2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.不等式3——%-220的解集是（）

A.{x|-|<x<l]B.{x|-l<x<|}

C.[x\x<一|或%>1}D.{x\x<-1或%>|）

2.設(shè)Q=2。,7,匕=C）88,c=Zogo.72,則a，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

3.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（l+i）=l—i,則z的虛部等于（）

A.—iB.—1C.0D,1

4.Q,夕是兩個(gè)不同的平面，m,九是兩條不同的直線(xiàn)，則下列命題中正確的是（）

A.若m1n,m仁a,nca,則m1a

B.若a〃夕，ua,nuB，則TH〃九

C.若a1/?,nca,則九1/?

D.若m1a,nca,則?n1n

5.已知△ABC中，點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，AN=^AM,則麗=（）

A.亮荏+"前B-一,荏+卷市

C.--AB+-ACD-/荏+《近

44

6.已知向量方,匕滿(mǎn)足|a\=l,b=且五,b=If則己與日+b夾角的余弦值為（）

D.2

AqB?粵

7.如圖：已知正四面體ABCD中E在棱CD上，EC=2DE,

為△ABC的重心，則異面直線(xiàn)EG與所成角為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.平面四邊形P/8C中，^APC=^,AB=2,AC=2>/3,AC1AB,則而?近最小值

()

A.—2B.—1C.—2\/3D.—V3

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從其中抽10名同學(xué)進(jìn)行體有

健康測(cè)試，則應(yīng)抽取男生6人

B.某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，則正

面朝上的概率為0.6

C.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位數(shù)為2

D.某學(xué)員射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則命中環(huán)

數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為2

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.已知向量方=（3,4）,則與4垂直的單位向量為€，|）或（一右一|）

B.已知單位向量落3滿(mǎn)足|2-方|=1，則五在石方向上的投影向量為轉(zhuǎn)

C.已知i為虛數(shù)單位，若1-i是實(shí)系數(shù)一元二次方程/+Px+q=0的一個(gè)根，則

p-q=—4

D.己知aGR,i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=a2-1+（a+l）i為純虛數(shù)，則a=±1

11.已知函數(shù)/'（x）=sin2x—V^cos2x，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（京0）對(duì)稱(chēng)

B.若％則函數(shù)/（%）的最大值為通

C.若f（a）=1,則cos2（a+.）=：

D.若/（*1）-/（x2）=4,X]丁％2，則|X[_%2I的最小值為兀

12.如圖，四棱錐S-4BCD的底面為菱形，AB=SD=3,

^DAB=60°,SD_L底面4BC0,P是SC上任意一點(diǎn)（不

含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若S4〃平面PBD,則SA〃PO

B.B到平面$4C的距離為這

5

第2頁(yè)，共19頁(yè)

C.當(dāng)尸為SC中點(diǎn)時(shí)，過(guò)P、4、8的截面為直角梯形

D.當(dāng)P為SC中點(diǎn)0寸，DP+PB有最小值

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知而=(4,-4),FC=(-3,2),AD=若從C、D三點(diǎn)共線(xiàn),則m=.

14.某同學(xué)從籃球、足球、羽毛球、乒乓球四個(gè)球類(lèi)項(xiàng)目中任選兩項(xiàng)報(bào)名參加比賽，則

籃球被選中的概率為.

15.已知S為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面圓心，SO=2g,若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則

圓錐的體積為.

16.某校高一級(jí)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)客活動(dòng)，利用30打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方

體4BCD-挖去正四棱臺(tái)4BCD-EFGH后所得的幾何體，其中=

2EF=2BF,AB=BC=6cm,441=4cm,為增強(qiáng)其觀(guān)賞性和耐用性，現(xiàn)對(duì)該模

型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬2mg,不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)

量為mg.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在①bsinA=y/3acosB>②(a-c^sinC=(a-b^sinA+sinB),③2S^ABC

四耐?配這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.

在A(yíng)ABC中，已知內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.且.

(1)求角B的大小；

(2)若b=g，△4BC的面積為多求△ABC周長(zhǎng).

18.為慶祝“五四”青年節(jié)，廣州市有關(guān)單位舉行了“五四”青年節(jié)團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),

為了解全市參賽者成績(jī)的情況，從所有參賽者中隨機(jī)抽樣抽取100名，將其成績(jī)整

理后分為6組，畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，但是第一、二兩組數(shù)據(jù)丟失，只知

道第二組的頻率是第一組的2倍.

(2)現(xiàn)劃定成績(jī)大于或等于上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)為“良好”以上等級(jí)，根據(jù)

直方圖，估計(jì)全市“良好”以上等級(jí)的成績(jī)范圍(保留1位小數(shù))；

(3)現(xiàn)知道直方圖中成績(jī)?cè)冢?30,140)內(nèi)的平均數(shù)為136,方差為8,在［140,150］內(nèi)的

平均數(shù)為144,方差為4,求成績(jī)?cè)冢?30,150］內(nèi)的平均數(shù)和方差.

19.如圖，在正三棱柱ABC—4B1G中，已知=44］=3,且。為&G的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面BiCD；

(2)求與平面8CC1B1所成角的余弦值.

20.2021年12月8日召開(kāi)的中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議，總結(jié)了2021年經(jīng)濟(jì)工作，分析了當(dāng)前經(jīng)

濟(jì)形勢(shì)，并對(duì)2022年經(jīng)濟(jì)工作做出部署，其中強(qiáng)調(diào)加大對(duì)科技創(chuàng)新等領(lǐng)域的支

持.現(xiàn)國(guó)家支持甲、乙、丙三家公司同時(shí)對(duì)某一科技產(chǎn)品進(jìn)行攻堅(jiān)研發(fā)，已知每一

第4頁(yè)，共19頁(yè)

輪研發(fā)中滿(mǎn)足：甲公司研發(fā)成功的概率為|,甲、乙兩公可都研發(fā)成功的概率為|,

乙、丙兩家公司都研發(fā)不成功的概率為以各公司是否研發(fā)成功互不影響.

(1)求乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率;

(2)若至少有一家公司研發(fā)成功，則稱(chēng)作實(shí)現(xiàn)了“取得重大突破”的目標(biāo)，如果沒(méi)

有實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，則三家公司都進(jìn)行第二輪研發(fā)，求不超過(guò)兩輪研發(fā)就能實(shí)現(xiàn)“取得重

大突破”目標(biāo)的概率.

21.如圖，在平面四邊形4BC。中，^BCD=^,AB=1./.ABC=y

(1)若BC=2,C。=V7,求△4CD的面積;

(2)若44。。=*AD=2,求cosZTlCD.

22.如圖，四棱錐「一48。0中，側(cè)面出0為等邊三角形且垂直于底面486,48=BC=

^AD=2,Z.BAD=^ABC=90°,。是4。的中點(diǎn).

(1)求證：平面PACJ■平面POB；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，滿(mǎn)足PM="C(0<A>1),且三棱錐P-ABM的體積為多求

4的值及二面角M-AB-D的正切值.

D

C

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:根據(jù)題意，3/一%-2/0即(3%+2)(%-1)工0,

解可得：心1或空一|,即不等式的解集為{x|xW—|或xNl},

故選：C.

根據(jù)題意，由一元二次不等式的解法分析的答案.

本題考查一元二次不等式的解法，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：b=(1)0-8=2-°-8,

因?yàn)楹瘮?shù)y=2方在(—8,+8)上單調(diào)遞增，且—0.8<0.7,

所以0<2-08<1<207,即b<a,

因?yàn)楹瘮?shù)y=logo.7%在(。,+8)上單調(diào)遞減，

所以C=logo<0>

所以c<b<a,

故選：D.

利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.

本題考查指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題.

推導(dǎo)出Z=l+l(l+l)(l-l、)=一3由此能求出Z的虛部.

【解答】

解：???復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足z(l+i)=l-i,

_1-i(1-i)2

"z=IT7=(i+i)(i-0

=IM=

1-i2

第6頁(yè)，共19頁(yè)

??Z的虛部為一1.

故選：B.

4.【答案】D

【解析】解：逐一考查所給的命題：

A.若m1n,a,nua,則m_La或?n與a斜交或m與a平行，該命題錯(cuò)誤；

B.若a]/B，mua,nu0,則m〃n或?n與n異面，該命題錯(cuò)誤；

C.若aJ.0,nua,則n_LA或n與/?斜交或n與0平行，該命題錯(cuò)誤；

。.若mJ.a,nua,由線(xiàn)面垂直的定義可知m-Ln,該命題正確；

故選：D.

由題意結(jié)合線(xiàn)面關(guān)系逐一考查所給的命題是否正確即可.

本題主要考查空間中的線(xiàn)面關(guān)系，空間中的面面關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由于A(yíng)4BC中，點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，

所以宿=之荏+[而，

由于麗=乙祠，

4

所以而=二四+工而，

88

整理得前一明=-AB+-AC,

88

故麗=-2荏+三方乙

88

故選：A.

首先利用中線(xiàn)向量求出箱=3萬(wàn)+3而，再利用共線(xiàn)向量的線(xiàn)性運(yùn)算求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線(xiàn)性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬

于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榱?（1,遮），

所以I另I=J12+（8）2=2'

所以?五+&i=+石）2=J五2

4-b4-2ah=y/124-224-2x1=V7,

10+方）_片+而_產(chǎn)+i_2V7

cos<a,a+b>=

\a\\a+b\~\a\[a+b\~lxb一—

故選：B.

根據(jù)題意可得I外|日+辦則COS＜五，五+石＞=器魯=盤(pán)善即可得出答案.

本題考查向量的數(shù)量積，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：取48中點(diǎn)P,連接FC,FD,如圖所示:

???G為ZMBC的重心，F(xiàn)為4B中點(diǎn)，

CG=2GF,

又EC=2DE,

.?.在△CDF中，EG//DF,

則異面直線(xiàn)EG與8。所成角為/DBF或其補(bǔ)角，

由題可知，△4BD為正三角形，

乙DBF=30°,

???異面直線(xiàn)EG與BD所成角為30。.

故選：A.

由三角形重心特點(diǎn)可知，取4B中點(diǎn)F,則CG=2GF,則可以找到直線(xiàn)EG的平行線(xiàn)，按

照異面直線(xiàn)所成角定義求解即可.

本題考查異面直線(xiàn)所成的角，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則C(0,2圾，6(2,0),

平面四邊形ABCD中，4B=2，AC=2y[3,AC1AB,

^APC=

3

第8頁(yè)，共19頁(yè)

則點(diǎn)P在以BC為直徑的圓劣弧4c上，

因?yàn)锽C的中點(diǎn)為0(1,遍)，BC=J22+(2V3)2=4>

所以圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-I)2+(y-V3)2=4,

設(shè)PQy),其中xe[T,0],

則而=(x,y)，AB=(2,0)，

所以荏.荏=(%,y)?(2,0)=2xC[-2,0],

所以而?荏的最小值為-2,

故選：4.

建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形可得點(diǎn)P在以BC為直徑的圓劣弧4c上，設(shè)P(x,y),其

中％C[-1,0],AP-AB=(x,y).(2,0)=2x，即可得出答案.

本題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,由分層抽樣方法可得：應(yīng)抽取男生jJxlO=6人，A正確；

對(duì)于B,概率是定值，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，概率為0.5,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位數(shù)等=4.5,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

其平均數(shù)1=2(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,方差S?=4,則其標(biāo)準(zhǔn)

差S=2,D正確；

故選：AD.

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案.

本題考查命題真假的判斷，涉及分層抽樣、概率、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：4選項(xiàng)，因?yàn)?3,4)?感|)力0,(3,4)-(-[一|)H0,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選

項(xiàng)，|五一3|=1,兩邊平方得看一2五不+二=1，所以三不=土所以2在石方向上的

投影向量為萼?弓=；及B選項(xiàng)正確；

網(wǎng)網(wǎng)2

C選項(xiàng)，l—i是實(shí)系數(shù)一元二次方程/+0％+9=0的一個(gè)根，貝ijl+i是實(shí)系數(shù)一元二

次方程％2+px+q=0的另一個(gè)根，

所以91T.m,2=—P,則pq=-4,C選項(xiàng)正確;

。選項(xiàng)，復(fù)數(shù)2=。2-1+(￡1+1"為純虛數(shù)，所以解得。=1，。選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

故選：BC.

結(jié)合向量垂直、投影向量、一元二次方程的根、純虛數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確

定正確選項(xiàng).

本題考查了向量的垂直、投影向量、韋達(dá)定理、純虛數(shù)等相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：/(x)=sin2x—'/3cos2x—2sin(2x—

???4)=2s譏(2x合金=0,

???函數(shù)/O)的圖象關(guān)于點(diǎn)(也0)對(duì)稱(chēng)，故A正確，

*G覃J

???0冷)6生分

???sin(2x—g)6[y,1]?

.%/(%)e[V3,2],故8錯(cuò)誤，

/(a)=2sin(2a-J)=2sin[(2a+￡)-勺=1,則cos(2a+2)=-3

36262

：?cos(2a+》=2cos2(a+勺-1,cos2(a4-^)=故C正確,

若f(%i)?f(*2)=4,%i

則與，X2同為最大值點(diǎn)或同為最小值點(diǎn)，

二出一切的最小值為f(x)的最小正周期7=半=兀，故。正確.

故選：ACD.

將f(x)化簡(jiǎn)，對(duì)于4結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即可求解，

對(duì)于B,結(jié)合x(chóng)的取值范圍，以及正弦函數(shù)的圖象，即可求解，

對(duì)于C,結(jié)合二倍角公式，即可求解，

對(duì)于。，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性，即可求解.

第10頁(yè)，共19頁(yè)

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：?；SA〃平面PBD,S4u平面S4C,平面PBDC平面SAC=P0,

.-.SA//PO,故A正確；

設(shè)B到平面S4C的距離為八，則有$4=SC=3V2，AC=3g，

VB-SAC=YS-ABC.??i/ixix3V3x—=-x3xix3x3x—,解得八=越.故B正

3223225

確；

當(dāng)P為SC中點(diǎn)時(shí)，如圖，取S。的中點(diǎn)M,連接PM,AM,MB,

則PM〃C。，PM=^CD,

■：AB//CD,則PM〃曲

.?.過(guò)P、4、B的截面為ABPM,則PB=3,BM=—,PM=：,

22

BM2=PM2+PB2,則PMIPS,即ABPM為直角梯形，故C正確;

借助于側(cè)面展開(kāi)圖，如圖，連接交SC于P,此時(shí)OP+PB為最小值,

若P為SC中點(diǎn)時(shí)，???$￡>=CD,則DP_LSC,??.BC=SB,這與題意相矛盾，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

對(duì)于4：根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理證明判斷；對(duì)于B,利用等體積法求。到平面S4C的距

離，對(duì)于C,根據(jù)三角形中位線(xiàn)先證PM〃718,則過(guò)P,A,B的截面Z8PM,再利用長(zhǎng)

度結(jié)合勾股定理可證PM1PB；對(duì)于D,借助于側(cè)面展形圖分析判斷即可.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，求點(diǎn)面的距離，判斷線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)平行，屬中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：根據(jù)題意，荏=(4,-4),配=(-3,2),同=(-l,m)，

則前=南+阮=(1,-2)，

若A、C＞。三點(diǎn)共線(xiàn)，則前〃而，則有1xm=(―1)x(—2)=2,即m=2；

故答案為：2.

根據(jù)題意，求出刀的坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線(xiàn)可得萬(wàn)〃而，進(jìn)而可得關(guān)于m的方程，解可得

答案.

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，涉及三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：某同學(xué)從籃球、足球、羽毛球、乒乓球四個(gè)球類(lèi)項(xiàng)目中任選兩項(xiàng)報(bào)名參加

比賽，

基本事件總數(shù)n=C4=6,

籃球被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)m=盤(pán)廢=3.

則籃球被選中的概率為P=-=;=J.

n62

故答案為：

基本事件總數(shù)n=底=6,籃球被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)m=儲(chǔ)禺=3,由此能求出

籃球被選中的概率.

本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】運(yùn)n

3

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線(xiàn)為，，依題意27n'=加，即，=2r,

又SO=V/2-r2=25：?r=2,

二圓錐的體積為V=-nr2h=-nx22x2遮=見(jiàn)^兀.

333

故答案為：隨兀.

3

設(shè)圓錐的鍍面半徑為r,母線(xiàn)為I,根據(jù)底面團(tuán)長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)相等得到/=2r,

第12頁(yè)，共19頁(yè)

再由勾股定理求出r,由此能求出圓錐的體積.

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】282+54V3

【解析】解：???AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AAr=4cm,

二幾何體的四個(gè)側(cè)面與底面積的和為4x6x4+6x6=132cm2,

四邊形EFGH的面積為3x3=9cm2,梯形4BFE的高為JBF2--EF)2=竽

則正四棱臺(tái)的側(cè)面積為4x*3+6)x卓=27gcni2.

??.模型的表面積S=132+9+27V3=(141+27b)cm?.

二所需金屬膜的質(zhì)量為2X(141+27V3)=282+54遍(mg).

故答案為：282+54k.

由已知求得模型的表面積，乘以每平方厘米需要金屬的質(zhì)量得答案.

本題考查多面體表面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)若選①：bsinA=V5acosB，由正弦定理可得sinBsim4=\/3sinAcosB>

因?yàn)閟inA*0,

所以sinB=WcosB,即tcmB=V3>

又0<B<兀，B=p

若選②：在△力BC中(a—c)sinC=(a—b)(si?L4+sinB),可得(a—c)sinC=(a—

b)(sinA+sinB),

由正弦定理得(a—c)c=(a—b)(a+b),整理得立匕士=三，cosB=

2ac22

又0<B<71,：?B=*

若選③：2S^ABC=y/3~BABC^

所以2x-acsinB=V3accosB,

所以sinB=V^cosB,

即=遍,

又0<BVTT,8=E；

(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為逅，所以工acsin囚=3，解得ac=2,

2232

在小ABC中，因?yàn)閎=V3,由余弦定理有=a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac=3,

所以a+c=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，

所以△ABC周長(zhǎng)的3+%.

【解析】(1)若選①：bsinA=y/3acosB>由正弦定理可得sinBsinA=V^sinAcosB,求

解可得B,若選②，由已知可得可得(a-c)c=(a-b)(a+b),可求cosB的值，可求8：

若選③：2S^ABC=V3BA-BC，結(jié)合三角形面積公式及向量數(shù)量積定義可求tcmB,進(jìn)

而可求8；

(2)由△48C的面積為弓，可得ac=2,再利作余弦定理可得a+c,可求周長(zhǎng).

本題考查正余弦定理，和差角公式以及三角恒等變換，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)第一組的頻率為工，則第二組的頻率為2%,

則有x+2x+0.034x10+0.03x10+0.018x10+0.006x10=1,

解可得％=0.04,

則第一組的頻率為0.04,則第二組的頻率為0.08,

(2)根據(jù)題意,0.04+0.08+0.34+0.3=0,76>0.75,

設(shè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為X,則有0.03x(%-120)=0.29,

解可得：xx129.7,

故全市“良好”以上等級(jí)的成績(jī)范圍為［129.7,150］；

(3)根據(jù)題意，成績(jī)?cè)诳?0,140)內(nèi)人數(shù)為100x0.18=18,在［140,150］內(nèi)人數(shù)為100x

0.06=6,

又由成績(jī)?cè)冢?30,140)內(nèi)的平均數(shù)為136,方差為8,

在［140,150］內(nèi)的平均數(shù)為144,方差為4,

則成績(jī)?cè)冢?30,150］內(nèi)的平均數(shù)1=136+舟x144=138,

其方差S2=-g-x［8+(136-138)2］+盛X［4+(144-138)2］=19,

故成績(jī)?cè)冢?30,150］內(nèi)的平均數(shù)為138,方差為19.

【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)第一組的頻率為X,則第二組的頻率為2x,分析可得關(guān)于X的

方程，解可得答案；

(2)設(shè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為％,分析第75百分位數(shù)所在的組，可得0.03X(x-120)=

0.29,解可得x的值，分析可得答案；

(3)根據(jù)題意，由平均數(shù)、方差的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

第14頁(yè)，共19頁(yè)

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及平均數(shù)、方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】(1)證明：連接BG，設(shè)BGn&C=E,連接DE,

在正三棱柱ABC-4aCi中，四邊形BCGB]為矩形，則E為BQ的中點(diǎn),

又D為4C1的中點(diǎn)，所以DE〃&B,平面&CD,DEu平面&CD,

所以〃平面&CD.

(2)解:取々Ci的中點(diǎn)F,連接4/、8F,在正三棱柱ABC-4當(dāng)^中，_L平面公當(dāng)口，

&Fu平面&B1G，

所以BBi14/,又△4避1(?1為等邊三角形,所以C/i14/,=%BB1u

平面BCG/,G/u平面BCG/,所以4/_L平面BCGBi，

所以N&BF為直線(xiàn)與平面BCGBi所成角，

因?yàn)锳B=441=3,所以BF=JBB/+FB/=.+(|尸=苧,

ArB=yjBB：+A?=3V2>

所以cosjBF=/=￥=叵

1

ArB3\[24

所以直線(xiàn)與平面BCGBi所成角的余弦值為唱.

【解析】(1)連接BC「設(shè)BCiDBiC=E,連接DE,即可得到。E〃&B,從而得證；

(2)取為G的中點(diǎn)F,連接治尸、BF,即可證明4/1平面BCG/,則為直線(xiàn)4$

與平面BCCiBi所成角，再由勾股定理求出BF、A.B,再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得為B與

平面BCGB1所成角的余弦值.

本題主要考查線(xiàn)面平行的證明，線(xiàn)面角的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等

題.

20.【答案】解：(1)設(shè)甲、乙、丙公司研發(fā)成功分別為事件4,B,C,

則PG4)=*PQ4B)=|,P(SC)=1,

由于各公司是否研發(fā)成功互不影響，事件4,B,C相互獨(dú)立,

P(AB)=P(4)P(B)=J,P(BC)=P(B)P(C)=[1-P(B)][1-P(C)]=

55

.?.P(B)=|,P(C)=i,

故乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率分別為I，

(2)設(shè)一輪研發(fā)“取得重大突破”的目標(biāo)為事件M,

P(M)=1-P(ABQ=l-jx|xi=p

設(shè)實(shí)現(xiàn)“取得重大突破”目標(biāo)為事件N,

41424-

P(N)=P(M)+P(M)P(M)=

所以實(shí)現(xiàn)“取得重大突破”目標(biāo)的概率為：||.

【解析】(1)利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算即可；

(2)利用對(duì)立事件的定義計(jì)算一輪研發(fā)“取得重大突破”的事件概率，再結(jié)合互斥事件

與相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式

的靈活運(yùn)用.

21.【答案】解：（1）因?yàn)锳B=1,AABC=^-,BC=2,

由余弦定理得4c2=AB2+BC2-2AB-AC-cos^=7,即AC=b,

由余弦定理得COSNACB="巴Be?”?=迎,

2XACXBC14

所以sin/ACD=sin?-UCB)=cos/.ACB=笠,

所以△ACC的面積S=-xACxCDxsin^ACD=—.

24

(2)在△ADC中，由正弦定理得一T^=T啟，即高左=半①，

'7s\nZ-ACDs】n乙4DCsinc/i"-

在△ABC中，由正弦定理得/爆=/條，即碇匕歷=土石=登②，

①②聯(lián)立可得tan/ACD=皿吆=也，

CQSLACD3

因?yàn)椤癈DG(0譚),所以cos乙4CD=叵.

27

【解析】⑴根據(jù)所給條件，可得AC的值，由余弦定理，可得C0S/4CB,進(jìn)而可得sinNACD

的值，代入面積公式，即可得答案.

第16頁(yè)，共19頁(yè)

2AC1AC

(2)在△4DC中，根據(jù)正弦定理，可得sin^c。=丁，在△ABC中，可得嬴/元=逅,兩

22

式聯(lián)立，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得答案.

本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中等題.

22.【答案】解：(1)證明：連接。C,

因?yàn)榈酌?BC。中，AB=BC=^AD=2,

/.BAD=Z.ABC=90°,

所以四邊形四邊形40CB為正方形，得AC_L

OB,

ti

因?yàn)閭?cè)面PAC為等邊三角形，。是力。的中點(diǎn)，

所以P。1.AD,

因?yàn)?/p>