期末復習(二)實數各個擊破命題點1平方根、立方根、算術平方根的意義【例1】下列說法中錯誤的是(A)A．0沒有平方根\r(225)的算術平方根是15C．任何實數都有立方根D．(－9)2的平方根是±9【方法歸納】求一個數的平方根、算術平方根以及立方根時，首先應對該數進行化簡，然后結合它們的意義求解．只有非負數才有平方根和算術平方根，而所有實數都有立方根，且實數與其立方根的符號一致．1．(日照中考)eq\r(4)的算術平方根是(C)A．2B．±2\r(2)D．±eq\r(2)2．求下列各數的平方根：(1)eq\f(25,49)；解：±eq\f(5,7).(2)2eq\f(1,4)；解：±eq\f(3,2).(3)(－2)2.解：±2.3．求下列各式的值：(1)eq\r(3,－64)；解：－4.(2)－eq\r(3,.解：－.命題點2實數的分類【例2】把下列各數分別填入相應的數集里．－eq\f(π,3)，－eq\f(22,13)，eq\r(7)，eq\r(3,－27)，371，，eq\r(3,9)，－eq\r，eq\r(16)，0080008…(1)無理數集合：{－eq\f(π,3)，eq\r(7)，eq\r(3,9)，－eq\r，0080008…，…}；(2)有理數集合：{－eq\f(22,13)，eq\r(3,－27)，371，，eq\r(16)，…}；(3)分數集合：{－eq\f(22,13)，371，，…}；(4)負無理數集合：{－eq\f(π,3)，－eq\r，…}．【方法歸納】我們學過的無理數有以下類型：π，eq\f(π,3)等含π的式子；eq\r(2)，eq\r(3,3)等開方開不盡的數；0010001…等特殊結構的數．注意區分各類數之間的不同點，不能只根據外形進行判斷，如誤認為eq\r(3,－27)是無理數．4．(呼和浩特中考)下列實數是無理數的是(C)A．－1B．0C．π\f(1,3)5．實數－，eq\r(15)，4，eq\r(3,8)，－π，\o(1,\s\up6(·))eq\o(5,\s\up6(·))，eq\f(2,3)中，有理數的個數為a，無理數的個數為b，則a－b的值為(B)A．2B．3C．4D．56．把下列各數分別填入相應的集合中：＋，12，0，π，－3eq\f(2,3)，eq\f(22,7)，%，－eq\r(3,16)，－25.(1)有理數集合：{＋，12，0，－3eq\f(2,3)，eq\f(22,7)，%，－25，…}；(2)無理數集合：{π，－eq\r(3,16)，…}；(3)分數集合：{＋，－3eq\f(2,3)，eq\f(22,7)，%，…}；(4)整數集合：{12，0，－25，…}．命題點3實數與數軸【例3】在如圖所示的數軸上，AB＝AC，A，B兩點對應的實數分別是eq\r(3)和－1，則點C所對應的實數是(D)A．1＋eq\r(3)B．2＋eq\r(3)C．2eq\r(3)－1D．2eq\r(3)＋1【思路點撥】由題意得AB＝eq\r(3)－(－1)＝eq\r(3)＋1，所以AC＝eq\r(3)＋1.所以C點對應的實數為eq\r(3)＋(eq\r(3)＋1)，計算即可．【方法歸納】實數與數軸上的點一一對應．求數軸上兩點間的距離就是用右邊的數減去左邊的數；求較小的數就用較大的數減去兩點間的距離；求較大的數就用較小的數加上兩點間的距離．7．(曲靖中考)實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是(A)A．|a|＜|b|B．a＞bC．a＜－bD．|a|＞|b|8．(金華中考)如圖，數軸上的A，B，C，D四點中，與數－eq\r(3)表示的點最接近的是(B)A．點AB．點BC．點CD．點D命題點4實數的性質與運算【例4】計算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)－\r(3)))－(2eq\r(2)－3eq\r(3))．【思路點撥】先去絕對值符號和括號，然后利用加法的交換律、結合律、分配律計算．【解答】原式＝eq\r(3)－eq\r(2)－2eq\r(2)＋3eq\r(3)＝(1＋3)eq\r(3)＋(－1－2)eq\r(2)＝4eq\r(3)－3eq\r(2).【方法歸納】根據絕對值的性質，先判斷絕對值里面的數與0的大小，然后去掉絕對值符號．括號前是“－”號的，去掉“－”號與括號，括號里面的每一項都要改變符號．如果被開方數相同，則利用加法的分配律，將系數相加減，被開方數以及根號不變．9．下列各組數中互為相反數的是(A)A．－2與eq\r(（－2）2)B．－2與eq\r(3,－8)C．2與(－2)2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\r(2)))與eq\r(2)10．化簡eq\r(2)－eq\r(2)(1－eq\r(2))的結果是(A)A．2B．－2\r(2)D．－eq\r(2)11．計算：eq\r(3,512)－eq\r(81)＋eq\r(3,－1).解：原式＝8－9－1＝－2.整合集訓一、選擇題(每小題3分，共30分)1．(內江中考)9的算術平方根是(C)A．－3B．±3C．3\r(3)2．下列說法錯誤的是(B)A．實數包括有理數和無理數B．有理數是有限小數C．無限不循環小數是無理數D．數軸上的點與實數一一對應3．下列各式錯誤的是(C)\r(3,＝\r(3,－\f(1,27))＝－eq\f(1,3)\r(121)＝±eq\r(11)\r(3,－106)＝－1024．(漯河校級月考)有一個數軸轉換器，原理如圖所示，則當輸入的x為64時，輸出的y是(B)A．8B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．185．(淮安中考)如圖，數軸上A，B兩點表示的數分別為eq\r(2)和，則A，B兩點之間表示整數的點共有(C)A．6個B．5個C．4個D．3個6．(畢節中考)估計eq\r(6)＋1的值在(B)A．2到3之間B．3到4之間C．4到5之間D．5到6之間7．在eq\r(x)，eq\r(3,x)，eq\r(x2＋1)，eq\r(（－x）2)中，一定有意義的有(B)A．4個B．3個C．2個D．1個8．若eq\r(3,a)＋eq\r(3,b)＝0，則a與b的關系是(C)A．a＝b＝0B．a與b相等C．a與b互為相反數D．a＝eq\f(1,b)9．已知實數x，y滿足eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，則x－y等于(A)A．3B．－3C．1D．－110．(曲周縣校級月考)一個自然數的算術平方根是a，則下一個自然數的算術平方根是(A)\r(a2＋1)\r(a)＋1C．a＋1\r(a＋1)二、填空題(每小題4分，共20分)11．比較大小：(1)eq\r(3)＜eq\r(5)；(2)－5＞－eq\r(26)；(3)3eq\r(2)＞2eq\r(3)(填“＞”或“＜”)．12．－π的相反數是π－，絕對值是π－．13．若eq\r(x＋2)＝2，則2x＋5的平方根是±3.14．(安陸市期中)已知eq\r(36)＝x，eq\r(y)＝3，z是16的算術平方根，則2x＋y－5z的值為1．15．對于任意不相等的兩個數a，b，定義一種運算※如下：a※b＝eq\f(\r(a＋b),a－b)，如3※2＝eq\f(\r(3＋2),3－2)＝eq\r(5).那么12※4＝eq\f(1,2).三、解答題(共50分)16．(8分)把下列各數填在相應的表示集合的大括號內．－6，π，－eq\f(2,3)，－|－3|，eq\f(22,7)，－，，eq\r(6)，0，0010001….(1)整數：{－6，－|－3|，0，…}；(2)負分數：{－eq\f(2,3)，－，…}；(3)無理數：{π，eq\r(6)，0010001…，…}．17．(15分)計算：(1)2eq\r(5)－5eq\r(5)＋3eq\r(5)；解：原式＝(2－5＋3)eq\r(5)＝0.(2)eq\r(3)＋1＋3＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(3)))；解：原式＝eq\r(3)＋4＋eq\r(3)－1＝2eq\r(3)＋3.(3)eq\r(25)－eq\r(3,－1)＋eq\r(144)＋eq\r(3,－64).解：原式＝5＋1＋12－4＝14.18．(10分)求下列各式中的x的值：(1)25(x－1)2＝49；解：化簡得(x－1)2＝eq\f(49,25).∴x－1＝±eq\f(7,5).∴x＝eq\f(12,5)或x＝－eq\f(2,5).(2)64(x－2)3－1＝0.解：化簡得(x－2)3＝eq\f(1,64).∴x－2＝eq\f(1,4).∴x＝eq\f(9,4).19．(8分)已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))<3π，x是整數，求x的值，并寫出求得的數的積的平方根．解：∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))<3π，x是整數，∴滿足條件的x有±9，±8，±7，±6，±5，±4，±3，±2，±1，0.∴這些數的積為0，∴積的平方根為0.20．(9分)已知：M＝eq\r(a－b