學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.多面體的結(jié)構(gòu)特征2.旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線3.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是(1）在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠x(chóng)Oz＝90°，且∠yOz＝90°。(2)畫(huà)直觀圖時(shí)把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸,它們相交于O′，并使∠x(chóng)′O′y′＝45°(或135°)，∠x(chóng)′O′z′＝90°,x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面。(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段。（4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.4。柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱(chēng)幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱）S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體（棱錐和圓錐）S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f（1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f（1，3）(S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3）πR35。常用結(jié)論(1）與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論①一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差。②底面面積及高都相等的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等。（2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論a.正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a;②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a;③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.b。若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r（a2＋b2＋c2）。c。正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.(3)斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變"與“三不變”“三變”eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，，圖形改變。)）“三不變”eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(平行性不改變，，與x,z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變,,相對(duì)位置不改變.)）【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）(1)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱。（×)（2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐。(×)(3）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°,則在直觀圖中，∠A＝45°。(×)(4)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形.（√)(5）臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差來(lái)計(jì)算.（√)（6)菱形的直觀圖仍是菱形.(×)1.（教材改編)下列說(shuō)法正確的是________.①相等的角在直觀圖中仍然相等；②相等的線段在直觀圖中仍然相等；③正方形的直觀圖是正方形；④若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行。答案④解析由直觀圖的畫(huà)法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行性不變.故④正確。2.(教材改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為_(kāi)_______cm。答案2解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4,∴r＝2(cm).3.如圖，直觀圖所表示的平面圖形是________。（填序號(hào))①正三角形②銳角三角形③鈍角三角形④直角三角形答案④解析由直觀圖中，A′C′∥y′軸,B′C′∥x′軸，還原后原圖AC∥y軸，BC∥x軸.直觀圖還原為平面圖形是直角三角形.故④正確.4.(2016·南通、揚(yáng)州、泰州三模)已知一個(gè)空間幾何體的所有棱長(zhǎng)均為1cm，其表面展開(kāi)圖如圖所示，那么該空間幾何體的體積V＝________cm3.答案1＋eq\f(\r（2），6)解析由表面展開(kāi)圖知該幾何體是一個(gè)正方體與一個(gè)正四棱錐的組合體，所有棱長(zhǎng)均為1，則正四棱錐的高為eq\f(\r（2），2)，所以V正方體＝1，V正四棱錐＝eq\f(1，3)×1×eq\f（\r（2），2)＝eq\f(\r(2），6)，所以所求幾何體的體積V＝1＋eq\f(\r（2）,6)（cm3）。5。用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是________。答案①解析平面圖形的直觀圖為正方形，且其邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，所以原平面圖形為平行四邊形,且位于x軸上的邊長(zhǎng)仍為1，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2)。題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體;④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)。其中正確命題的序號(hào)是________.答案②③④解析①不正確,根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知.思維升華(1）解決本類(lèi)題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.（2)解決本類(lèi)題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問(wèn)題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類(lèi)的命題進(jìn)行辨析。（1)以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)。其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(2)給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱。其中不正確的命題為_(kāi)_______。答案（1）1(2）①②③解析(1）命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③對(duì)；命題④錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以，故正確的命題個(gè)數(shù)為1.（2）對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò);對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明(如圖),故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；④由線面垂直的判定,側(cè)棱垂直于底面，故④正確。綜上，命題①②③不正確.題型二空間幾何體的直觀圖例2(1）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______。(2)如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm,O′C′＝2cm，則原圖形是________。①正方形；②矩形；③菱形；④一般的平行四邊形。答案(1）eq\f（\r（6)，16)a2（2）③解析(1）如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f（1，2）OC＝eq\f（\r(3），4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′,則C′D′＝eq\f(\r（2），2）O′C′＝eq\f(\r（6)，8)a。所以S△A′B′C′＝eq\f（1，2）A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f（\r(6）,8）a＝eq\f(\r(6），16）a2.(2）如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r（2)＝4eq\r(2)cm，CD＝C′D′＝2cm.∴OC＝eq\r（OD2＋CD2)＝eq\r(4\r（2）2＋22)＝6（cm),∴OA＝OC,故四邊形OABC是菱形。思維升華用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線,原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,用平滑的曲線連結(jié)而畫(huà)出.如圖是水平放置的某個(gè)三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)且A′D′∥y′軸,A′B′，A′D′，A′C′三條線段對(duì)應(yīng)原圖形中的線段AB,AD，AC，那么下列說(shuō)法正確的有________。(填序號(hào)）①最長(zhǎng)的是AB，最短的是AC；②最長(zhǎng)的是AC，最短的是AB；③最長(zhǎng)的是AB，最短的是AD;④最長(zhǎng)的是AD，最短的是AC.答案③解析A′D′∥y′軸，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則，在原圖形中應(yīng)有AD⊥BC,又AD為BC邊上的中線，所以△ABC為等腰三角形.AD為BC邊上的高，則有AB，AC相等且最長(zhǎng)，AD最短。題型三求空間幾何體的表面積例3(1）一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3），其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_____。答案12解析由題意知該六棱錐為正六棱錐，∴設(shè)正六棱錐的高為h,側(cè)面的斜高為h′。由題意，得eq\f（1,3)×6×eq\f(1,2）×2×eq\r(3)×h＝2eq\r（3），∴h＝1,∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r（3)2）＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2）×2×2＝12。(2）（2016·蘇州模擬）如圖，斜三棱柱ABC-A′B′C′中,底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB與AC都成45°角,求此斜三棱柱的表面積。解如圖，過(guò)A′作A′D⊥平面ABC于D，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連結(jié)A′E，A′F,AD。則由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′，又由題意知A′E⊥AB,A′F⊥AC，得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC,又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′,∴四邊形BCC′B′是矩形，∴斜三棱柱的側(cè)面積為2×a×bsin45°＋ab＝(eq\r（2)＋1）ab.又∵斜三棱柱的底面積為2×eq\f（\r(3）,4)a2＝eq\f（\r（3)，2)a2，∴斜三棱柱的表面積為(eq\r（2)＋1)ab＋eq\f(\r（3），2)a2。思維升華(1)解決組合體問(wèn)題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體組成的以及這些簡(jiǎn)單的幾何體的組合情況。（2)在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加,對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.（3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm,高是eq\f（3，2)cm.（1）求三棱臺(tái)的斜高；（2)求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積。解(1）設(shè)O1、O分別為正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如圖所示，則O1O＝eq\f（3，2)，過(guò)O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，則D1D為三棱臺(tái)的斜高；過(guò)D1作D1E⊥AD于E，則D1E＝O1O＝eq\f（3,2），因?yàn)镺1D1＝eq\f（\r（3），6)×3＝eq\f(\r(3),2），OD＝eq\f(\r(3)，6)×6＝eq\r(3),則DE＝OD－O1D1＝eq\r（3）－eq\f（\r（3），2)＝eq\f(\r(3），2）。在Rt△D1DE中，D1D＝eq\r（D1E2＋ED2)＝eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，2)））2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3)，2)))2)＝eq\r(3)(cm).故三棱臺(tái)的斜高為eq\r（3）cm.（2）設(shè)c、c′分別為上、下底的周長(zhǎng),h′為斜高，S側(cè)＝eq\f（1,2）（c＋c′)h′＝eq\f(1,2)(3×3＋3×6)×eq\r（3)＝eq\f（27\r(3),2)（cm2)，S表＝S側(cè)＋S上＋S下＝eq\f（27\r（3),2）＋eq\f（\r（3)，4）×32＋eq\f(\r(3)，4)×62＝eq\f（99\r（3),4）(cm2）.故三棱臺(tái)的側(cè)面積為eq\f（27\r（3)，2）cm2，表面積為eq\f(99\r(3）,4)cm2.題型四求簡(jiǎn)單幾何體的體積例4（2016·江蘇改編）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積為_(kāi)_______m3。答案312解析由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因?yàn)锳1B1＝AB＝6m,所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f（1，3)·A1Beq\o\al(2，1）·PO1＝eq\f（1，3）×62×2＝24(m3）；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3).所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3）。思維升華空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解。正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r（3），D為BC的中點(diǎn),則三棱錐A－B1DC1的體積為_(kāi)_______.答案1解析在正△ABC中,D為BC的中點(diǎn)，則有AD＝eq\f(\r（3),2）AB＝eq\r(3)，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1底面上的高。題型五與球有關(guān)的切、接問(wèn)題例5（2016·揚(yáng)州模擬）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為_(kāi)_______。答案eq\f（13，2)解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線,則垂足為BC的中點(diǎn)M。又AM＝eq\f(1，2）BC＝eq\f(5，2），OM＝eq\f(1,2）AA1＝6,所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\f(5,2）2＋62)＝eq\f（13,2).引申探究1.已知棱長(zhǎng)為4的正方體，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少?解由題意可知,此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑。設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r。又正方體的棱長(zhǎng)為4,故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4eq\r(3),從而V外接球＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f（4,3)π×（2eq\r（3））3＝32eq\r（3)π，V內(nèi)切球＝eq\f(4,3）πr3＝eq\f（4,3）π×23＝eq\f(32π，3)。2。已知棱長(zhǎng)為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解正四面體的表面積為S1＝4·eq\f（\r（3)，4）·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的eq\f(1，4），即r＝eq\f（1,4）·eq\f(\r（6),3)a＝eq\f（\r(6),12）a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2，6)，則eq\f（S1,S2）＝eq\f(\r(3)a2，\f(πa2,6）)＝eq\f(6\r(3)，π）.3。已知側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3eq\r(2)的正四棱錐,則其外接球的半徑是多少？解依題意得,該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3eq\r(2）×eq\r（2）＝6，高為eq\r(3\r（2)2－\f(1,2）×62）＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3,所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心,其外接球的半徑為3.思維升華空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法（1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解。(2）若球面上四點(diǎn)P，A,B，C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b,PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形"成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體,利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_(kāi)_____.答案eq\f(81π，4)解析如圖,設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中,（4－r)2＋(eq\r(2））2＝r2，解得r＝eq\f(9，4),∴該球的表面積為4πr2＝4π×(eq\f(9,4)）2＝eq\f(81,4）π。15.巧用補(bǔ)形法解決立體幾何問(wèn)題典例（2016·鹽城模擬)如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4,AE＝5，則此幾何體的體積為_(kāi)_______.思想方法指導(dǎo)解答本題時(shí)可用“補(bǔ)形法”完成。“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的重要方法，在解題時(shí)，把幾何體通過(guò)“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積等問(wèn)題，常見(jiàn)的補(bǔ)形法有對(duì)稱(chēng)補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形，對(duì)于還原補(bǔ)形,主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐"，將不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等.解析用“補(bǔ)形法"把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱,使AA′＝BB′＝CC′＝8,所以V幾何體＝eq\f（1,2）V三棱柱＝eq\f（1，2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1，2)×24×8＝96。答案961。給出下列命題:①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐;③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.其中正確命題的序號(hào)是________.答案①2。（2016·連云港模擬)五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱(chēng)為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)角線的條數(shù)為_(kāi)_______.答案10解析如圖，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中,從頂點(diǎn)A出發(fā)的對(duì)角線有兩條：AC1，AD1,同理從B，C，D,E點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線均有兩條，共2×5＝10(條)。3。用平面α截球O所得截面圓的半徑為3，球心O到平面α的距離為4，則此球的表面積為_(kāi)_______。答案100π解析依題意，設(shè)球半徑為R，滿足R2＝32＋42＝25，∴S球＝4πR2＝100π。4.（2016·常州模擬)如圖所示，四邊形A′B′C′D′是一水平放置的平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖,在斜二測(cè)直觀圖中，四邊形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′,且B′C′與y′軸平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，則原平面圖形的面積為_(kāi)_______。答案20eq\r(2）解析由題意得，直觀圖的面積S直＝eq\f（1,2)×（4＋6）×2＝10，則原平面圖形的面積S原＝2eq\r（2）S直＝20eq\r(2）。5.(2016·鹽城三模)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為4π的半圓面，則該圓錐的體積為_(kāi)_____。答案eq\f（2\r(6)π,3）解析由側(cè)面展開(kāi)圖是面積為4π的半圓面，知圓錐的底面半徑為eq\r（2)，高為eq\r(6），從而圓錐的體積為eq\f(2\r(6）π,3).6.（2016·南京模擬)直三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2,E為棱CC1的中點(diǎn)，則三棱錐A1—B1C1E的體積為_(kāi)_______.答案eq\f(\r（3），3)解析由題意得又因?yàn)镋為棱CC1的中點(diǎn)，所以EC1＝1，所以7.已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝eq\r（6）,AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________.答案7π解析（圖略)在四面體ABCD中,取線段CD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD,BE⊥CD.在Rt△AED中,CD＝eq\r（6），∴AE＝eq\f(\r（10），2）.同理BE＝eq\f(\r（10),2）。取AB的中點(diǎn)為F,連結(jié)EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(6）,2),AE＝eq\f(\r(10),2），∴EF＝1。取EF的中點(diǎn)為O，連結(jié)OA，則OF＝eq\f(1，2）.在Rt△OFA中，OA＝eq\f(\r(7），2)。同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是eq\f（\r（7)，2），∴外接球的表面積是7π。8。如圖所示，AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1。則三棱錐P－ABC體積的最大值為_(kāi)_______.答案eq\f（1，3)解析VP－ABC＝eq\f(1,3）PO·S△ABC，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，三棱錐P－ABC體積達(dá)到最大值。當(dāng)CO⊥AB時(shí),△ABC的面積最大，最大值為eq\f(1,2）×2×1＝1，此時(shí)VP－ABC＝eq\f（1，3）PO·S△ABC＝eq\f(1，3).9。(2016·徐州、連云港、宿遷聯(lián)考）如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此三棱柱的體積為_(kāi)_______.答案eq\r(2)解析因?yàn)锳A1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1,又知AA1＝1,A1B1＝2，所以AB1＝eq\r（22－12）＝eq\r(3),同理可得AC1＝eq\r（3），又知在△AB1C1中，B1C1＝2,所以△AB1C1的B1C1上的高為h＝eq\r（3－1）＝eq\r（2)，其面積于是三棱錐A—A1B1C1的體積進(jìn)而可得此三棱柱ABC—A1B1C1的體積10.（2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為_(kāi)_______。答案144π解析如圖,要使三棱錐O-ABC即C-OAB的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面OAB的距離，即三棱錐C—OAB底面OAB上的高最大,其最大值為球O的半徑R，則VO-ABC最大＝VC-OAB最大＝eq\f(1,3）×S△OAB×R＝eq\f（1，3）×eq\f（1，2）×R2×R＝eq\f（1，6）R3＝36，所以R＝6,得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π。11。如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)該幾何體的體積；（2）截面ABC的面積。解（1）過(guò)C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1,BB1分別于A2，B2.由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則＝eq\f(1，2)×2×2×2＋eq\f（1,3）×eq\f（1，2)×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中,AB＝eq\r（22＋4－32)＝eq\r（5)，BC＝eq\r（22＋3－22）＝eq\r（5）,AC＝eq\r（2\r（2）2＋4－22)＝2eq\r（3)。則S△ABC＝eq\f(1,2）×2eq\r(3）×eq\r（\r(5）2－\r（3）2）＝eq\r(6).12。（2016·全國(guó)丙卷)如圖，四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD，AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn),AM＝2MD,N為PC的中點(diǎn)。(1)證明：MN∥平面PAB；(2)求四面體N—BCM的體積。(1）證明