，則了的值是()

A.-1B.1或一1

C.-3D.1

2x2—2

【解析】由題意得。〃瓦所以“*解得x=-l.故選A

6x=-6,

變式2：從點4(2,—1,7)沿向量。=(8,9,-12)的方向取線段長成|=34,則5點的坐標為()

A.(18,17,-17)B.(-14,-19,17)

C(6,1)D.(-2,-y,13)

【解析】設8點坐標為(x,y,z),則AB=xa(z>0),即(x-2,j+1,z-7)=z(8,9,-12),

因為的|=34,即［64乃+8132+144乃=34,得2=2,所以x=18,y=17,z=-17.故選A

考點二求平面的法向■

解題方略:

~(設平面的法向量為n=G,y,z)"］

-］在平面內選取兩不共一向量而，回

磷怒列出警式

一解由］:靄，得出的方程組

_(取X,y,z中一個為非零值(常取士均

利用待定系數法求法向量的步驟^的f法向1t〕

【例2-1】在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-AiWG"是棱長為1的正方體，給出下列結論:

①平面ABBtAi的一個法向量為(0,1,0);

②平面BiCD的一個法向量為(1,1,1);

③平面BCDi的一個法向量為(1,1,1);

④平面A6G01的一個法向量為(0,1,1).

其中正確結論的個數為()

A.1B.2

C.3D.4

【解析】VAD=(0,1,0),AB±AD,AAt±AD,又48044=4,.,.4O_L平面.?.①正確；

VCD=(-1,0,0),而(1,1,1)?而=一1工0,二(1,1,1)不是平面SCD的法向量，,②不正確；

VB7C=(0,1,-1),CD；=(-l,0,l)>(1,1,1)求=0,(1,1,1)<^=0,B(CnCDi=C,.?.(1,1,1)是平

面BICQI的一個法向量，.?.③正確；

?啟=(0,1,1),而褐?(0,l,l)=2W0,不是平面的法向量，即④不正確.因此正確結

論的個數為2,選B.

【例2-2】在正方體ABCO-AiBiGOi中，棱長為1,G,E,尸分別為A4,AIi,BC的中點，求平面GE尸

的一個法向量.

【解析】如圖，以。為坐標原點，分別以ZM,DC,所在直線為x軸y軸，z軸建立空間直角坐

標系，則｛1,0),心，1,0),G(l,0,1),

k

AGE=(^0,T),小

笳二俘,0).G

z4EB

設平面GE尸的法向量為"=(X,y,Z).x

―一>.品為弓=0,.

由“"LGE,M±FE,得1/J

FE=1x—p-=0,

令y=l,可得平面GE廠的一個法向量為"=(1,1,1).

變式1：如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD//BC,NA5C=90。，SA_L平面"CD,SA=AB

=BC=1,AD=1,試建立適當的坐標系.

AD(1)求平面A5CO的一個法向量；

⑵求平面SAB的一個法向量；

⑶求平面SCD的一個法向量.

【解析】以點4為原點，AD,AB,4s所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

0),S(0,0,l).

系，則4(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),0,

ADx(1)；SA_L平面ABC。，

.?.石=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.

(iy：ADA.AB,ADA.SA,ABC\SA=A,AB,SAU平面A8S,

.,.AO_L平面SAB,

.*.io=Q.o,0)是平面SAB的一個法向量.

(3)在平面SC。中，OC=Q,1,0),元=(1,1,-1).

設平面SCZ)的法向量是"=(X,y,z),

則nA.DC,n±SC,

n-DC=0,

.?V

jt-SC=0,

lx+j-z=(),"-"

令y=-l,得x=2,z=l,.,./i=(2,-1,1).：.n=(2,-1,1)是平面SCO的一個法向量(答案不唯一).

變式2：如圖，在正方體ABC。-451Goi中，尸是。"的中點，O為底面A8C。的中心，求證：5濟是平

面/<4C的一個法向量.

證明：如圖，以O為坐標原點，分別以ZM,DC,OOi所在直線為x軸，y軸，z

軸建立空間直角坐標系.

/Q/iJc不妨設正方體的枝長為2,則4(2,0,0),P(0,0,l),C(0,2,0),9(2,2,2),0(1,1,0),

.?.南=(1,1,2),AC=(-2,2,0),AP=(-2,0,1),

/.OB；-AC=-2+2=0,OfiJ-AP=-2+2=0,

AOB；±AC,OBt±~AP.

'：ACr\AP=A,

二081是平面R4C的一個法向量.

變式3：已知4(1,1,0),8(1,0,1),C(0,l,l),則平面ABC的一個單位法向量是()

【解析】設平面ABC的法向量為"=(x,j,z),

又急=(0,-1,1),BC=(-l,l,0),

AB-n=—y+z—(f,

)BC-n=—x+y=a.

'.x—y=z,

又???單位向量的模為1,故只有B正確.

【例2-3］已知平面a內有一個點4(2,-1,2),a的一個法向量為n=(3,l,2),則下列點尸中，在平面a內

的是()

A.(1,-1,1)B.(l,3,0

C.(L-3,4D.(-L3,一§【解析】若點P在平面a內，則PAJ.a,即

前加二。.對于選項A,石T=(l,0,l),則右?"=(l,0,l)?(3,l,2)=5W0,故排除A;對于選項B,右=

(1,一4,Q,則"?”=(1,-4,0-(3,1,2)=0,故B正確；同理可排除C、D.故選B

考點三用空間向■證明平行問題

解題方略：

用空間向量證明平行的方法

(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線.

(2)線面平行：

①證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一組基底表示.

②證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.

③先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.

在證明線面平行時，需注意說明直線不在平面內.

(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題.

(-)判斷直線、平面的位置關系

【例3-1】已知直線/的方向向量是“=(3,2,1),平面a的法向量是〃=(一1,2,-1),則/與a的位置關系

是()

A./±aB.I//a

C.1與a相交但不垂直D.I"a或lUa

【解析】因為。"，=-3+4—1=0,所以aJ_".所以/〃a或/Ua.故選D

變式1：在正方體A8CD481GO1中，棱長為a,M,N分別為A],AC的中點，則

MN與平面BBiCiC的位置關系是()

A.相交B.平行

C.垂直D.不能確定

【解析】建系如圖，設正方體的棱長為2,

則A(2,2,2),Ai(2,2,0),C(0,0,2),5(2,0,2),：.M(2,1,D,Ml,1,2),.,.訴=(一

1,0,1).

又平面BBiGC的一個法向量為“=(0,1,0),

VWV-n=—1X0+0X14-1X0=0,，MN〃平面BBCiC.故選B.

(二)證明平行問題

【例3-2】在長方體ABCD-A/iGOi中，AB=4,AD=3,AAi=2,P,Q,R,S分別是AAi,DiCi，AB,

CG的中點.

求證：PQ//RS.

證明：法一：以。為原點，DA,DC,。"所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

則P(3,0,l),0(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,l),P0=(-3,2,1),~RS=(-3,2,1),

APe=-RS,：J~PQ//^S,即尸Q〃RS.

法二：~RS=^RC+CS=|DC-DA+^DDi,

：.HS=~PQ,：.~RS//~PQ,?PRS//PQ.

【例3-3]已知正方體ABCO-A/iGU的棱長為2,E,尸分別是BB”O5的中點，求證:

⑴尸G〃平面ADE；

(2)平面AOE〃平面BtCiF.

【證明】如圖所示建立空間直角坐標系D-xyz,

則有0(0,0,0),4(2,0,0),C1(O,2,2),E(2,2,l),尸(0,0,1),Bi(2,2,2),所以對=(0,2,1),

04=(2,0,0),AE=(0,2,1).

(1)設〃1=(x1,ji,zi)是平面的法向量,

nrDA=2xi=0,

則m_L萬：，H1±AE,即，

nvAE=2ji+zi=0,

Xi=0,

得、令Zi=2,則》=一1,

所以"i=(0,-1,2).

因為死?卬=-2+2=0,所以壽_L"i.

又因為尸GC平面ADE,所以尸G〃平面ADE.

(2)因為黃=(2,0,0),

設"2=(*2,J2,Z2)是平面81G戶的一個法向量.

,_

—>―?H2'FC=2y2+z2=0,*2=0,

由,2,歹G,ml-CxBx,得，1得

.Z2=-2y.

./irGBi=2x2=0,2

令Z2=2,得)2=-1,所以〃2=(0,-1,2),

因為"i="2,所以平面AOE〃平面81G尸.

變式1：在四棱錐尸一A5C。中，四邊形A8C。是正方形，側棱尸。垂直于底面ABC。，PD=DC,E是PC

的中點.證明：R1〃平面E￡>氏

【證明】如圖所示，建立空間直角坐標系，O是坐標原點，設PZ>=OC=a.

連接AC,交BD于點G,連接EG,

依題意得0(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,f,。

B(a9a,0).

方法一設平面3OE的法向量為“=(x,j,z),

又溫=(0,f,f),

疣=0,

則有，

1〃?說=0,

匏+z)=0,(+z=o,

即〈即｛

k+)=。,N+L

fx=l,

令z=l,貝M.所以〃=(1,—1,1),

b=T，

又上4=3,0,~a),

所以〃?應=(1,—l,l)*(a,0,—a)=a—a=0.

所以nl.PA.

又Ria平面E05,所以〃平面EOB.

方法二因為四邊形48CD是正方形，

所以G是此正方形的中心，

故點G的坐標為g,去())，所以詫=g(),—

又/<4=(a,0,—a),

所以萩=2反;，這表明以〃EG.而EGU平面EDB,且RVI平面EDB,

所以〃平面EDB.

方法三假設存在實數心〃使得萩=方/+"說，

即(a,(),—a)=；/o,1,y~2)t

則有"°=赤+〃2

,aa

解得

l?=l-

所以莉=一垃H?防，又F4C平面EOB,

所以"〃平面EDB.

變式2：如圖，在直四棱柱A5C0—Ai81Goi中，底面A8C。為等腰梯形，AB//CD,45=4,BC=CD=

2,AAi=2,尸是棱A8的中點.

AFB求證：平面441010〃平面FCG.

【證明】因為45=4,BC=CD=2,f是棱AB的中點,

BF=BC=CF,

所以ABC尸為正三角形.

因為A8CD為等腰梯形，A8=4,BC=CD=2,所以N8AO=NABC=60。.

取Af的中點M,連接OM,

則DM1AB,所以DMA.CD.

以。為原點，DM,DC,O"所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),01(0,0,2),A(小，-1,0),尸(小，1,0),C(0,2,0),G(0,2,2),

所以加i=(0,0,2),ZM=(A/3,-1,0),亦=(巾，-1,0),左尸(0,0,2),

所以應)i〃反11,DA//CF,

又OOinZM=O,CCiClCF=C,DD1,ZMU平面AAi"。，CCt,CPU平面尸CQ,

所以平面44150〃平面FCG.

變式3：如圖，在長方體ABC。-中，點E,F,G分別在棱AA,4內，AQ上，A,E=\F=\G=\.

點尸，Q,R分別在棱CG,CD,C8上，CP=CQ=CR=1.求證：平面EFG//平面尸QK.

【解析】構建以。為原點，方，反，西為x、y、z軸正方向的空間

直角坐標系，如下圖示,

設AB=a,BC—b,BB{=c(a,h,c>l)9又AE=A尸=AG=1,

CP=CQ=CR=l9

AE(6,0,c-l),F(M,c),Gg—l,O,c),P(O,〃,1),2(0,67-1,0),陽1,。,0),

/.EF=(0,1,1),由=(-1,0,1),而二(0,-1,-1),而=(1,0,-1),

_EF-m=y+z=0一

設m=(x,y,z)是面所G的一個法向量，貝3_,一，令x=l,w=(l,-l,l),

EG?機=z-x=0

p(~).YI——j一k=0

設G=(iJ幻是面PQR的一個法向量，則)一，令，=1,5=(1,-1,1),

PR-n=i—k=G

...面EFG、面PQR的法向量共線，故平面EFG//平面尸QR,得證.

考點四利用空間向■證明垂直問題

解題方略：

用空間向量證明垂直的方法

(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數量積為零.(2)線面垂直：①基向量法：選

取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證

得結論.

②坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數

量積均為零，從而證得結論.

③法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向

向量與平面法向量共線，從而證得結論.

(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示.

(-)判斷直線、平面的位置關系

【例4-1】在四棱錐P-A8C。中，底面是平行四邊形，~AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),~AP=(-

1,2,-1),則由與底面ABC。的關系是()

A.相交B.垂直

C.不垂直D.成60。角

【解析】因為N?標'=0,APAD=0,所以AP-L平面A5CD.故選B

變式1：若平面a,/?的法向量分別為a=(2,-1,0),b=(-l,-2,0),則a與//的位置關系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.無法確定

【解析】0力=-2+2+0=0,：.a±b,...aJj?.故選B

(~)已知兩向量垂直求參數

【例4-2】設八的一個方向向量為a=(l,3,-2),L的一個方向向量為5=(-4,3,%)，若I山2,則，”等于

)

【解析】因為所以。力=(),即lX(-4)+3X3+(-2)Xm=(),所以2m=9—4=5,即故選B

變式1：已知平面a的法向量為。=(1,2,-2),平面p的法向量為b=(-2,-4,k),若a邛,則k等于()

A.4B.-4C.5D.—5

【解析】Va±/?,：.aLb,+=-2—8—2?=0.；/=-5.故選D

變式2：在△ABC中，A(l,-2,-1),3(0,—3,1),C(2,-2,1).若向量"與平面ABC垂直，且網=收，

則n的坐標為.

【解析】根據題意，得叁=(一1,-1,2),n=(1,0,2).

設n=(x,y,z),

n-AB=0,

."與平面ABC垂直，

n-AC=0,

\n\=y[2i,yjx2+y2+z1=^21,

解得y=4或y=-4.

當y=4時，x=—2,z=l;當y=-4時，x=2,z=—1.

的坐標為(一2,4,1)或(2,—4,—1).

(三)證明垂直問題

【例4-3】已知正四棱柱ABCO-AiBiGd中，AB=1,AAt=2,點E為CG的中點，點尸為8"的中點.證

明：EFLBDi,EF±CCi.

【證明】建立如圖所示的空間直角坐標系.

則8(0,1,0),0,2),G(0,0,2),￡(0,0,1),心，1),C(0,0,0)

：.~EF=(J,；,()),CG=(0,0,2),麗=3-1,2),

/.EFCG=0=>EF±BDI,EFJ-CCI.

變式1：如圖，已知正三棱柱ABC-AtBtCt的各棱長都為1,M是底面上BC邊的中點，N

是側棱CG上的點，且CN=：CG.求證：ABt±MN.

【證明】方法一設我=a,AC=b,AA^c,則由已知條件和正三棱柱的性質，得|。|=網

=|c|=l,a'c=b'C=Q,ABi=a+c,AM=^(a+b),

俞=A+；c,MN=AN~AM=—1a+|fe+|c,

.,.鼐「AAf=(a+c)(—%+%+：,=—；+：cos60°+0—0+0+^=0.

：.ABi±MN,：.ABi±MN.

方法二設A8的中點為。，作00i〃AAi.以0為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得

??,M為3c的中點，

二叫,坐,°)

二赤=(一：,申,；),訪=(1,0,1),

:.A77VAB1=-；+()+：=0.

：.MNLABi,

：.ABt±MN.

變式2：如圖，由直三棱柱A8C-A8G和四棱錐。-88。。構成的幾何體中,

ABAC=90,AB=1,BC=BB[=2,C[D=CD=6平面CCQ1平面ACC.A,

(1)求證：AC1DC1；

(2)若M為。G中點，求證：AM〃平面。8及；

【解析】(D:在直三棱柱A8C-44G中，

CC,1平面ABC,又ACu平面4BC,

:.CCt±AC,???平面CG。，平面ACGA，且平面CCQc平面ACC|A=cc,,

又?.?ACu平面ACC|A,

:.AC_L平面CG。，

又DC、u平面CQD,：.AC10G

(2)直三棱柱ABC-AMG中，

???MJ?平面ABCi,而4片,AGu平面AMG

A\_LA4,AAt_LAG,

又NBAC=9(r,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以麗;=(-2,0,0),麗

設平面。8片的一個法向量為7=(x,y,z),

n-BB.=0f-2x=0

1an

則_,即〈r,

n-BD=0[x-y/3y-z=0

令y=l,貝

???M為￡>G的中點，則所以=

因為加i=0，所以而J_W,又平面。BB|,AM//平面

【例4-4]如圖所示，在正方體ABCO-AiSGOi中，E,尸分別是BBi,的中點.求

?1

證：EF_L平面BMC.

【證明】設正方體的棱長為2a,建立如圖所示的空間直角坐標系.

貝I]A(2a,0,0),C(0,2a,0),Bi(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a).

EF=(?,〃,2a)一(2o,2。，〃)=(—&,—%a),

AB\=(2af2af2a)—(2a,0,0)=(0,2a,2a),

AC=(0,2a,0)—(2a,0,0)=(一2a,2a,0).

EF-ABi=(-a,—a.a)?(0,2a,2a)=(一a)X0+(—a)X2a+〃X2〃=0,EF?AC=(-a,—%a)?(一

2a,2a,0)=2a2—2a2+0=0,

.?.EF±ABt,EF±AC.

XABiDAC=A,...E尸"L平面BiAC.

變式1：如圖，在四棱錐P—4BC￡＞中，9_1_底面4?(刀，底面ABC。為正方形，PD=DC,E,尸分別是

AB,尸3的中點.

(1)求證：EFLCD,

(2)在平面PAD內求一點G,使G尸JL平面PCB,并證明你的結論.

【解析】(1)證明如圖，以。為原點，分別以OA,DC,O尸所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角

設AO=a,則0(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(%0),

EF=(-p0,|)?DC=(0,a,0).VEFDC=0,：.EFA.DC，即EFLCD.

(2)解：設G(x,0,z),則而Kxggz.),

若使GbJ_平面PC5,則需用.而=0且用.方=0

由濟.麗="一］,-］，2-5)?(%0,0)

,——_,zaaa、

由FG-CP=(X-5，-/，Z-/)?(0,~a,a)

2

=—+a(z--)=0,得z=0.

22

；.G點坐標為多,0,0),即G為40的中點.

變式2：如圖所示，在直三棱柱A8C-A1&G中，底面是以NA8C為直角的等腰三角形，AC=2a,BBi=3a,

。是AiG的中點，點E在棱A4上，要使CE_L面/DE,則4E=.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,

則Bi(0,0,3a),

C(0,小a,Q),

魯等3a)

設E(ga,0,z)(0WzW3a),

則C￡=《/ia,一啦*z),

BiE=(y［2a,0,l3a),

布=凈率，。)

又/?瓦方=/-"2+0=0,

故由題意得屈?靛=0,2a2+z2-3?z=0,

解得z=a或2a.故AE=a或2a.

答案：a或2a［例4-5］在四棱錐S-48C"中，底面ABCD是正方形，AS,底面ABCD,且AS=AB,E

是SC的中點.求證：平面5Z)E_L平面A3CD.

證明：設45=48=1,速立如圖所示的空間直角坐標系，則8(1,0,0),上

0(0,1,0),4(0,0,0),C(l,l,0),/iV\n

5(0,0,l),

法一：連接AC,交80于點O,連接OE,則點。的坐標為Q,0).易知云=

(0,0,1),

加=(0,0,習，：JOE=^AS,J.OE//AS.

又ASL底面ABCD,■平面A5CD

又OEU平面BDE,，平面BOEJ■平面ABCD.

法二：設平面8OE的法向量為"i=(x,y,z).

易知麗=(-1,1,0),笳=(Tr2)-

m±BD,BD=—x+j=(),

ni_LBE,

令x=l,可得平面BOE的一個法向量為=0).TAS，平面A6CQ,

平面ABCD的一個法向量為小=不'=(0,0,1).

Vzirn2=0,二平面BOEJ■平面ABCD.

◎分層提分

題組A基礎過關練

1、已知。為坐標原點，四面體0A5C中，A(0,3,5),B(l,2,0),C(0,5,0),直線AO〃8C,并且AO交坐標平

面xOz于點。，則點。的坐標為.

【解析】TOG平面xOz,；.設。(x,0,z),則茄=(x,-3,z-5),易知茲=(-1,3,0).

?.,直線A￡>〃5C,：.~AD//~BC,，存在2GR,使(x,-3,Z-5)=x(-1,3,0),

x=-A,x=-1,

?)-3=3九即<x=l,

.z-5=0,lz=5?

工點。的坐標為(1,0,5).

答案：(1,0,5)

2,已知點4(0,1,0),-1),C(2,l,l),P(x,0,z),若科_L平面ABC,則點尸的坐標為()

A.(1,0,-2)B.(1,0,2)

C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)【解析】由題意知施=(-1,-1,-1),AC=(2,0,D,

亦=(x,-1,z),又B4J■平面ABC,所以有壽?亦=(一1,-1,-1,z)=0,得-x+l-z=

0.①

AC-AP=(2,0,l)-(x,-1,z)=0,得2x+z=0,②

聯立①得x=-l,z=2,故點尸的坐標為(-1,0,2).故選C

3、平面a的一個法向量是平面夕的一個法向量是加=(-3,6,-2),則平面a與平面夕的關系

是()

A.平行