函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

第一節(jié)函數(shù)及其表示

考綱要求：1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概

念.

2?在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示

函數(shù).

3?了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

基礎(chǔ)知識?自查自糾區(qū)教材夯基提力巳

1?函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合

A，B是兩個非空數(shù)集A，B是兩個非空集合

A，B

按照某個對應(yīng)關(guān)系/，對于集合A中的按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系/，對于集合

對應(yīng)關(guān)系

任何一個數(shù)x，在集合8中都存在唯一A中的血一個元素x，B中總有唯一的

f4fB

確定的數(shù)/U）與之對應(yīng)-一個元素V與它對應(yīng)

/8為從集合A到集合8的一個函對應(yīng)a-f8為從集合A到集合B的

名稱

數(shù)一個映射

記法y=J(x),X&A對應(yīng)八力一8是一個映射

2.函數(shù)的構(gòu)成要素

函數(shù)由定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域三個要素構(gòu)成，對函數(shù)夕=危），x^A，其中，

（1）定義域：自變量x的取值的集合4

（2）值域：函數(shù)值的集合［心）|1七出.

3?函數(shù)的表示方法

蛔硼I

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖像法.

4■分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這

種函數(shù)稱為分段函數(shù).

［自我查驗］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打"X")

(1)函數(shù)是建立在其定義域到值域的映射.()

(2)函數(shù)y=/(x)的圖像與直線x=a最多有2個交點.()

(3)函數(shù)y(x)=x2-2x與g(/)=/一2/是同一函數(shù).()

(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù).()

(5)若Z=R，8={x,>0}，fx-y=|x|，其對應(yīng)是從/到8的映射.()

(6)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的.()

(7)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集.()

答案：⑴J(2)X(3)7(4)X(5)X(6)X(7)V

2?下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A-y—x~\與：==(x—I)?

x—1

B?y=y/x=1與y=

C.y=41gx與y=21gx?

x

D-v=lgx—2與y=lg^

答案：D

3-函數(shù)的定義域為.

答案：［4,5)U(5>+8)

4?已知函數(shù)y=/(x)滿足/(1)=2，且/(x+l)=3/(x)，則/(4)=.

答案：54

f4A?xO

5?已知函數(shù)外)=1、1則{2)=_________，火-2)=_________.

{—X?x>1

答案：一2.

10g3X，X>0，

6?已知函數(shù)y(x)="(1).則滿足方程j(a)=l的所有的值組成的集合為

xWO

答案：{0,3}

.熱點題型-分類突破........析考點強化認(rèn)知

考點一函數(shù)的定義域?------K一般考點?自主練送】I

3x2

［典題1］⑴(2016?淄博模擬)函數(shù)危)=-/亍=+lg(3x+l)的定義域是()

y］l—x

(2)函數(shù):%>0且的定義域為.

(3)若函數(shù)y=/(x)的定義域是［0,2］，則函數(shù)g(x)=§乎的定義域為

1-x>0,1

［聽前試做］(1)要使函數(shù)有意義，需滿足3丫+］>0解得一勺力，

1—pc—1|^0,

⑵由、—WO0W000<x<2,故所求函數(shù)的定義域為(0,2］.

X—1#0,

⑶由得OWxVl,即定義域是［0,1).

0W2xW2,

答案：⑴B(2)(0,2](3)[0,1)

方法?規(guī)律

(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式中各個部分都有意義的自變量的取值集合，在

求解時，要把各個部分自變量的限制條件列成一個不等式(組)，這個不等式(組)的解集就是這

個函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域要寫成集合或者區(qū)間的形式.

(2)①若火X)的定義域為［a,b］,則細(xì)(x))的定義域為aWg(x)WZ)的解集；②若細(xì)㈤)的

定義域為［a,b］,則/(x)的定義域為y=g(x)在［。，6］上的值域.

考點二求函數(shù)的解析式北題根遷移?發(fā)效探究》

［典題2］(1)已知/(x)是二次函數(shù)，且/(0)=0，｛x+l)=/(x)+x+l，則?0=.

(2)已知,則/(x)=.

［聽前試做］⑴設(shè)/(x)=af+6x+c(aW0),

2

由｛0)=0,知c=0,f(x)=ax+bx9

又由/(x+l)=/(x)+x+l,

得a(x+l)2+/)(%+l)=ax2+bx+x+1,

即ax2+(2tz+6)x+?+/?=^x2+(/>+l)x+1,

［2a+b=b+l,i

所以彳,解得a=b=5.

〔a+b=l,2

所以y（x）=；f+$,%￡R.

⑵由于東+0=，++=0,

所以大￥）=》2—2,x22或xW—2,

故於）的解析式是｛工）=/—2,x22或2.

答案：（1）52+%>XGR（2）X2-2，XG（—8，-2］u［2，+°°）

［探究1］若將本例（2）的條件改為4+l）=lgx，如何求解？

222

解：令嚏+1=￡得苫=丁彳，代入得人。=1年二］

又x>0,所以/>1,

2

故加）的解析式是外）=1字=［,x>\.

［探究2］若將本例（2）的條件改為“/（X）的定義域為（0，+8）,且兀v）=2/Qd—1”，

如何求解？

解：在外）=天*一1中，

用;代替x,得yQ=〃（x）七一1,

理硼1

將旺1=需-1代入?=2加—1中,

可求得/(x)=!\&+g.

2r[

即函數(shù)外)的解析式為&)=-^+§,xG(l,+°°).

方東?規(guī)律

函數(shù)解析式的求法

(1)待定系數(shù)法：適合已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)).

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)八g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

(3)配湊法：由已知條件./(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代

g(x),便得/(x)的解析式.

(4)消去法：已知外)與./Q或人一外之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件將x換成十或一x構(gòu)造

出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出./(X).

口變式訓(xùn)練

定義在R上的函數(shù)/(X)滿足_Ax+l)=〃(x).若當(dāng)04<1時，加:)=x(l—x)，則當(dāng)一

l&x<0時，兀c)=.

解析：當(dāng)OWxWl時，7(x)=x(l—x),當(dāng)一IWXWO時，OWx+lWl,

.,.^x+l)=(x+l)[l-(%+1)]=一x(x+1),

111

而.危)=^+1)=一臥27一臥.

...當(dāng)一1WxWO時，/(x)=-/J一;二

答案：一52-gx

考點三分段函數(shù)?-----1(高頻考點■多維研析】I

分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難

度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：

角度一：求分段函數(shù)的函數(shù)值

(1+log?(2—x)?x<l?

[典題3]⑴(2015?新課標(biāo)全國卷U)設(shè)函數(shù)兀v)=1、則人一2)+

[2??

,/(log212)=()

蛔硼I

A-3B.6C.9D.12

,2x3，x<0，

(2)已知函數(shù)Hx)={Jr則>(/(今))=-

［聽前試做］(1)V-2<1,

AX-2)=1+log2(2+2)=l+log24=1+2=3.

Vlog212>l,.,.y(log212)=21og212—1=￥=6.

.\A-2)+/(log212)=3+6=9.

(2)V^=-tanJ=-l,.\y(/(^)=X-l)=2X(-l)3=-2.

答案：(1)C(2)-2

方^*規(guī)律

求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析

式求值，當(dāng)出現(xiàn)加〃))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

角度二：求解參數(shù)的值或取值范圍

［2x~'—2，xW］，

［典題4］(1)(2015?新課標(biāo)全國卷I)已知函數(shù),且/(。)=一3，

1―10g2(x+l)，X>1，

則人6—a)=()

A■B--C--D—-

八4D,4J4u'4

et-1'x<l>

(2)設(shè)函數(shù)加c)={1則使得_/(x)W2成立的x的取值范圍是.

［聽前試做］(1)由于./(〃)=一3,

①若aWl,則2"T—2=-3,整理得2"7=-1.

由于2'>0,所以2"T=-1無解；

②若a>l,則一log2(a+l)=—3,

解得。+1=8,a=7,

所以/(6_。)=/(_1)=2一一|一2=_1

蛔硼I

7

綜上所述，J[6—a)=—^.

(2)當(dāng)x<l時，由e*TW2得xWl+ln2,...xvl;當(dāng)xNl時，由得xW8,1<xW8.

綜上，符合題意的x的取值范圍是xW8.

答案:(l)A(2)(—8，8]

方法?規(guī)律

求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)

自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.

角度三：研究分段函數(shù)的性質(zhì)

1<x>0>

[典題5]⑴(2015?湖北高考)設(shè)xGR，定義符號函數(shù)sgnx=<0，x=0，貝ij()

j—1'x<0>

A?|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|

C?|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx

x+1，x>0，

(2)已知函數(shù)八x)=['則下列結(jié)論正確的是()

cosx'xWO,

A?於)是偶函數(shù)B./(x)是增函數(shù)

C-.危)是周期函數(shù)D.")的值域為L1，+°°)

[聽前試做](1)當(dāng)x<0時，\x\=—x,x|sgnx|=x,xsgn|x|=x,|x|sgnx=(—x)-(—l)=x,

排除A,B,C,故選D.

(2)因為/(兀)=7?+1,八一兀)=一1,所以八一兀)差為0,所以函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)，排除A;

因為函數(shù)7(x)在(一2兀，一兀)上單調(diào)遞減，排除B;函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函

數(shù)人x)不是周期函數(shù)，排除C;因為x>0時，｛x)>l,xWO時，所以函數(shù)人刈

的值域為[-1,+O°),故選D.

答案：(1)D(2)D

易錯?警示

解決分段函數(shù)問題時，一定要注意自變量的取值所在的區(qū)間，要注意分類討論的應(yīng)用.

［課堂歸納——感悟提升］------

［方法技巧］

1.在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點：一是定義域是否相同；二是對應(yīng)關(guān)

系是否相同.

2?函數(shù)表達(dá)式有意義的準(zhǔn)則一般有：(1)分式中的分母不為0；(2)偶次根式的被開方數(shù)

非負(fù)；(3?=x0要求xWO；(4)對數(shù)式中的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1.

3?函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法.

4.分段函數(shù)問題要分段求解.

5?復(fù)合函數(shù)的定義域

(1)若已知函數(shù)次外的定義域為［a,b］,則復(fù)合函數(shù);(g(x))的定義域由不等式

求出.

(2)若已知函數(shù)_/(g(x))的定義域為［a,切，則/(X)的定義域為g(x)在［a,6］上的值域.

［易錯防范.］

1.求函數(shù)定義域時，不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化.

2?利用換元法求解析式時，要注意函數(shù)的定義域.

3?分段函數(shù)中，各段函數(shù)的定義域不可以相交，這是由函數(shù)定義的唯一性決定的.

4?求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題：在求分段函數(shù)的值{X。)時，首先要判斷X。屬于定義域的

哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式

的取值范圍的并集.

.課后作業(yè)?提能演練(四)一練技能查漏補Ik

［全盤鞏固］

一、選擇題

1?函數(shù)ga)=?x+3+log2(6—X)的定義域是()

A-{x|x>6}B.{x|—3<r<6}

C-{x|x>—3}D.{x|-3Wx<6}

x+320,

解析：選D由,解得-3Wx<6,故函數(shù)的定義域為［—3,6).

6—x>0,

2-下列圖像可以表示以M={x|0WxWl}為定義域，以N={x|0WxWl}為值域的函數(shù)的

是（）

ABCD

解析：選CA選項中的值域不對，B選項中的定義域錯誤，D選項不是函數(shù)的圖像,

由函數(shù)的定義可知選項C正確.

3?設(shè)函數(shù)—）=2x+3，g（x+2）=/（x），則g（x）的解析式是（）

A-2x+\B.2x-l

C-2x-3D.2x+7

解析：選B因為g(x+2)=/(x)=lr+3=2(x+2)-l,所以g(x)=2x-l.

[3x-，x<l，

?山東高等)設(shè)函數(shù)，、

4?(2015y(x)=v若&，則b=（）

12,x^i.6））=4

731

A-1B.gC］D?2

解析：選D7（亮）=3X1_b=.-b,若,一即b弓，則3X?-）=竽-4b=4,

75351

解得b=（,不符合題意，舍去；若:一41,即6〈芯則號一6=4,解得b=：.

oZZZZ

4

5?（2016渭南模擬）已知函數(shù)治）==而T的定義域是［a，b］（a，bGZ），值域是［0,1］，

因十，

那么滿足條件的整數(shù)數(shù)對m，3共有（）

A?2個B.3個C.5個D.無數(shù)個

44

解析：選C由題意函數(shù)外）=3石一1的值域是［0』］,???1<E^W2,???0〈兇<2,

|*VII乙I人I?乙

12WxW2,

b］C［-2,2］.

由于x=0時，y=l,x=±2時，y=0,故在定義域中一定有0,而±2必有其一，又a,b

ez,取b=2時，a可取-2,—1,0,取”=-2時，b可取0,1.

故滿足條件的整數(shù)數(shù)對（a,與共有5對.

二、填空題

6?下列集合4到集合B的對應(yīng)/中：

①/={-1,0,1}，5={-1,0,1}'f-A中的數(shù)平方；

②么二步」}-B={-l,0,l}，f-A中的數(shù)開方；

蛔硼I

③/=Z，B=Q>/：A中的數(shù)取倒數(shù)；

④/=R，8=｛正實數(shù)｝，f：A中的數(shù)取絕對值，

是從集合A到集合B的函數(shù)的為.

解析：其中②，由于1的開方數(shù)不唯一，因此/不是/到8的函數(shù)；其中③，/中的元

素0在8中沒有對應(yīng)元素；其中④，/中的元素0在8中沒有對應(yīng)元素.

答案：①

1—y[x，x20，

7?設(shè)/(x)=L/八則9―2))=________.

2?x<0，

解析：因為一2V0,所以-2)=2-2=；>0,

所以媚=L\[1=L3W.

答案：|

(2x+a'x<l?

8,已知實數(shù)，函數(shù)啟)=彳。?若川一0=川+0，則〃的值為________.

[—x—2a，x^l.

解析：當(dāng)心0時，l-a<l,l+a>l,此時｛l-a)=2(l-a)+a=2—%人1+。)=一(1+。)

-2。=-1-3〃.

3

由<1—〃)=/(1+Q)得2—a=-1—3a,解得Q=一,

不合題意，舍去.

當(dāng)。<0時，1—

此時大1-4)=一(1一4)-2〃=一1一①

+〃)=2(1+〃)+〃=2+3〃，

3

由｛1一〃)=川+〃)得一1一〃=2+3知解得。=一不

3

綜上可知，4的值為一不

答案：一亳3

三、解答題

9?已知?/)是一次函數(shù)，且滿足3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17，求;(x)的解析式.

解：設(shè)/(x)=a￥+b(a#O),則譏x+1)一賀工-l)=3ox+3a+36—2ox+2a—2b=ox+5a

+b9

理硼I

即ax+5a+6=2x+17不論x為何值都成立，

fa=2,a=2,

[6+5〃=17,〔6=7,

.g)=2x+7.

10?甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離

都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家.如圖所示表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程y(km)

與時間x(min)的關(guān)系.試寫出y=/(x)的函數(shù)解析式.

解：當(dāng)xC[0,30]時，設(shè)y=Ajx+bi,

6=0,

由已知得，

30后+仇=2,

解得‘115'即y==x.

力?=0.

當(dāng)xW(30,40)時，y=2;

當(dāng)xC[40,60]時，設(shè)y=%2x+/>2,

40公+岳=2,

由已知得,

.60一+電=4,

廿吉,

即尸缶一2.

解得，

b2=-2,

(1

普，xW[0,30],

綜上，/(x)=<2,x￡(30,40),

-^x—2,xG[40,60].

[沖擊名校]

>已知/尸Kf-+clos)7+cvl，x，>x0W，。，則/04、+(4”4、)的值等于()

A-1B.2C.3D.-2

解析：選C—cosy=cosj=1;《一§=《一￡)+1=夠)+2=—cos午+2=g+2

《故局+W=3.

2?定義域為R的函數(shù)滿足於+2)=兆)一2，當(dāng)x￡(0,2]時，m)=

fx2—x，x￡(0?1)，

11若xe(0,4]時，，2一4《心)恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是()

[->XG[1-2]>2

「一51

A-[1,2]B.|_2，2

「51

C.p，2JD.[2，+?>)

解析：選C當(dāng)xG(2,3)時，x-2S(0,l),則義x)=〃(x-2)—2=2(》-2)2—2(》一2)—2,

即為")=2/一10x+10,

當(dāng)xe[3,4]時，x-2G[l,2],

2

則以)=g_2)_2=_一2.

當(dāng)XG(O,1)時，當(dāng)x=；時，/(X)取得最小值，且為一：；

當(dāng)xG[l,2]時，當(dāng)x=2時，取得最小值，且為

當(dāng)xG(2,3)時，當(dāng)x=|時，/⑶取得最小值，且為一|；

當(dāng)xC[3,4]時，當(dāng)x=4時，/)取得最小值,且為一1.

綜上可得，於)在(0,4]的最小值為一|.

、7/

若(0,4]時，廠一5W7(x)恒成立，

則有『一六一|.解得iww|.

2

3?已知函數(shù)/(x)=]+x工2，xWR

⑴求危)+4)的值；

(2)計算：A1)+X2)+A3)+X4)+TQ)+/(|)+/(|).

1

解：(1)由人X)+./(￡)=]；/+]+t=]；x2+[；》2=]+4=L

理硼1

(2)原式=穴1)+<2)+?]+'/(3)+心)+{4)+4)=3+3=稱

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

考綱要求：1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.

2?會利用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

基礎(chǔ)知識?自查自糾憶教材夯基提能

1?函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)與減函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

定義在函數(shù)y=/(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A,h，如果對于任意兩個數(shù)Xi，X2^A

當(dāng)Xi<X2時，都有/由)>/(五>，那么就

當(dāng)X[<X2時，都有〃XD<〃X2)，那么就稱

稱函數(shù)〉=/(%)在區(qū)間A上是減少的，

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間Z上是增加的，有時

有時也稱函數(shù)夕=/)在區(qū)間/上是

也稱函數(shù)y=?x)在區(qū)間A上是遞增的

遞減的

工V

圖像描述

0XlX2x

自左向右看圖像是逐漸上升的自左向右看圖像是逐逝上隆的

(2)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及單調(diào)函數(shù)

①單調(diào)區(qū)間：如果y=/(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么稱必為單調(diào)區(qū)間，在單

調(diào)區(qū)間上，如果函數(shù)是增加的，那么它的圖像是上升的;如果函數(shù)是減少的，那么它的圖像

是下降的.

②單調(diào)性：如果函數(shù)夕=段)在定義域的某個子集上是增加的或是減少的，那么就稱函數(shù)

y=/(x)在這個子集上具有單調(diào)性.

③單調(diào)函數(shù)：如果函數(shù)y=/(x)在整個定義域內(nèi)是增加的或是減少的，那么分別稱這個函

數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

2?函數(shù)的最值

一般地，對于函數(shù)y=/(x)，其定義域為D，如果存在xCO，/(xo)=M，使得對于任意的

X&D，都有於1W8，那么，我們稱好是函數(shù)y=Ax)的最大值，即當(dāng)x=xo時，寅X。)是函數(shù)V

蛔硼I

=/(X)的最大值1記作"max=/(&)?

［自我查驗］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0，+°°).()

(2)相同單調(diào)性函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)還具有相同的單調(diào)性.()

(3)若定義在R上的函數(shù)兀v)，有八一1)勺(3)，則函數(shù)八x)在R上為增函數(shù).()

(4)函數(shù)y=/(x)在［1，+8)上是增函數(shù)>則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1-+8).()

(5)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個函數(shù)在定義域上是增

函數(shù).()

(6)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X

2-函數(shù)—2x(xG［2,4］)的增區(qū)間為.

答案：［2,4］

3?若函數(shù)y=(2A+l)x+b在(-8,+8)上是減函數(shù),則上的取值范圍是.

答案：(一8，一

2..............

4-函數(shù)D=L］在［—65-2］上的最大值和最小值分別是.

答案：-尹2J2

■熱點題型-分類突破析考點強化認(rèn)知

考點一函數(shù)單調(diào)性的判斷?-----K一般考點?自主練送】I

x+2

［典題1］(1)判斷函數(shù)^=干在(一1，+8)上的單調(diào)性.

(2)判斷并證明函數(shù)於戶法(其中A0)在xe(—1,1)上的單調(diào)性.

［聽前試做］(1)法一：任取X］,小￡(—1,+°°),且X|0f2,

X］+2M+2____M一兩

刻乃->2=7+1—必+1=(修+1)(必+

1,工2>_1,

.*.X]+1>0,X2+1>0,

又如〈了2,X1>O,

蛔硼I

歷―Xlr

???S+DS+l”即力一%>°?*%，

x+2

所以函數(shù)y=R~j■在(-1,+8)上是減函數(shù).

x+21

法、土—一：y—x+「1+■》+「

\y=x+1在(-i,+8)上是增函數(shù)，

?力=:[在(-1,+8)上是減函數(shù)，

.??》=1+不卜在(-1,+8)上是減函數(shù).

x+2

即函數(shù)^=方7在(-1,+8)上是減函數(shù).

(2)法一：(定義法)設(shè)一1<￥1〈工2V1,

則以1)一/g=3_]一艱_]

?X岳一g-gx；+畛

(X|-1)(X2-1)

_。(X2]為)(工產(chǎn)2+1)

(Xj-1)(X2-1)

*/—1<X\<X2<\,

.?.冷一西>0,X\X2^~1>0,(X；—1)(/—1)>0.

因此當(dāng)a>0時，於。一/(工2)>0,

即/(修巨心2),所以函數(shù)九:)在(一1,1)上為減函數(shù)?

法二：(導(dǎo)數(shù)法)

7。(――1)—2以2—〃(/+])

f3=-=d)2.

又a>0,所以/'(X)<0,

所以函數(shù)人X)在(-1,1)上為減函數(shù).

方法*規(guī)律

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法

(1)定義法：取值，作差，變形，定號，下結(jié)論.

(2)利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系：若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函

數(shù)，若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異減”.

(3)圖像法：從左往右看，圖像逐漸上升，單調(diào)增；圖像逐漸下降，單調(diào)減.

蛔硼I

（4）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性.

考點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?------K題根遷移?發(fā)散探究】I

［典題2］求函數(shù)<x）=-f+2|x|+l的單調(diào)區(qū)間.

［聽前試做］

［—X2+2X+1,x20,

外）=2,,.右。

［—x—2x十1,x<0

—（x—1）2+2,X20,

—?

—（x+l）2+2,X<0.

畫出函數(shù)圖像如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為（—8,一］］和［（J,］］,單調(diào)遞減區(qū)間為［一

1,0］和口，+8）.

［探究1］若將本例中函數(shù)變?yōu)槭絰）=|—f+2x+l|，如何求解？

解：函數(shù)y=|—x2+2x+l|的圖像如圖所示.由圖像可知，函數(shù)y=|-x2+2r+l|的單調(diào)

遞增區(qū)間為（1一也，1）和（1+啦，+8）；單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,1一啦）和（|,1+陋）.

［探究2］若將本例中函數(shù)變?yōu)?r）=寸一+2網(wǎng)+1>如何求解？

解：由一一+2慟+1》0,得1—q^W|x|Wl+，^，

又|x|20,...0W|x|Wl+6，

即一1—也WxW1+也.

根據(jù)函數(shù)圖像可知，y（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［一1一也，-1］和［0』］,單調(diào)遞減區(qū)間為［一

1,0］和［1,1+也］.

［探究3］若將本例中函數(shù)變?yōu)橥猓?10看（一一+2兇+1）-如何求解？

解：要使函數(shù)有意義，應(yīng)有一f+2|x|+l>0,即一1一啦〈xvl+也.

111

又函數(shù)/（x）=lo皈（一fo+2兇+1）是函數(shù)y=Io切/和//=—X2+2|X|+1的復(fù)合函數(shù)，

蛔硼I

，函數(shù)外)=103一丫2+2博+1)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一1,0)和(1,1+啦)，單調(diào)遞減區(qū)間為

(-1-^2,-1)和(0,1).

方東?規(guī)律

函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)

的定義域.對于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)、指數(shù)函數(shù)等.

(2)如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單

調(diào)性，再根據(jù)“同增異減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用?---1【高頻考點?多維研析】I

高考對函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也應(yīng)用于解答題中的某

一問中，且主要有以下幾個命題角度：

角度一：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

fl

一，1，

［典題3］⑴函數(shù)加)=產(chǎn)’的最大值為.

X2+2，x<l

(2)已知函數(shù)/(x)=4x+!(l—x)3>0)'且在［0,1］上的最小值為g(a)，求g(a)的最大值.

［聽前試做I(1)當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，所以兀。在x=l處取得最大值，為

y(l)=l;當(dāng)x<l時，易知函數(shù)/(x)=-f+2在x=0處取得最大值，為人0)=2.故函數(shù){x)的

最大值為2.

(2族)=，/-!}+：,

當(dāng)°>1時，a-^>0,此時兀0在［0,1］上為增函數(shù)，

???g(a)=/(0)=；：

當(dāng)0<a〈l時，。一30,此時兀0在［0,1］上為減函數(shù)，

當(dāng)a=\時，y(x)=l,此時g(a)=l.

a,0<?<1,

-g(?)=]1

匕心1，

，g(a)在(0,1)上為增函數(shù)，在［1,+8)上為減函數(shù)，又。=1時，有。=［=1,

...當(dāng)a=l時，g(a)取最大值1.

答案：⑴2

方東?規(guī)律

利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值，即如果函數(shù)y=/(尤)在區(qū)間［出們上單調(diào)遞增，

在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,c］上的最大值是人6);如果函數(shù)y=/(x)

在區(qū)間［a,加上單調(diào)遞減，在區(qū)間［Z>,c］上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,c］上的最小

值是人份.

角度二：利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式

［典題4］(1次0是定義在(0，+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足曲)=〃)+/&),加)=1，當(dāng)

,/(x)+/(x-8)^2時，x的取值范圍是()

A-(8-+8)B.(8,9］

C-［8,9］D.(0,8)

(2)(2015?新課標(biāo)全國卷II)設(shè)函數(shù)兀v)=ln(l+W)一■;■三，則使得人力況2%—1)成立的x

的取值范圍是()

Di-加Q，+8)

[聽前試做](1)2=1+1=/(3)+/(3)=/(9),由8)W2,可得8)]W/(9),

x>0,

因為/(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，所以有上一8>0,解得8<xW9.

Mx-8)W9,

蛔硼I

(2)法一：Vy(—x)=ln(1+1—x|)-j+^2=/x),

二函數(shù)Hx)為偶函數(shù).

：當(dāng)x^O時，/(x)=ln(l+x)-

在(0,+8)上y=[n(l+x)遞增，y=-j也遞增,

根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，外)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

綜上可知：/x)>/(2x-1)號川x|)次|2*-1|)<=>|X|>|2X-ip?>(2x-1)2<^3X2-4X+K0<^|

v%vl.故選A.

法二：(特殊值排除法)

令x=0,此時/(x)=/(0)=—1<0,

/(2x-l)=X-l)=ln2-1=ln2-ln#>0,

.,.x=0不滿足/(x)>/(2x—1),故C錯誤.

令x=2,此時加)=負(fù)2)=1113—1,心—1)=/(3)=1114—=；/(2)—/(3)=1113_1114_6

其中In3〈ln4,In3—ln4—=<0,

.?J⑵一/(3)<0,

即人2)勺(3),；.x=2不滿足以)42%—1),

故B,D錯誤.

答案：(1)B(2)A

方東?規(guī)律

求解含，尸的不等式問題，應(yīng)先利用已知條件將不等式轉(zhuǎn)化為大片)次2)的形式，然后再根

據(jù)其單調(diào)性脫掉函數(shù)，了，這層外衣，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X|與X2的不等式問題求解.

角度三：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

[典題5](1)如果函數(shù);(x)=ax2+2x—3在區(qū)間(一8，4)上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的

取值范圍是()

A.(-：>+°°jB.-；，+8)

C.[-1，0)D.-0

蛔硼I

—f+4x，xW4，

(2)設(shè)函數(shù)")=,'若函數(shù)夕=於)在區(qū)間(a，a+1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)

log2x，x＞4.

a的取值范圍是()

A?(一8,1]B.[1,4]

C-[4'+?>)D.(-00>1]U[4'+~)

f(2—a)x+l5x<l>

(3)已知Hx)=<、.、滿足對任意XIWM，都有二>0成立，那么a

[a，，X1X2

的取值范圍是.

［聽前試做］(1)當(dāng)。=0時，加0=2%—3,在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(一8,4)

上單調(diào)遞增：

當(dāng)。#0時，二次函數(shù),危)的對稱軸為x=一十,

因為y(x)在(一8,4)上單調(diào)遞增，

所以。＜0,且一方》4,解得0＞。)一點

綜上所述得一：WaW0.

(2)作出函數(shù);(x)的圖像如圖所示，由圖像可知;(x)在(a,a+1)上單調(diào)遞增，需滿足

或“+1W2,即或Q24,故選D.

y尸log/GX)

~~)o24%

y=-x2+4x

G44)

(3)由已知條件得/(x)為增函數(shù)，

2—。＞0,

3

???伊＞1,解得,WQV2,

、(2一。)義1+1〈凡

二a的取值范圍是方，2).

答案：(1)D(2)D(31|'2)

易錯-警示

已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍的兩點注意:

蛔硼I

(1)若函數(shù)在區(qū)間［。，加上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的.

(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.

-----------------------［課堂歸納——感悟提升］---------------------------------

［方法技巧］

1.利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)取值；(2)作差；(3)變形；(4)定號；(5)下結(jié)論.

2?判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

(1)定義法；(2)復(fù)合法：同增異減；(3)導(dǎo)數(shù)法；(4)圖像法.

3?設(shè)任意X1，X2e［?>6］且X1〈X2，那么

(11")二"")>0臺段)在［a,6］上是增函數(shù)；/3)二/°”<0號G)在［a,切上是減函數(shù).

X\-X2X\―X2

(2)(X1—X2)L/(X|)一加2)］>0母危)在［a,切上是增函數(shù)；S-X2)LAxi)一/2)］<0<=>/(x)^［a,

們上是減函數(shù).

［易播防范］

1.區(qū)分兩個概念：”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)"，前者指函數(shù)具備單

調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.

2?若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集.

■課后作業(yè)?提能演練(五)........練技能查漏補缺

［全盤鞏固］

一、選擇題

1?下列四個函數(shù)中，在(0-+8)上為增函數(shù)的是()

A?