1材料力學2023年2月13日第四章彎曲內力（1）2§4.1彎曲的概念和實例工程問題中，有很多桿件是受彎曲的。F1F23

彎曲變形F1F2載荷垂直于桿的軸線，以彎曲變形為主的桿件軸線由直線曲線稱為梁。

對稱彎曲若梁(1)具有縱向對稱 面;(2)所有外力都作 用在縱向對稱則軸線變形后也是該對稱面內的曲線。面內。4§4.2受彎桿件的簡化1支座的幾種基本形式

固定鉸支座51支座的幾種基本形式

固定鉸支座

可動鉸支座

向心軸承6

向心軸承

向心止推軸承7

固定端約束FAxFAy2載荷的簡化

集中力

集中力偶

分布載荷3靜定梁的基本形式主要研究等直梁。83靜定梁的基本形式主要研究等直梁。

簡支梁

外伸梁

懸臂梁9§4.3剪力和彎矩下面求解梁彎曲時的內力。

例子已知：q

=20kN/m,尺寸如圖。求：D截面處的內力。x求內力的方法——截面法。解：建立x坐標如圖。(1)求支座反力RARAxRC取整體，受力如圖。10(1)求支座反力取整體，受力如圖。xRARCRAx(2)求D截面內力從D處截開，取左段。xRAQD橫截面上的內力如圖。RAxNMD11(2)求D截面內力從D處截開，取左段。橫截面上的內力如圖。xRAQDMDNRAx規律Q=截面一側所有橫向外力代數和M=截面一側所有外力對截面形心力矩的代數和12xRARCRAx若從D處截開，取右段。橫截面上的內力如圖。xRAQDMDNRAxRCQDMD計算可得QD,MD的數值與取左段所得結果相同。但從圖上看，它們的方向相反。剪力和彎矩的正負號規則如何？13

剪力和彎矩的正負號規定QQ

剪力使其作用的一段梁產生順時針轉動的剪力為正。

彎矩使梁產生上凹(下凸)變形的彎矩為正。14§4.4剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖

剪力方程xRARAxRC

彎矩方程

上例中

剪力圖和彎矩圖15例2(書例4.2)

已知：簡支梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。(1)求支反力需分段求解。(2)求剪力方程和彎矩方程分為兩段：AC和CB段。

AC段取x截面，左段受力如圖。16需分段求解。(2)求剪力方程和彎矩方程分為兩段：AC和CB段。

AC段取x截面，左段受力如圖。QM由平衡方程，可得:

CB段x取x截面，17由平衡方程，可得:

CB段x取x截面，xQM左段受力如圖。(3)畫剪力圖和彎矩圖18(3)畫剪力圖和 彎矩圖19例3(書例4.3)

已知：懸臂梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。(1)求支反力為使計算簡單，(2)求剪力方程和彎矩方程取x截面，右段受力如圖。20為使計算簡單，(2)求剪力方程和 彎矩方程取x截面，右段受力如圖。QM由平衡方程，可得:21(3)畫剪力圖和 彎矩圖22

作剪力圖和彎矩圖的步驟(1)求支座反力；(2)建立坐標系(一般以梁的左端點為原點)；(3)分段

在載荷變化處分段；(4)列出每一段的剪力方程和彎矩方程；(5)根據剪力方程和彎矩方程畫出剪力圖和 彎矩圖。23例4已知：外伸梁如圖。解：求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖.(1)求支反力24(1)求支反力需分段求解。(2)求剪力方程和彎矩方程分為3段：CA,AD和DB段。

CA段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:x25

CA段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:x

AD段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:26x

AD段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:

DB段取x截面，右段受力如圖。27x

DB段取x截面，右段受力如圖。(3)畫剪力圖和彎矩圖28(3)畫剪力圖和彎矩圖29§4.5載荷集度、剪力和彎矩間的關系對圖示的直梁,考察dx

微段的受力與平衡。30考察dx微段的受力與平衡C31C略去高階微量還可有：32

q(x)、Q(x)和M(x)間的微分關系上次例3(書例4.3)

由微分關系可得以下 結論33

由微分關系可得以下結論(1)若q(x)=0上次例2(書例4.2)Q(x)=常數，剪力圖為水平線；M(x)

為一次函數，彎矩圖為斜直線。(2)若q(x)=常數Q(x)為一次函數，剪力圖為斜直線；M(x)

為二次函數，彎矩圖為拋物線。34上次例3(書例4.3)(2)若q(x)=常數Q(x)為一次函數，剪力圖為斜直線；M(x)

為二次函數，彎矩圖為拋物線。當q(x)>0(向上)時,拋物線是下凸的；當q(x)<0(向下)時,拋物線是上凸的；(3)在剪力Q為零處,彎矩M取極值。35(3)在剪力Q為零處,彎矩M取極值。注意:以上結論只在該段梁上無集中力或集中力偶作用時才成立。36(4)在集中力作用點：上次例2(書例4.2)剪力圖有突變，突變值即為集中力的數值，突變的方向沿著集中力的方向(從左向右觀察)；彎矩圖在該處為折點。(5)在集中力偶作用點:對剪力圖形狀無影響；彎矩圖有突變，突變值即為集中力偶的數值。37集中力偶為逆時針時，向下跳(從左向右看);順時針時，向上跳(從左向右看).(5)在集中力偶作用點:對剪力圖形狀無影響；彎矩圖有突變，突變值即為集中力偶的數值。上次例438

根據微分關系作剪力圖和彎矩圖(1)求支反力；(2)建立坐標系(一般以梁的左端點為原點)；(3)分段

確定控制面；(4)求出控制面上的Q、M值；(5)根據微分關系連線，作出剪力圖和彎矩圖。39方法總結外力 0 P P q q M

M Q圖 常數 下跳 上跳 下降 上升 不變 不變

幅度P 幅度P 速率q 速率qM圖 直線 折線 折線 拋物線拋物線下跳 上跳 幅度M 幅度M40其它關鍵信息Q過零處M有極值無集中力作用的自由端處，剪力為零；有集中力作用的自由端處，剪力為集中力值無集中力偶作用的鉸鏈處(包括中間鉸)，彎矩為零；有集中力偶作用的鉸鏈處，彎矩為集中力偶值41例1已知：簡支梁如圖。解：求：利用微分關系作剪力圖和彎矩圖。(1)求支反力(2)坐標系xQQABC(3)確定控制面(4)計算控制面的Q和M(5)連線x42

作彎矩圖43例2已知：懸臂梁如圖。解：求：利用微分關系作剪力圖和彎矩圖。(1)求支反力MDRD(2)坐標系(3)確定控制面x(4)計算控制面的Q和MB處：44MDRDx(4)計算控制 面的Q和MB處：xQQ(5)連線D處：45(4)計算控制 面的Q和MB處：

彎矩圖D處：46例3(上次的例4)

已知：外伸梁如圖。解：求：利用微分關系作剪力圖和彎矩圖。(1)求支反力4748例4已知：組合梁如圖。解：求：利用微分關系作剪力圖和彎矩圖。(1)求支反力MARARC49QxMx解：(1)求支反力MARARC752525(2)剪力圖(3)彎矩圖200502550例5已知：q,P。解：求：用疊加法作彎矩圖。RARBRA1RB1RA2RB2

約束反力若梁分別受到這兩種載荷的作用：51RARBRA1RB1RA2RB2

約束反力若梁分別受到這兩種載荷的作用：52RARBRA1RB1RA2RB2若梁分別受到這兩種載荷的作用：可以看出：

彎矩方程53RARB

彎矩方程AC段：CB段：

結論在小變形的情況下，約束反力和內力都是外載荷的線性函數，可以使用疊加法。

疊加法作彎矩圖54

疊加法作彎矩圖+=+=55

剛架的內力圖剛節點剛節點 在連接兩部分的 節點處夾角不變。

特點內力分量中，除了剪力和彎矩外，通常還有軸力。

內力的正負號與觀察位置NNQQ無關無關56

內力的正負號與觀察位置NNQQ有關無關無關

彎矩畫在受壓側57(1) 可分段建立坐標系；(2) 軸力、剪力畫在內側或 外側均可，但需標出正 負號；(3) 彎矩畫在受壓側。

剛架內力圖的畫法58例3剛架已知：q，a。解：求：內力圖。(1)求支反力(2)求內力結果如圖。BC段:QNMDx59(2)求內力BC段:QNMDxAC段:NQMyE60(2)求內力BC段:AC段:(3)軸力圖Q(4)剪力圖61(4)剪力圖(5)彎矩圖特點：在剛節點處，彎矩值連續

;BC段:AC段:QM62特點：在剛節點處，彎矩值連續;Q1N1M1N2Q2M2可以利用剛節點的平衡，對內力圖進行校核。63§4.6平面曲桿的彎曲內力

平面曲桿平面曲桿的內力圖的畫法與剛架的內力圖的畫法類似。軸線為平面曲線的桿或梁。

例子已知：P,a

。

求：橫截面上的內力及彎矩圖。解：取m-n截面，取右段，受力如圖。64

例子已知：P,a

。

求：橫截面上的內力及彎矩圖。解：取m-n截面，取右段，受力如圖。x'y'o65x'y'o曲桿的彎矩圖如圖。66附錄I平面圖形的幾何性質(p319)主要內容:1靜矩和形心2慣性矩和慣性半徑3慣性積4 平行移軸公式5 轉軸公式主慣性軸67§I.1靜矩和形心1靜矩靜矩：平面圖形的面積對坐標軸的一次矩。定義為：靜矩的量綱為長度的三次方。2形心682形心理論力學中得到的均質薄板的重心(形心)坐標公式為：用靜矩表示：69用靜矩表示：

靜矩也可表示為：

組合物體的靜矩

組合物體的形心70

組合物體的形心71特殊情況：如y軸過圖形形心，，Sy=0如z軸過圖形形心，Sz=0即圖形對過其形心的軸的靜矩為零72例I.1拋物線方程z=h(1-)y2b2求Sy、Sz和形心位置C73例I.1解74例I.1解同樣可求得75組合圖形形心位置和靜矩的計算76例I.2求形心C的位置77例I.3求截面形心C的位置78§I.2慣性矩和慣性半徑1慣性矩慣性矩：平面圖形的面積對坐標軸的二次矩。定義為：

比較理力中的轉動慣量79慣性矩定義為：慣性矩恒大于零；慣性矩的量綱為長度的四次方。2慣性半徑工程上常將慣性矩寫成如下的形式:802慣性半徑工程上常將慣性矩寫成如下的形式:

iy,iz

分別為圖形對y軸和對z軸的慣性半徑。慣性半徑的量綱為長度的一次方?；驅憺?813極慣性矩即：對兩根互相垂直的軸的慣性矩之和，等于對該兩軸交點的極慣性矩。即為對與平面圖形垂直的軸的慣性矩.4IP與Iy,Iz的關系825組合圖形的慣性矩6幾種常見圖形的慣性矩

矩形

問題83

圓形

圓環看成是組合圖形84重要性質：yzy’z’oIp=Iy+IzIp=Iy,+Iz,Iy+Iz=Iy,+Iz,85§I.3慣性積1慣性積慣性積定義為：慣性積的值可正，可負，可為零。慣性積的量綱為長度的四次方。2對稱圖形的慣性積設z為對稱軸，則:86有對稱截面圖形的慣性積z’Iyz’=?87§I.4平行移軸公式當圖形對于某一特定軸的慣性矩或慣性積已知時，如何求圖形對于與之平行的另一軸的慣性矩或慣性積？如何求組合圖形的慣性矩或慣性積？88Iyc,Izc,Iyczc已知求Iy,Iz,Iyz89平行移軸公式的推導90與