高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第13講:函數零點個數問題的求解方法【知識要點】一、方程的根與函數的零點(1)定義：對于函數y=f(x)(xeD),把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(xeD)的零點.函數的零點不是一個點的坐標，而是一個數，類似的有截距和極值點等函數零點的意義：函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根，亦即函數y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，即：方程f(x)=0有實數根o函數y=f(x)的圖像與x軸有交點O函數y=f(x)有零^占八、、?零點存在性定理：如果函數y=f(x)在區間［a,b］上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且有f(a)-f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點，即存在ce(a,b)使得f(c)=0，這個c也就是方程的根.函數y=f(x)在區間［a,b］上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且有f(a)-f(b)<0是函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點的一個充分不必要條件.零點存在性定理只能判斷是否存在零點，但是零點的個數則不能通過零點存在性定理確定，一般通過數形結合解決.二、二分法二分法及步驟對于在區間［a,b］上連續不斷，且滿足f(a)-f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到函數零點近似值的方法叫做二分法給定精確度*，用二分法求函數的零點近似值的步驟如下：第一步：確定區間［a,b］，驗證f(a)-f(b)<0，給定精確度*.第二步：求區間(a,b)的中點x.i第三步：計算f(x):①若f(x)=0，則x就是函數的零點；②若f(a)?f(x)<0，貝卩令b=x(此iiiii時零點xe(a,x))③若f(x)?f(b)<0，則令a=x(此時零點xe(x,b))0iii0i第四步：判斷是否達到精確度*即若|a-b宀，則得到零點值a或b，否則重復第二至第四步.三、一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a豐0)的根的分布討論一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a豐0)的根的分布一般從以下個方面考慮列不等式組：b、、(1)a的符號；(2)對稱軸x—_的位置；(3)判別式的符號；(4)根分布的區間端點的函2a數值的符號.四、精確度為0.1指的是零點所在區間的長度小于0.1，其中的任意一個值都可以取；精確到0.1指的是零點保留小數點后一位數字，要看小數點后兩位，四舍五入五、方法總結函數零點問題的處理常用的方法有：(1)方程法；(2)圖像法；(3)方程+圖像法.【方法點評】方法一方程法使用情景方程可以直接解出來.解題步驟先解方程，再求解.【例1】已知函數f(x)=3x2+2(l-a)x-a(a+2)區間(—1,1)內有零點，求實數a的取值范圍./j十2【解析】令丁｛?0=0得8+盤+2)(兀一＜0=0所臥西=；花口十2所以產丈1或-1解之得3所以實數o的取值范圍為【點評】(1)本題如果用其它方法比較復雜，用這種方法就比較簡潔關鍵是能發現方程能直接解出來.(2)對于含有參數的函數要嘗試因式分解，如果不好因式分解，再考慮其它方法【反饋檢測1】函數f(x)—(x—1)cosx2在區間［0,4］上的零點個數是()A?4B?5C?6D.7方法二圖像法使用情景一些簡單的初等函數或單調性容易求出，比較容易畫出函數的圖像解題步驟先求函數的單調性，再畫圖分析.學科@網【例2】(2017全國高考新課標I理科數學)已知函數f(x)二ae2x+(a-20-x.討論f(x)的單調性；若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.【解析】〔1〕了3定義域為/r(x)=2^^-1=-1X2^K十1).若0:則f\x)<0,所以.在g+oo)上單調遞減.若口a0』則由f\x)=Q得疋=一1口應.當-]nf?)時，廣3e當JtE(—1H屯十30)時，/U)>0所以『㈤在〔―忑―曲6上單調遞減,在(-In%+00)上單調遞増一(2)①若a<0,由(1)知f(x)至多有一個零點.1②若a〉0，由(1)知當x=-lna時，f(x)取得最小值，f(-lna)=1-+lna.a當a=1時，f(-lna)=0，故f(x)只有一個零點.1當ae(1,+w)時，由于1-+lna>0，即f(-lna)>0，故f(x)沒有零點.a1當ae(0,1)寸，1—+lna<0，即f(—lna)<0.af(-2)=ae-4+(a—2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(s,-lna)只有一個零點.3設正整數n滿足n>ln(—-1),則f(n)=e?0(ae?0+a-2)-n>e”0-n>2”0-n>000a00003由于ln(—-1)>-lna,因此/(x)在(-lna,+s)有一個零點.a綜上所述，a的取值范圍為(0,1).【點評】(1)本題第2問根據函數的零點個數求參數的范圍，用的就是圖像法.由于第1問已經求出了函數的單調性，所以第2問可以直接利用第1問的單調性作圖分析.⑵當ae(0,1)時，要先判斷(-^,lna)的零點的個數，此時考查了函數的零點定理，f(-lna)<0，還必須在該區間找一個函數值為正的值，它就是f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,要說明f(-2)>0，這里利用了放縮法，丟掉了ae-4+ae-2.(3)當ae(0,1)時，要判斷(-lna,+Q上的零點個數，也是在考查函數的零點定理，還要在該

3區間找一個函數值為正的值，它就是n>In(—-1)，再放縮證明f(n0)>o.(4)由此題可以看出零點定0a0理在高考中的重要性.【例3】已知x=3是函數f(x)=aln(1+x)+x2—10x的一個極值點.(I)求a；(II)求函數f(x)的單調區間；(III)若直線y=b與函數y二f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍.【解析】(I)因仍3=總_*1(｝所以/^)=￡_6-10=0因此盤=16(II)由(I)知,/(jt)=161n(l401)「2/w=-工*「2/w=-L-x當丘(―U)U伐伽)時,/(X)>O5當施(1⑶時‘C工)e所次丁(對的單調増區間是(一1j)=g柚)，丁(對的單調減區間是(1=芻).(III)由(II)知，f(x)在(—1,1)內單調增加，在(1,3)內單調減少，在(3,+8)上單調增加，且當x=1或x=3時，f'(x)=0所以f(x)的極大值為f(1)=16ln2—9，極小值為f(3)=32ln2—21因此f(16)=162—10x16>16ln2—9=f(1)f(e-2—1)<—32+11=—21<f(3)所以在f(x)的三個單調區間(—1,1),(1,3),(3,+8)直線y=b有y=f(x)的圖象各有一個交點，當且僅當f(3)<b<f(1)，因此，b的取值范圍為(32ln2—21,16ln2—9)【點評】本題第(3)問，由于函數f(x)中沒有參數，所以可以直接畫圖數形結合分析解答.ex【反饋檢測2】已知函數f(x)=，其中a為實數，常數e=2.718….1+ax2(1)若x=3是函數f(x)的一個極值點，求a的值；⑵當a=—4時，求函數f(x)的單調區間；(3)(3)當a取正實數時，若存在實數m，使得關于x的方程f(x)=m有三個實數根，求a的取值范圍.方法三方程+圖像法使用情景函數比較復雜，不容易求函數的單調性.解題步驟先令f(x)=0，重新構造方程g(x)=h(x)，再畫函數y=g(x),y=h(x)的圖像分析解答.【例4】函數f(x)=lgx—cosx的零點有()A.4個B.3個C.2個D.1個【解析】由丁國=1滬-3空玄=匕可化為1腫=4兀畫出沮二1呂工和尸CO5無的圖像'可得出兩個函數有3個交點，所以選項B正確所以S.【點評】(1)本題主要考察零點的個數，但是方程f(x)=lgx-cosx=0也不好解，直接研究函數的單調性不是很方便，所以先令f(x)=lgx—cosx=0，可化為lgx=cosx，再在同一直角坐標系下畫出y=lgx和y=cosx的圖像分析解答.(2)方程+圖像是零點問題中最難的一種，大家注意理解掌握和靈活應用.1【反饋檢測3】設函數f(x)=—x2一mlnx,g(x)=x2—(m+1)x,m>0.2<求函數f(x)的單調區間；當m>1時，討論函數f(x)與g(x)圖象的交點個數.高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第13講：

函數零點個數問題的求解方法參考答案【反饋檢測1答案】c【反憒檢測1詳細解析】令可得無二1或cosjT=0H或宀昭2]CEZ■.■xe[0:4]/HiJ^e[0:16],/.k可取的值有0丄吊片???方程共有6個解,???國數収-哄在區間應4］上的零點個數為自個，故選U.【反饋檢測2答案】(1)a=5；(2)f(x)的單調增區間是(1—蘭5,丄)，(丄,1+邁)5^2^2^22<f(xf(x)的單調減區間是(—8,—二)，(一2，i—,(1+―,+8)；(3)a的取值范圍是(1,+8)2<(1+ax2)2【反饋檢測2詳細解析】(1)f'(x)=(ax2(1+ax2)211因為x=3是函數f(x)的一個極值點，所以f'(3)=0TOC\o"1-5"\h\z129即a—a+1=0,a=935995915而當a=_時，ax2—2ax+1=_(x2—2x+—)=(x—)(x—)，559533\o"CurrentDocument"19可驗證：x=3是函數f(x)的一個極值點.因此a=5(2)當a=-4時，f'(x)二(—4x2+8x+1)e(2)當a=-4時，f'(x)二令f'(x)=0得—4x2+8x+1=0，解得x=1±乞5，而x工土丄22x(1)x(1)(-8，-2)(-撲芻(51——2辰1(1-』,丄)22(11^'5)(1+T)1+昱2(1+齊)f'(x)——0++0—f(x)極小值//極大值所以當X變化時，f(x)、f(x)的變化是因此f(x)的單調增區間是(1—^^,*)，(￡,1+^^)；f(x)的單調減區間是(—8,—2)，(—22)'⑶當盤⑶當盤取正實數時』(1令=0得妙^込—占，當應:>1當應:>1時』解■得如=aAx)在(-叫勺)和(抵+呵上單調遞增，在g宀)上單調遞減；但是團數值恒天于零；扱大值心,極小值fd并且根據指數國數和二次函數的變化速度可知當―世時，畑二哉嚴“斗.*用X超我因此當gwg咋刑最夢有一個實數根，結論關于戈的方程心=聊刑最夢有一個實數根，結論不成立?因此所求q的取值范圍是【反饋檢測3答案】(1)單調遞增區間是(m,不成立?因此所求q的取值范圍是【反饋檢測3答案】(1)單調遞增區間是(m,+8)單調遞減區間是^0^m)；(2)1.學科@網(x+Jm)(x一、m)【反饋檢測3詳細解析】(1)函數f(x丿的定義域為(0,+8),f'(x)=—當0<x<、：m時，f'(x)<0，函數f(x)單調遞減,當x>、；'m時，f'(x)>0函數f(x)單調遞增，綜上，函數f(x)的單調遞增區間是(m,+s綜上，函數f(x)的單調遞增區間是⑵令F(x)=f(x)—