201專題線參數方程的幾何意幾點分析與析一知識概：201★

若傾斜角為α的線過點

M(，)0

，為數，則該直線的參數方程可寫為

ysin

，t為參數★

若直線過點M，直線與圓錐曲線交于兩點P，則|MPMQ||MP|、|MQ|的何意義就是：

；|MP|+|MQ|的幾何意義就是：

|MPMQ|t|

；|MP|·|MQ|的何意義就是：

|MPMQ|

；|PQ|的幾何意義就是：

|PQ|，|12

(t)t11

.★

若過點M

(，y)0

、傾斜角為α的直線l圓錐曲線交于A、兩，則弦的中點坐標公為：xx(xx'12022(ysinysin'2022

或

xxt)p)'x(tt)2yt)pt)(t

，

p

為常數，均不為零t(其中中點M的應參數為t，t2，以中點坐標也為：

xt01yyt0

)★

若過點M

(，y)0

、傾斜角為α的直線l圓錐曲線交于A、兩，且M恰弦AB中，則中點M的應數：

t

t2

=0（因為，ypt02

p

均不為0，所以t=0）體一教中定講楚線數程推過，且定要調中數T的來實際上由新課程標準人教A版學選修課本中坐標系與參數方程的內容我們知道，平面內過定點

(xy)

、傾斜角為

的直線

l

的參數方程的標準形式為

x0ysin0

（為數中t表示線

l

上以定點

為起點，任意一點P（，）終點的有向段P的數量，當點在上方時為，當P點下方時負。體二教中須強參T的何義兩結的引應示。實際上在教學中我們知道，由直線參數方程的推導過程及向量模的幾何意義等知識，很容易得數t具有下的1

，即兩個重要結論：如我們假設直線，即

l

上兩點A、所應的參數分別為

t和t

，則：第：B兩點之的離

|t)2ABA

B

特別地AB點

的離別

|tB第：、兩點中所應參為

t

，

是段AB的點則

t0B

，之然在解決坐標系與參數方程這一選考題，特別是直線的參數方程與曲線的參數方程或是極坐標方有關的內容的題目，最典型的是涉及直線與圓錐曲線相交所得的弦和弦長、或是求一點到某點的距離為定值、弦的中點等有關方面的題目時，如果我們能夠充分利用參數t的上述兩個重要結論的話，我們的解題速度和解題正確、得分率將得到的大大提高，我們的解題水準也必將得到巨大的提升。、例在解距有的目時們以結一例1、直線

l

過點

(

，傾斜角為

6

，且與曲線C：

相交于A、B兩。（）弦長AB.（）P的長（）?PB00解）因為直線l過P(4,0)

，傾斜角為

6

，所以直線l的數方程為

xcost62ysinyt62

為數曲C是圓

x

y

，于是將直線的參數方程代入圓C的方程，得

(

3t)2t)22

，整理得

tt02()tt3.有參數T的何義設A、所應的參數分別為|AB|t所以112

t,

，則

43，t9112

，（）：由第一問解方程

t

30得tt2

3

，有參數的幾何意義同理可得

PA

，P（）于是由第一問的求解過程可知

PABtt902、再在解點坐有的題時以結二例2、已知直線l過點

，傾斜角為

3

，求出直線l到點P距離為的點坐標。解：因為直線

l

過點

P

，傾斜角為

3

，所以直線

l

的參數方程為

x4y

14t32，即t32

為參數（）設直線

l

上與已知點

P(4,8)

相距為5的為點，點對的參數為，則|P|t，以t

，將t的值代入（），2

ytyt當t＝時，M點的標為

(

3)；當t＝－5時，點坐標為(22

)

，綜上，所求P點坐標為

(

3))2

.點評：若使用直線的普通方程，利用兩點間的距離公式求P點坐標需要將直線方程代入曲線方程，消元后再用根與系數的關系，中點坐標公式來求解，相當麻煩，而我們使用直線的參數方程，充分利用參t幾何意義求的坐標就顯得比較容易。、解有弦中問時可以性二例3、過點

P

，傾斜角為

的直線

l

和曲線線相于、兩點，求線段的中P的坐。y解：直線

l

過點

P

，傾斜角為

，所以直線

l

的參數方程為2t2

為參數為線

l

和拋物線相交，將直線的參數方程代入拋物線方程y

x

中，得：

(

2t)t)2

，整理得

12

t

t

，

1602

，設這個二次方程的兩個根為

t1

，由韋達定理得

21

，由P為段MN的中點，根據的幾何意義，得tt22

，易知中點M所應的參數為

M

，將此值代入直線的參數方程得M點的標為，1）點評：對于上述直線l參數方程，M、兩點應的參數為

t,

，則它們的中點所對應的參數為

t

t2

將參數值代入直線參數方程后很快就可得到答案，這將十分方便快捷。再如例4曲線

y9

的右焦點F作傾角為

的直線L與雙線交于兩AB的點MF|。如果用傳統的解法則是解：方法一

依題意a=3,b=4,=5

所以F(5，0)，又直線的斜為45度所k=1

l的程為y聯立

xyyx916得7x90xM

452

M

M

807MF

607

2整個解答過程將會比較繁瑣，因為傳統的解法必須要將直線方程與曲線方程聯立，消元后用根系數的關系及終點坐3

220標公式才能求解。解法2：依題意220

的參數方程為：2yt

t

xy代入16

得tMF|

t80小結：方二：用參數方程求解，且靈活運用參數幾何意義，使求解過程變得簡潔，不易出錯，如果我們在教學中能多引導學生從這些方面思考，那么我們教起來輕松，學生學起來也將會更容易。體三兩性在的程要意數T取單向時的理化。從上面的例子不難看出，這兩個性質的確好用，但是我們在教學中一定要要注意下面例子中的題就需要對參數T所的單位長度作轉化：例如：已知曲線的方程是

cos()4

，直線L的程是

xy

若直線與曲線相交與A、B兩點求AB弦。解法1：解：直線方程可以化簡為：

x

，而曲線的方程可化簡為：

x

2

y

2

將直線方程代入曲線方程，消去一個未知數后可得關于的元二次方程，由到直線的距離公式及，弦心距，半徑，半弦長之間構AB成直角三角形可以解得解法2：將直線的參數方程代入曲線方程，則可以得到一個關t

的一元二次方程：

tt

如果還是用以前的有|t|(t)tABAB

B參數t的何意義的話將會求得AB的弦長為

725725這一結果與上述結果為何會不一樣呢？兩種解法所得的結果是哪一種對呢？當然答案是第一種法的對際上這就是在推導直線的參數方程時一定要注意到直線參數方程中參數的幾意義的問題，實際上，在上述題目中我們的參數T是取了模為5的量當作了單位向量，而非模為1的量為單位向量，但是在解題過程中多數同學甚至是老師也不會注意到這一細節，所以在涉及到直線參數方程，曲線的極坐標方程的問題時我們一定注意到直線參數方程cos中參數T的何義的探究，如上題中的直線方程中于直線的參數方程標準形式中ysin0的系數無論是

tcos

，都只能在

t

的前面的系數超過了區間

t

是多少個單位長度為單7位向量。于是在上面