學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第4講絕對(duì)值不等式最新考綱1。理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：｜a＋b|≤|a｜＋|b｜(a,b∈R）；|a－b|≤|a－c｜＋｜c(diǎn)－b｜（a,b∈R）；2。會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c;｜ax＋b｜≥c;|x－c｜＋|x－b｜≥a。知識(shí)梳理1.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x｜<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a〈0｜x|〈a（－a，a)??|x｜>a(－∞,－a)∪(a，＋∞)（－∞，0）∪(0,＋∞)R（2)|ax＋b|≤c（c〉0）和|ax＋b｜≥c（c>0）型不等式的解法①｜ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②｜ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c;（3)｜x－a|＋｜x－b｜≥c（c＞0）和｜x－a|＋｜x－b｜≤c(c＞0）型不等式的解法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。2。含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)（1）如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a|－｜b｜≤|a±b｜≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。(2）如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么｜a－c｜≤｜a－b|＋｜b－c｜，當(dāng)且僅當(dāng)（a－b）(b－c）≥0時(shí)，等號(hào)成立.診斷自測(cè)1。判斷正誤（在括號(hào)內(nèi)打“√"或“×”）(1）若｜x|＞c的解集為R,則c≤0.(）（2）不等式｜x－1|＋｜x＋2|＜2的解集為?.(）(3）對(duì)｜a＋b｜≥｜a｜－｜b｜當(dāng)且僅當(dāng)a＞b＞0時(shí)等號(hào)成立.()（4)對(duì)|a｜－|b｜≤|a－b｜當(dāng)且僅當(dāng)|a|≥｜b|時(shí)等號(hào)成立。(）(5)對(duì)｜a－b|≤|a|＋|b｜當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)等號(hào)成立.(）答案（1)×（2)√(3)×（4)×（5)√2.若函數(shù)f(x）＝|x＋1｜＋|2x＋a｜的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.5或8 B.－1或5C.－1或－4 D.－4或8解析分類討論：當(dāng)a≤2時(shí)，f(x）＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(－3x－1－a，x〈－1，，－x＋1－a，－1≤x≤－\f(a,2)，,3x＋1＋a，x〉－\f（a,2）,））顯然，x＝－eq\f(a，2）時(shí)，f（x）min＝eq\f（a，2)＋1－a＝3，∴a＝－4，當(dāng)a>2時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（－3x－1－a，x<－\f（a,2）,，x－1＋a，－\f（a,2）≤x≤－1，,3x＋1＋a,x>－1，））顯然x＝－eq\f(a,2）時(shí)，f(x)min＝－eq\f（a，2)－1＋a＝3，∴a＝8.答案D3。(2015·山東卷改編）不等式|x－1｜－｜x－5｜<2的解集為________。解析①當(dāng)x≤1時(shí),原不等式可化為1－x－(5－x）<2，∴－4〈2，不等式恒成立，∴x≤1.②當(dāng)1〈x<5時(shí)，原不等式可化為x－1－（5－x)〈2，∴x<4，∴1<x〈4，③當(dāng)x≥5時(shí),原不等式可化為x－1－(x－5)〈2,該不等式不成立。綜上，原不等式的解集為(－∞,4).答案（－∞,4）4。若不等式｜kx－4｜≤2的解集為{x|1≤x≤3｝，則實(shí)數(shù)k＝________。解析∵|kx－4｜≤2,∴－2≤kx－4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集為｛x|1≤x≤3｝,∴k＝2.答案25。（2017·杭州調(diào)研）設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a〉0。（1）當(dāng)a＝1時(shí),則不等式f(x）≥3x＋2的解集為________。(2）若不等式f(x)≤0的解集為{x｜x≤－1｝，則a的值為________.解析(1）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥3x＋2可化為|x－1｜≥2。由此可得x≥3或x≤－1。故當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f（x)≥3x＋2的解集為｛x|x≥3或x≤－1｝.(2）由f(x）≤0得｜x－a｜＋3x≤0。此不等式化為不等式組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x≥a，，x－a＋3x≤0))或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x<a，，a－x＋3x≤0,）)即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x≥a，，x≤\f(a,4）)）或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x<a，，x≤－\f(a,2）。)）因?yàn)閍>0，所以不等式組的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜x≤－\f（a，2）))。由題設(shè)可得－eq\f（a,2）＝－1，故a＝2.答案(1）{x|x≥3或x≤－1｝(2)26.若不等式|2x－1｜＋|x＋2｜≥a2＋eq\f(1,2)a＋2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________。解析設(shè)y＝｜2x－1｜＋｜x＋2|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x－1，x＜－2，,－x＋3，－2≤x<\f（1，2),，3x＋1，x≥\f(1，2)，))當(dāng)x＜－2時(shí)，y＝－3x－1＞5；當(dāng)－2≤x＜eq\f(1，2）時(shí),5≥y＝－x＋3＞eq\f（5，2）；當(dāng)x≥eq\f（1，2）時(shí),y＝3x＋1≥eq\f（5,2）,故函數(shù)y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為eq\f（5,2）.因?yàn)椴坏仁剑?x－1｜＋｜x＋2｜≥a2＋eq\f（1，2）a＋2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以eq\f（5,2)≥a2＋eq\f（1,2)a＋2。解不等式eq\f（5,2)≥a2＋eq\f(1,2)a＋2,得－1≤a≤eq\f（1，2)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,\f(1，2)))。答案eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－1,\f(1,2))）考點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的解法【例1】解不等式｜x－1|＋|x＋2｜≥5.解法一如圖，設(shè)數(shù)軸上與－2，1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，則不等式的解就是數(shù)軸上到A,B兩點(diǎn)的距離之和不小于5的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).顯然,區(qū)間[－2,1]不是不等式的解集.把A向左移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)A1,此時(shí)A1A＋A1B＝1＋4＝5.把點(diǎn)B向右移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)B1，此時(shí)B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集為(－∞，－3]∪［2，＋∞）.法二原不等式|x－1｜＋｜x＋2｜≥5?eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x≤－2,，－（x－1）－（x＋2）≥5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（－2＜x＜1，，－(x－1）＋x＋2≥5）)或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x≥1，,x－1＋x＋2≥5，)）解得x≥2或x≤－3，∴原不等式的解集為（－∞，－3］∪［2，＋∞）.法三將原不等式轉(zhuǎn)化為|x－1|＋｜x＋2|－5≥0。令f（x）＝｜x－1|＋｜x＋2|－5，則f（x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－6，x≤－2，，－2，－2＜x＜1，，2x－4，x≥1。)）作出函數(shù)的圖象，如圖所示。由圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞）時(shí),y≥0,∴原不等式的解集為（－∞，－3］∪[2，＋∞）。規(guī)律方法形如｜x－a|＋|x－b|≥c(或≤c）型的不等式主要有三種解法：(1）分段討論法，利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b],（b，＋∞）（此處設(shè)a＜b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集；（2）幾何法，利用｜x－a｜＋｜x－b｜＞c(c＞0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體；(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b｜和y2＝c的圖象,結(jié)合圖象求解.【訓(xùn)練1】(2016·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f（x）＝|x＋1｜－|2x－3｜.（1）在圖中畫出y＝f(x）的圖象；（2)求不等式｜f（x)｜>1的解集.解（1)f（x)＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－4，x≤－1,，3x－2，－1〈x≤\f(3,2),,－x＋4，x>\f（3，2），)）y＝f（x）的圖象如圖所示.(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象，當(dāng)f（x)＝1時(shí),可得x＝1或x＝3；當(dāng)f(x）＝－1時(shí)，可得x＝eq\f(1,3)或x＝5,故f(x）〉1的解集為{x|1<x〈3};f(x）〈－1的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜x〈\f(1,3)或x〉5)).所以｜f（x）|>1的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x｜x<\f（1，3)或））eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(1<x<3或x〉5)）.考點(diǎn)二含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題【例2】(1)對(duì)任意x，y∈R，求｜x－1|＋｜x｜＋|y－1|＋|y＋1｜的最小值。（2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y,若｜x－1｜≤1,|y－2|≤1，求|x－2y＋1｜的最大值.解（1)∵x,y∈R，∴|x－1｜＋｜x|≥｜(x－1)－x|＝1，∴|y－1|＋｜y＋1｜≥｜（y－1）－(y＋1)｜＝2，∴|x－1|＋｜x|＋｜y－1｜＋｜y＋1｜≥1＋2＝3.∴|x－1｜＋｜x|＋|y－1|＋｜y＋1|的最小值為3.(2)｜x－2y＋1|＝｜（x－1)－2（y－1）｜≤｜x－1|＋｜2(y－2)＋2|≤1＋2｜y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1｜的最大值為5。規(guī)律方法求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí),常用的方法有三種:(1）利用絕對(duì)值的幾何意義；（2)利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|＋|b｜≥|a±b｜≥｜a|－｜b｜；(3)利用零點(diǎn)分區(qū)間法.【訓(xùn)練2】(1）若關(guān)于x的不等式｜2014－x|＋｜2015－x｜≤d有解,求實(shí)數(shù)d的取值范圍.(2）不等式eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x）)）≥|a－2|＋siny對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，y均成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解（1)∵|2014－x|＋｜2015－x｜≥|2014－x－2015＋x|＝1，∴關(guān)于x的不等式｜2014－x|＋|2015－x｜≤d有解時(shí)，d≥1。（2)∵x＋eq\f（1,x)∈(－∞,－2］∪［2，＋∞），∴eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，x)））∈［2，＋∞)，其最小值為2.又∵siny的最大值為1，故不等式eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，x)))≥｜a－2|＋siny恒成立時(shí),有|a－2｜≤1，解得a∈[1，3］?？键c(diǎn)三含絕對(duì)值的不等式的應(yīng)用【例3】（2016·全國(guó)Ⅲ卷）已知函數(shù)f（x)＝|2x－a｜＋a.（1)當(dāng)a＝2時(shí),求不等式f（x）≤6的解集；（2)設(shè)函數(shù)g（x）＝｜2x－1｜。當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）＋g（x）≥3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解（1)當(dāng)a＝2時(shí)，f（x)＝|2x－2｜＋2。解不等式｜2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3。因此f（x）≤6的解集為｛x|－1≤x≤3｝.（2）當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g（x）＝｜2x－a|＋a＋｜1－2x｜≥｜2x－a＋1－2x|＋a＝｜1－a｜＋a，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g（x)≥3等價(jià)于|1－a｜＋a≥3.①當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1－a＋a≥3，無解.當(dāng)a>1時(shí)，①等價(jià)于a－1＋a≥3，解得a≥2。所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2，＋∞).規(guī)律方法（1)解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)來解決.(2）數(shù)形結(jié)合是解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問題的常用方法.【訓(xùn)練3】(2015·全國(guó)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0。(1）當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)〉1的解集；（2)若f(x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f（x)>1化為|x＋1｜－2|x－1|－1>0。當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為x－4>0,無解；當(dāng)－1<x<1時(shí)，不等式化為3x－2>0，解得eq\f(2,3）〈x〈1；當(dāng)x≥1時(shí)，不等式化為－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集為eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1（\f（2,3）<x<2))）).（2)由題設(shè)可得，f(x)＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x－1－2a，x〈－1，，3x＋1－2a，－1≤x≤a,，－x＋1＋2a，x〉a。))所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1，3）,0))，B（2a＋1，0），C（a，a＋1），△ABC的面積為eq\f（2,3)（a＋1