江西省宜春市相城中學2023年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的值域為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C2.《九章算術》中有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問若聘該女子做工半月（15日），一共能織布幾尺（

）A．75

B．85

C.105

D．120參考答案：D設第一天織尺，第二天起每天比前一天多織尺，由已知得，，故選D.

3.程序框圖表示求式子23×53×113×233×473×953的值，則判斷框內可以填的條件為（）A．i≤90？B．i≤100？C．i≤200？D．i≤300？參考答案：B4.已知函數f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移個單位，得到函數g（x）的圖象．關于函數g（x），下列說法正確的是(

)A．在[，]上是增函數B．其圖象關于直線x=﹣對稱C．函數g（x）是奇函數D．當x∈[，π]時，函數g（x）的值域是[﹣2，1]參考答案：D【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數的圖像與性質．【分析】由兩角和的正弦把三角函數化簡，結合已知求出周期，進一步得到ω，則三角函數的解析式可求，再由圖象平移得到g（x）的解析式，畫出其圖象，則答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由題意知，則T=π，∴ω=，∴，把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移個單位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其圖象如圖：由圖可知，函數在[，]上是減函數，A錯誤；其圖象的對稱中心為（），B錯誤；函數為偶函數，C錯誤；，，∴當x∈[，π]時，函數g（x）的值域是[﹣2，1]，D正確．故選：D．【點評】本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了三角函數的圖象和性質，正確畫出圖象對解決問題起到事半功倍的作用，是中檔題．5.如果執行如面的程序框圖，那么輸出的S=(

)A．119 B．719 C．4949 D．600參考答案：B【考點】循環結構．【專題】圖表型．【分析】先根據已知循環條件和循環體判定循環的次數，然后根據運行的后s的值找出規律，從而得出所求．【解答】解：根據題意可知該循環體運行5次第一次：T=1，s=1，k=2；第二次：T=2，s=5，k=3；第三次：T=6，s=23，k=4；第四次：T=24，s=119，k=5；第五次：T=120，s=719，k=6；因為k=6＞5，結束循環，輸出結果s=719．故選B．【點評】本題考查循環結構．解決程序框圖中的循環結構時，常采用寫出前幾次循環的結果，找規律．6.已知函數f（x）＝在定義域（－∞，＋∞）上是單調增函數，則實數a的取值范圍是A．（－∞，]

B．[，＋∞）

C．[，]

D．(，)參考答案：C函數f（x）在定義域（－∞，＋∞）上是單調增函數，所以在（1，＋∞）上單調遞增（1），在上單調的增（2），且（3）（1）顯然恒成立，；（2）在上恒成立，當時，；當時，，即，,在上單調遞減，時，，即，∴，；當時，，在上單調遞減，，∴，，從而；（3），即綜上，.故選：C

7.已知命題；命題，則下列命題中為真命題的是A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知為拋物線的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，（其中O為坐標原點），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.已知集合，，則為（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，則M∩N等于()A．[0，＋∞) B．[0,1)C．(1，＋∞) D．(0,1]參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，若與垂直，則

參考答案：2略12.設是定義在R上的偶函數，對任意，都有且當時，。若函數在區間恰有3個不同的零點，則的取值范圍是

參考答案：13.直線直線則m的值為

．參考答案：

-3或214.若直線與函數（的圖像有兩個公共點，則的取值范圍是

.參考答案：略15.設P是雙曲線上的一點，、分別是該雙曲線的左、右焦點，若△的面積為12，則_________．參考答案：略16.已知，則的最小值是

.參考答案：4由，得，即，所以，由，當且僅當，即，取等號，所以最小值為4.17.已知拋物線y2＝2px（p＞0），過其焦點且斜率為1的直線交拋物線與A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為______________．參考答案：X=—1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐中，為鈍角三角形，側面垂直于底面，，點是的中點，，，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與底面所成的角為60°，求二面角余弦值．參考答案：（1）證明：取中點，連接，設，，依題意得，四邊形為正方形，且有，，所以，所以，又平面底面，平面底面，底面，所以平面.

又平面，所以平面平面（2）過點作的垂線，交延長線于點，連接，因為平面底面，平面底面，平面，所以底面，故為斜線在底面內的射影，為斜線與底面所成的角，即由（1）得，，所以在中，，，，在中，，，，由余弦定理得，所以，從而，過點作，所以底面，所以兩兩垂直，如圖，以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，設平面的法向量得

取得，設平面的法向量得，取得，，所以

故所求的二面角的余弦值為.19.（本小題滿分13分）已知數列滿足，，且．（1）求證：數列是等差數列；（2）設，求數列的前項和公式．參考答案：（1）∵依題意只需證明，………1分

∵∴

∴只需證………3分

即只需證，即只需證

即只需證或………5分

∵不符合∴只需證

顯然數列是等差數列，且滿足，以上各步都可逆

∴數列是等差數列………………7分（2）由（1）可知，∴………8分

設數列的前項和為

易知數列是首項為1，公比為2的等比數列，數列是常數列

∴

……9分

令∴∵數列是遞增數列∴數列前6項為負，以后各項為正…………10分

∴當時，

………………11分

當時，

…12分

∴

……………………13分20.如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．參考答案：解析：（Ⅰ）連接，如圖，∵、分別是、的中點，是矩形，∴四邊形是平行四邊形，∴．--------2分∵平面，平面，∴平面．--------------------------------4分（Ⅱ）連接，∵正方形的邊長為2，，∴，，，則，∴．

--------------------------------6分又∵在長方體中，，，且，∴平面，又平面，∴，又，

-------------------------------8分∴平面，即為三棱錐的高．

--------------------------------10分∵，∴．

----------------------------21.已知橢圓E的中心在坐標原點O，它的長軸長，短軸長分別為，右焦點F（c，0），直線l：cx﹣a2=0與x軸相交于點，過點A的直線m與橢圓E交于P，Q兩點．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若，求直線m的方程；（Ⅲ）過點P且平行于直線l的直線與橢圓E相交于另一點M，求證：Q，F，M三點共線．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）設橢圓的方程為（a＞），由已知解得a=，c=2，可得橢圓的方程；（Ⅱ）由（Ⅱ）可得A（3，0），設直線PQ的方程為y=k（x﹣3），代入橢圓方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．依題意△=12（2﹣3k2）＞0，得k的范圍．設P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根與系數的位置關系可知直線PQ的方程；（Ⅲ）運用向量的共線的坐標運算和韋達定理，計算化簡即可得證．【解答】（Ⅰ）解：由題意，可設橢圓的方程為（a＞），由已知得，解得a=，c=2，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A（3，0），設直線PQ的方程為y=k（x﹣3），代入橢圓方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，依題意△=12（2﹣3k2）＞0，得﹣＜k＜，設P（x1，y1），Q（x2，y2）則x1+x2=①x1x2=②由直線PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）于是y1y2=k2（x1﹣3）（x2﹣3）=k2[x1x2﹣3（x1+x2）+9]③因為，所以x1x2+y1y2=0④由①②③④得5k2=1，從而k=±，所以直線m的方程為x﹣y﹣3=0或x+y﹣3=0；（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知x1+x2=，x1x2=，設=λ（λ＞1），即有（x1﹣3，y1）=λ（x2﹣3，y2）即x1﹣3=λ（x2﹣3），y1=λy2，設M（x1，y0），即有x12+3y02=6，即有y0=﹣y1，F（2，0），=（x1﹣2，﹣y1），=（x2﹣2，y2），即有y1+λy2=0，由于λ=，+=0等價為2x1x2+12﹣5（x1+x2）=0，由韋達定理代入可得2?+12﹣5?=0，則有（x1﹣2）+λ（x2﹣2）=0，故有=﹣λ，所以Q，F，M三點共線．【點評】本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓方程的運用，注意聯立直線方程，運用韋達定理，同時考查向量的共線的坐標運算，屬于中檔題．22.已知集合，集合B為函數的值域，集合，命題p:;命題q:.(1)