數(shù)值分析插值法第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn)x0…xn處測得函數(shù)值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿足條件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的g(x)稱為f(x)的插值函數(shù)。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日根據(jù)實(shí)際需要，可以用各種不同的函數(shù)來近似原來的函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是…?多項(xiàng)式：代數(shù)多項(xiàng)式最簡單，計(jì)算其值只需用到加、減乘運(yùn)算，且積分和微分都很方便；所以常用它來近似表示表格函數(shù)(或復(fù)雜函數(shù)),這樣的插值方法叫做代數(shù)插值法，簡稱插值法。第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日§1拉格朗日多項(xiàng)式niyxPiin,...,0,)(==求n次多項(xiàng)式使得條件：無重合節(jié)點(diǎn)，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。)(1xP101xxxx--010xxxx--=y0

+y11.1線性插值兩點(diǎn)式)()(0010101xxxxyyyxP---+=點(diǎn)斜式)(001010xxxxxxy---+=(())ff第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.2二次插值n=2已知x0

,x1

,x2;

y0

,

y1

,y2,求使得002,)(yxP112)(yxP==222)(yxP=,為求P2(x),將三點(diǎn)代入其表達(dá)式,即可得到三個(gè)方程式,從而聯(lián)立方程組解出系數(shù)a0,a1,a2即可:方程組的解是否存在?若存在解,是否唯一?!當(dāng)x0

,x1

,x2互異時(shí),方程組的解存在且唯一.注：顯然有,求n次插值時(shí),由n+1個(gè)點(diǎn)可有n+1個(gè)方程,聯(lián)立方程組即可求出插值多項(xiàng)式的n+1個(gè)系數(shù).然而,方程組的求解也并不是一件容易的事。1.2.1待定系數(shù)法第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日對(duì)于線性插值的兩種形式解進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā),就有了所謂的拉格朗日插值法(公式)和牛頓插值(公式).我們先來看看如何得到二次拉格朗日插值公式（和牛頓插值公式（為討論方便，留待后述））.第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日首先,線性插值的兩點(diǎn)式可看作是兩個(gè)特殊的一次式的一種線性組合.101xxxx--010xxxx--)(1xP=y0

+y1==10)(iiiyxl兩點(diǎn)式l0(x)l1(x)實(shí)質(zhì)上（）和（）即是滿足函數(shù)表的一次插值多項(xiàng)式,稱l0(x)和l1(x)為以x0,x1為節(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式，也稱為線性插值的插值基函數(shù)。于是，線性插值即是用基函數(shù)的線性組合來構(gòu)造的.1.2.2基函數(shù)法稱為拉氏基函數(shù)，滿足li(xj)=ij

顯然有l(wèi)0(x)+l0(x)≡1.這里，l0(x)和l1(x)具有如下性質(zhì)：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1,第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基函數(shù)來線性組合:這時(shí)，l0(x),l1(x),l2(x)都是二次多項(xiàng)式，且應(yīng)滿足滿足(2.1)式的li(x)是否存在?若存在，具有什么形式呢?（2.1）第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日同理可得

l1(x)＝1(x－x0)(x－x2),

l2(x)＝2(x－x0)(x－x1),1＝(x1－x0)(x1－x2)12＝(x2－x0)(x2－x1)1此即二次拉格朗日插值公式,其中,l0(x),l1(x),l2(x)是滿足(2.1)的特殊(基本)二次插值多項(xiàng)式;稱為二次插值基函數(shù).P2(x)=y0+y1+y2(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2)(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)先考慮l0(x)。因l0(x)是以x1,x2為零點(diǎn)的二次多項(xiàng)式,所以它可寫成l0(x)＝0(x－x1)(x－x2),其中0

是待定系數(shù)。又因?yàn)閘0(x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，則可有0＝(x0－x1)(x0－x2)1

l0(x)＝0(x－x1)(x－x2),

第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日n

1希望找到li(x)，i=0,…,n使得

li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi。li(x)每個(gè)li有n個(gè)根x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(

拉格朗日多項(xiàng)式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點(diǎn)f1.3n次插值第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日定理(唯一性)滿足的n階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。【P14】證明：(存在性可利用Vandermonde行列式論證)反證：若不唯一，則除了Ln(x)外還有另一n階多項(xiàng)式Pn(x)滿足Pn(xi)=yi。考察則Qn的階數(shù)n而Qn有個(gè)不同的根n+1x0…xn注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n，則插值多項(xiàng)式不唯一。例如也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式。第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日設(shè)節(jié)點(diǎn)在[a,b]內(nèi)存在,考察截?cái)嗾`差，且f

滿足條件,Rolle’sTheorem:若充分光滑，，則存在使得。推廣：若使得使得存在使得Rn(x)至少有個(gè)根n+1=-=niinxxxKxR0)()()(任意固定x

xi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2個(gè)不同的根x0…

xn

x!)1()()()1(+-+nxKRxnnx注意這里是對(duì)t求導(dǎo)=+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx

1.4插值余項(xiàng)

(Remainder)第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日注：

通常不能確定x

,而是估計(jì),x(a,b)將作為誤差估計(jì)上限。當(dāng)f(x)為任一個(gè)次數(shù)n

的多項(xiàng)式時(shí)，,可知，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)n的多項(xiàng)式是精確的。第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日例1求經(jīng)過A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三個(gè)插值點(diǎn)的插值多項(xiàng)式.解：三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為由拋物插值公式得第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例2：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計(jì)算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

(extrapolation)的實(shí)際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

(interpolation)的實(shí)際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的x所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日

例3考慮下述的插值法問題：求二次多項(xiàng)式P(x)，滿足P(x0)=y0,其中是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問題的解存在且唯一的條件.解：設(shè)則由已知條件有即所以故原問題的唯一可解性就歸結(jié)為上述方程組的唯一可解性而后者唯一可解的充要條件為這就是P（x）存在且唯一的條件。第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日回顧拉格朗日插值公式

1.5拉格朗日插值公式的優(yōu)缺點(diǎn)第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日n

1希望找到li(x)，i=0,…,n使得

li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi。li(x)每個(gè)li有n個(gè)根x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(

拉格朗日多項(xiàng)式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點(diǎn)f拉格朗日插值公式

第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日Lab1.LagrangePolynomialGivenasetofsamplepointsofacertainfunctionf,useLagrangepolynomialtoapproximatefunctionvaluesatsomegivenpoints.InputThereareseveralsetsofinputs.Foreachset: The1stlinecontainsaninteger20n0

whichisthedegreeofLagrangepolynomial.n=1signalstheendoffile. The2ndlinecontainsn+1distinctrealnumbers. The3rdlinecontainsn+1realnumbers. Thelastlineofatestcaseconsistsofanintegerm>0andmrealnumbers.Thenumbersareseparatedbyspacesandnewlines.第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日Output(representsaspace)Foreachai,youaresupposedtoprintthefunctionvalueatthispointinthefollowingformat:fprintf(outfile,"f(%6.3f)=%12.8e\n",a,f);Theoutputsoftwotestcasesmustbeseperatedbyablankline.

SampleInput70.50.70.91.11.31.51.71.90.480.640.780.890.961.000.990.9550.741.60.551.21.8510.01.00.01.010.5–1SampleOutputf(0.740)=6.68735821e–001f(1.600)=1.00341309e+000f(0.550)=5.26938820e–001f(1.200)=9.29135742e–001f(1.850)=9.52078056e–001

f(0.500)=5.00000000e–001第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日

Lagrange插值公式(利用插值基函數(shù)很容易得到):含義直觀,結(jié)構(gòu)緊湊,在理論分析中非常方便;計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)也很容易.也有一些缺點(diǎn)：

一是計(jì)算量大，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)計(jì)算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項(xiàng)都要改變，還要增加一項(xiàng)計(jì)算。

為克服上述兩個(gè)缺點(diǎn),

努力：把插值多項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的形式。希望：計(jì)算改變的過程中,盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)果.

下面我們將看到,這是可能的。我們可以有具有“承襲性”的所謂牛頓公式。第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日差商第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日)()(0010101xxxxyyyxP---+=)(001010xxxxxxy---+=(())fff[x0,x1]二次牛頓插值多項(xiàng)式我們再看線性插值的點(diǎn)斜式:)(00xxy-+=f[x0,x1]常數(shù)(差商)由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的組合表達(dá)式:P2(x)=0+1(x-x0)+2(x-x0)(x-x1)利用P2(x0)=y0有:0=y0,利用P2(x1)=y1有:1=0101xxxx--(())ff=f[x0,x1],利用P2(x2)=y2有:2=f[x0,x1]

(x2-x0)(x2-x1)

(x2-x0)(x2-x1)0xx2-(())ff

(x2-x0)-f[x0,x2]f[x0,x1]

x2-x1

=-=f[x0,x1,x2];P2(x)=f(x0)

+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x0,x2]

x=x0時(shí)0第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日注:1.事實(shí)上,從上述可看出二次牛頓插值公式是用待定系數(shù)法求得的;2.它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線性組合:P2(x)=f(x0)

+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x0,x1],f[x0,x1,x2]f(x0),

1,(x-x0),(x-x0)(x-x1)即函數(shù)的線性組合,組合系數(shù)為本質(zhì)上還是基函數(shù)法.第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日更一般地，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，我們希望由上述類似的一組特殊函數(shù)：來線性組合為：1,(x-x0),(x-x0)(x-x1)，……，(x-x0)(x-x1)…(x-xn)那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？我們同樣可用待定系數(shù)法.容易發(fā)現(xiàn),計(jì)算a0,a1,a2,…,an

是很有規(guī)律的.第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日一、均差及其性質(zhì)§2牛頓插值當(dāng)x=x0時(shí)，Pn(x0)=a0=f0.當(dāng)x=x1時(shí)，Pn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f1,推得a1=f1-f0x1-x0當(dāng)x=x2時(shí)，Pn(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)=f2,推得f1-f0x1-x0-f1-f0x1-x0a2=x2-x1依次遞推可得到a3,…,an.為寫出系數(shù)ak的一般表達(dá)式,先引進(jìn)如下均差定義.第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日定義2稱為函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)x0,xk的一階均差.稱為f(x)的二階均差.一般地,稱為f(x)的k階均差(差商).f[x0,xk]=f(xk)-f(x0)xk-x0f[x0,x1,xk]=f[x0,xk]-f[x0,x1]xk-x1f[x0,x1,…,xk]=f[x0,…,xk-2,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]xk-xk-1均差有如下的基本性質(zhì):1ok階均差可表示為函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xk)的線性組合,即f[x0,x1,…,xk]=f(xj)(xj-xj+1)…(xj-xk)…(xj-xj+1)(xj-x0)∑

kj=0這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明.這個(gè)性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān),稱為均差的對(duì)稱性,即f[x0,x1,…,xk]=f[x1,x0,x2,…,xk]=…=f[x1,…,xk,x0]第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日f[x0,x1,…,xk]=f[x1,…,xk-1,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]xk-x02o由性質(zhì)1o可得:f[x0,x1,…,xk]=f(n)(ξ)n!3o若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn[a,b],則n階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下:這個(gè)公式可直接用羅爾定理證明.所以第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日12…………n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)ai=

f[x0,…,xi]二、牛頓插值公式第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日Rn(x)Nn(x)ωn+1(x)多項(xiàng)式Nn(x)顯然滿足插值條件,即Nn(xj)=f(xj),(j=1,…,n),且次數(shù)不超過n,由唯一性定理它就是前述的Ln(x),其系數(shù)為

Nn(x)稱為牛頓均差插值多項(xiàng)式,它比拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算量省,且便于程序設(shè)計(jì).第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日注：

由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即實(shí)際計(jì)算過程為f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]均差計(jì)算可列均差表如下：第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日

例1依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過3次的拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x),并驗(yàn)證插值多項(xiàng)式的唯一性.

解:(1)拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x).插值基函數(shù)xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多項(xiàng)式為:第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日xkf(xk)

一階均差二階均差三階均差0119822314343-10-8(2)牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x).建立如下差商表牛頓插值多項(xiàng)式為:(3)唯一性驗(yàn)證.通過比較牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式,知:Nn(x)=Ln(x)這一事實(shí)與插值多項(xiàng)式的唯一性一致.第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日2第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日等距節(jié)點(diǎn)插值公式

向前差分iiifff-=+1ikikikikffff1111)(-+---==向后差分111----=ikikikfffi1iifff-=中心差分其中當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí):第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日差分的重要性質(zhì)：

線性：例如若f(x)是m次多項(xiàng)式，則是次多項(xiàng)式，而差分值可由函數(shù)值算出：=-+-=Dnjjknjknfjnf0)1(=-+--=njnjkjnknfjnf0)1(其中函數(shù)值可由差分值算出：kjnjknfjnfD=+=0kkkhkfxxf!],...,[00D=knkknnnhkfxxxf!],...,,[1=--kkkhff0)()(D=x由Rn表達(dá)式第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日牛頓公式牛頓前差公式牛頓后差公式將節(jié)點(diǎn)順序倒置：設(shè)，則)()()(000xfkthtxNxNknknn=+==設(shè)，則)()1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN--=+==注：一般當(dāng)x靠近x0時(shí)用前插，靠近xn時(shí)用后插，故兩種公式亦稱為表初公式和表末公式。第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日§3厄爾米特插值不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。即：要求插值函數(shù)(x)滿足(xi)=f(xi),’(xi)=f’(xi),…,(mi)(xi)=f

(mi)(xi).注：

N個(gè)條件可以確定階多項(xiàng)式。N

1要求在1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0處直到m0

階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為Taylor多項(xiàng)式其余項(xiàng)為一般只考慮f與f’的值。第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日例：設(shè)x0

x1x2,已知f(x0)、f(x1)、f(x2)和f’(x1),求多項(xiàng)式P(x)滿足P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且P’(x1)=f’(x1),并估計(jì)誤差。模仿Lagrange多項(xiàng)式的思想，設(shè)解：首先，P

的階數(shù)=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f’xhxfxPh0(x)有根x1,x2，且h0’(x1)=0x1是重根。)()()(22100xxxxCxh--=又:h0(x0)=1C0h2(x)h1(x)有根x0,x2

))()(()(201xxxxBAxxh--+=由余下條件h1(x1)=1和

h1’(x1)=0可解。與h0(x)完全類似。

(x)h1有根x0,x1,x2

h1))()(()(2101xxxxxxCx---=h1又:’(x1)=1C1

可解。其中hi(xj)=ij,hi’(x1)=0,

(xi)=0,

’(x1)=1h1h1與Lagrange分析完全類似第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日一般地，已知x0

,…,xn

處有y0

,…,yn

和y0’

,…,yn’，求H2n+1(x)滿足H2n+1(xi)=yi，H’2n+1(xi)=yi’。解：設(shè)+=ni)()()(=0iixhxhyixH2n+1n=0iyi’其中hi(xj)=ij,hi’(xj)=0,

(xj)=0,

’(xj)=ij

hihihi(x)有根x0

,…,xi,…,xn且都是2重根)()()(2xlBxAxhiiii+=由余下條件hi(xi)=1和

hi’(xi)=0可解Ai

和Bi

(x)hi有根x0

,…,xn,除了xi

外都是2重根hi)()(iili2(x)xxCx-=hi又:’(xi)=1Ci

=1hi)(x)(ili2(x)xx-=設(shè)則這樣的Hermite插值唯一第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日

求Hermite多項(xiàng)式的基本步驟：寫出相應(yīng)于條件的hi(x)、hi(x)的組合形式；對(duì)每一個(gè)hi(x)、hi(x)找出盡可能多的條件給出的根；根據(jù)多項(xiàng)式的總階數(shù)和根的個(gè)數(shù)寫出表達(dá)式；根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)；最后完整寫出H(x)。第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日§4分段低次插值RememberwhatIhavesaid?IncreasingthedegreeofinterpolatingpolynomialwillNOTguaranteeagoodresult,sincehigh-degreepolynomialsareoscillating.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為Runge現(xiàn)象Ln(x)f(x)分段低次插值第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日

分段線性插值

在每個(gè)區(qū)間上，用1階多項(xiàng)式(直線)逼近f(x):記，易證：當(dāng)時(shí)，一致失去了原函數(shù)的光滑性。

分段Hermite插值

/*Hermitepiecewisepolynomials*/給定在上利用兩點(diǎn)的y及y’構(gòu)造3次Hermite函數(shù)導(dǎo)數(shù)一般不易得到。Howcanwemakeasmoothinterpolationwithoutaskingtoomuchfromf?Headache…第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日§5三次樣條第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日定義設(shè)。三次樣條函數(shù),且在每個(gè)上為三次多項(xiàng)式。若它同時(shí)還滿足則稱為f的三次樣條插值函數(shù)注：三次樣條與分段埃爾米特插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而埃爾米特插值依賴于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的三彎矩法

在上，記],[for)()(1][jjjxxxxSxS-=對(duì)每個(gè)j,此為3次多項(xiàng)式則S[j]”(x)為次多項(xiàng)式，需個(gè)點(diǎn)的值確定之。12設(shè)S[j]”(xj1)=Mj1，S[j]”(xj)=Mj

對(duì)應(yīng)力學(xué)中的梁彎矩，故名對(duì)于x

[xj1,

xj

]可得到S[j]”(x)=jjjjjjhxxMhxxM11---+-積分2次，可得S[j]’(x)和S[j](x)：jjjjjjjAhxxMhxxM+-+-----2)(2)(21121S[j]’(x)=jjjjjjjjBxAhxxMhxxM++-+---6)(6)(3131S[j](x)=利用已知S[j](xj1)=yj1S[j](xj)=yj

可解第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日jjjj