2022年度山東省青島市嶗山區第九中學高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合，，若，則的取值范圍是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.計算的結果等于(

)A．B．C．

D．參考答案：D試題分析：．故選D．考點：誘導公式，兩角差的正弦公式．3.已知函數f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，則a∈（0，+∞）時，實數b的最大值是（）A．e B．e6 C．e6 D．e參考答案：A【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】導數的綜合應用．【分析】設公共點為P（x0，y0），分別求出f′（x）和g′（x），由題意可得f′（x0）=g′（x0），列出方程求出解出x0，再由f（x0）=g（x0）得到b關于a的函數，求出函數的導數，由a的范圍和導數的符號求出單調區間和極值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：設曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點（x0，y0）處的切線相同，因為f′（x）=x+2a，g′（x）=，且f′（x0）=g′（x0），所以x0+2a=，化簡得，解得x0=a或﹣3a，又x0＞0，且a＞0，則x0=a，因為f（x0）=g（x0），所以，則b（a）=（a＞0），所以b′（a）=5a﹣3（2alna+a）=2a﹣6alna=2a（1﹣3lna），由b′（a）=0得，a=，所以當0＜a＜時，b′（a）＞0；當a＞時，b′（a）＜0，即b（a）在（0，）上單調遞增，b（a）在（，+∞）上單調遞減，所以當a=時，實數b的取到極大值也是最大值b（）=．故選：A．【點評】本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，函數的單調區間、極值和最值，以及對數不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中檔題．4.四面體中，則四面體外接球的表面積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A分別取AB,CD的中點E,F，連結相應的線段，由條件可知，球心在上，可以證明為中點，，,所以，球半徑，所以外接球的表面積為，選A.5.，“函數沒有零點”是“對任意的，恒成立”的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B6.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列幾種說法正確的是（）A．A1B∥D1B B．AC1⊥B1CC．A1B與平面DBD1B1成角為45° D．A1B，B1C成角為30°參考答案：B【考點】空間中直線與平面之間的位置關系；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】由圖可知A錯誤；由線面垂直的判定與性質可B正確；分別求出線面角及異面直線所成角判定C、D錯誤．【解答】解：如圖，A1B∩D1B=B，故A錯誤；連接BC1，則BC1⊥B1C，又AB⊥B1C，AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，則AC1⊥B1C，故B正確；連接A1C1，交B1D1=O，連接BO，則∠A1BO為A1B與平面DBD1B1成角，在Rt△A1OB中，sin，∴A1B與平面DBD1B1成角為30°，故C錯誤；連接A1D，則A1D∥B1C，連接BD，可得△A1BD為等邊三角形，則∠A1DB為60°，即A1B，B1C成角為60°，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關系，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．7.一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形， 如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為 （A）29 （B）30 （C） （D）216參考答案：C略8.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）A．充分條件 B．必要條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】因為“好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題，根據互為逆否命題的真假一致得到：“好貨不便宜”是真命題．再據命題的真假與條件的關系判定出“不便宜”是“好貨”的必要條件．【解答】解：“好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題，根據互為逆否命題的真假一致得到：“好貨不便宜”是真命題．所以“好貨”?“不便宜”，所以“不便宜”是“好貨”的必要條件，故選B9.已知點P（a，b）（ab≠0）是圓x2+y2=r2內的一點，直線m是以P為中點的弦所在直線，直線l的方程為ax+by=r2，那么(

)A．m∥l，且l與圓相交 B．m⊥l，且l與圓相切C．m∥l，且l與圓相離 D．m⊥l，且l與圓相離參考答案：C【考點】直線與圓的位置關系．【專題】直線與圓．【分析】由P在圓內，得到P到圓心距離小于半徑，利用兩點間的距離公式列出不等式a2+b2＜r2，由直線m是以P為中點的弦所在直線，利用垂徑定理得到直線OP與直線m垂直，根據直線OP的斜率求出直線m的斜率，再表示出直線l的斜率，發現直線m與l斜率相同，可得出兩直線平行，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離，利用得出的不等式變形判斷出d大于r，即可確定出直線l與圓相離．【解答】解：∵點P（a，b）（ab≠0）在圓內，∴a2+b2＜r2，∵kOP=，直線OP⊥直線m，∴km=﹣，∵直線l的斜率kl=﹣=km，∴m∥l，∵圓心O到直線l的距離d=＞=r，∴l與圓相離．故選C．【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩直線垂直、平行時直線斜率滿足的關系，直線與圓的位置關系由d與r的大小來判斷，當d＞r時，直線與圓相離；當d＜r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切（其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．10.若實數滿足不等式組，且的最大值為，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C實數x，y滿足不等式組，可行域如下圖：

的最大值為5，由可行域可知z=3x+2y+2-3a，經過A時，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2-3a=5，

解得a=2，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數列中，，且，，成等差數列，則通項公式

.參考答案：略12.已知點為坐標原點,點滿足則的最大值是_____________.參考答案：略13.設為不等邊△ABC的外接圓，△ABC內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，P是△ABC所在平面內的一點，且滿足(P與A不重合），Q為△ABC所在平面外一點，QA=QB=QC,有下列命題：

①若QA=QP，。，則點Q在平面ABC上的射影恰在直線AP上;

②若QA=QP,則；

③若QA>QP,，則；

④若QA>QP，則P在△ABC內部的概率為分別表示△ABC與的面積)．

其中不正確的命題有__________（寫出所有不正確命題的序號）．參考答案：①③④14.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1⊥A1C．有下列條件：①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成為BC1⊥AB1的充要條件的是（填上該條件的序號）．參考答案：解：若①AB=AC=BC，如圖取M，N分別是B1C1，BC的中點，可得AM⊥BC，A1N⊥B1C1，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得AM，A1N都垂直于側面B1C1BC，由此知AM，A1N都垂直于線BC1，又BC1⊥A1C．結合圖形知BC1⊥CN又由M，N是中點及直三棱柱的性質知B1M∥CN，故可得BC1⊥B1M，再結合AM垂直于線BC1，及圖形知BC1⊥面AMB1，故有BC1⊥AB1，故①能成為BC1⊥AB1的充要條件同理③也可對于條件②，其不能證得BC1⊥AB1，故不為BC1⊥AB1的充要條件綜上①③符合題意故答案為①③考點：空間中直線與直線之間的位置關系．專題：證明題；綜合法．分析：由題意，對所給的三個條件，結合在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1⊥A1C．作出如圖的圖象，借助圖象對BC1⊥AB1的充要條件進行研究解答：解：若①AB=AC=BC，如圖取M，N分別是B1C1，BC的中點，可得AM⊥BC，A1N⊥B1C1，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得AM，A1N都垂直于側面B1C1BC，由此知AM，A1N都垂直于線BC1，又BC1⊥A1C．結合圖形知BC1⊥CN又由M，N是中點及直三棱柱的性質知B1M∥CN，故可得BC1⊥B1M，再結合AM垂直于線BC1，及圖形知BC1⊥面AMB1，故有BC1⊥AB1，故①能成為BC1⊥AB1的充要條件同理③也可對于條件②，其不能證得BC1⊥AB1，故不為BC1⊥AB1的充要條件綜上①③符合題意故答案為①③點評：本題考查空間中直線與直線之間的位置關系，解題的關鍵是構造圖形證明線面垂直從而證明線線垂直．利用線面垂直證明線線垂直是立體幾何中證明線線垂直常用的方法15.若“”是“”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為

.參考答案：16.已知函數f（x）=sin（ω＞0）的最小正周期為π，則該函數的圖象關于點對稱（填上一個你認為正確的即可，不必寫上所有可能的形式）．參考答案：（﹣，0）【考點】三角函數的周期性及其求法；正弦函數的對稱性．【分析】先根據函數f（x）的最小正周期求出w的值，進而可求出函數f（x）的解析式，然后令2x+=kπ，求出x的值得到對稱點的橫坐標，即可確定答案．【解答】解：∵函數f（x）的最小正周期為π，∴∴w=2∴f（x）=sin（2x+）令2x+=kπ∴x=﹣+，k∈Z故答案為：（﹣，0）17.已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題：

其中所有真命題的序號是________．參考答案：得，，。由得三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a，b，c分別為△ABC三個內角A、B、C的對邊，c=2，且（2+b）（sinC﹣sinB）=a（sinA﹣sinB）．（Ⅰ）求∠C的大??；（Ⅱ）求△ABC周長l的最大值．參考答案：【考點】HP：正弦定理．【分析】（I）由c=2，且（2+b）（sinC﹣sinB）=a（sinA﹣sinB）．由正弦定理可得：（c+b）（c﹣b）=a（a﹣b），化為：a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理即可得出C．（II）由（I）可得：A+B=．可得B=﹣A．由正弦定理可得：====．可得a=sinA，b=sinB．可得a+b+c=sinA+sinB+2=4sin+2．即可得出．【解答】解：（I）由c=2，且（2+b）（sinC﹣sinB）=a（sinA﹣sinB）．由正弦定理可得：（c+b）（c﹣b）=a（a﹣b），化為：a2+b2﹣c2=ab．∴cosC==，C∈（0，π）．∴C=．（II）由（I）可得：A+B=．∴B=﹣A．由正弦定理可得：====．∴a=sinA，b=sinB．∴a+b+c=sinA+sinB+2=[sinA+sin（﹣A）]+2=（sinA+cosA）+2=4sin+2．故當A+=時，△ABC周長l的最大值為6．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角函數的單調性、三角形內角和定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.（滿分12分）已知函數.（1）求函數的最小正周期和最大值；（2）求函數在區間上的最大值與最小值.參考答案：（Ⅰ）因為，所以.

………..

3分所以其最小正周期為

……………..

5分又因為，所以.

所以函數的最小正周期是；最大值是.

……..

7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因為，所以.所以當，即時，函數有最大值是；當，即時，函數有最小值是.所以函數在區間上的最大值是，最小值是.

…..

12分20.

已知函數

(I)若,求的極值和單調區間；

(Il)已知為的極值點，且,若當時，函數圖象上任意一點的切線的斜率恒小于m，求m的取值范圍參考答案：略21.如圖所示，是⊙直徑，弦的延長線交于，垂直于的延長

線于.

求證：(1)；

（2）.參考答案：解：（1）連AD，∵AB是圓O的直徑，∴則A、D、E、F四點共圓，∴

（2）由（1）知,又≌∴即∴即略22.已知點P（2，2），圓C：x2+y2﹣8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．求M的軌跡方程．參考答案：【考點】軌跡方程．【專題】綜合題；方程思想；直線與圓．【分析】圓C的方程可化為x2+（y﹣4）2=