專題二函數概念及其基本性質

考綱專題解讀

:考點分布i[考點分頻I考綱內容命題趨勢I

內容探究：1高考中常以基本初等函數為載體，與不等、

1.了解構成函數的要素.會求一整

4“4

荷單函數的定義域和值域；了n或饗合才直語數的定義域、值域、解析式的求法以及分

1.函數及其表示

映射的格念.段函數的求值等問題.

,5年35考

2.在實際情境中.會根據不同的需2.以基本初等語數為或體，與導數結合，考查函數單

要選擇恰當的方法(如圖象法.調性的判斷、函數單調區(qū)間及函數最值的求法.

44

列表法.II析法)表示的數

3曲敏的奇偶他、同期怏、單調性的集合應用是高考的

2.函數的單調性與

3.了儡簡單的分段函數.并能簡單

最值熱點.

*5年19考應用.

形式探究：本專題在高考中多以選擇粉、填空題的形式

4.理解函數的單調性、最大值、最

考查函數的定義域、分段函數求值及函數的奇偶性與周

…白小值及其幾何意義；結合具體函

期性.分值為5分,屬中低檔flh與不等式、方程等培

3.函數的奇偶性與數.了解函數奇偶性的含義.

周期性■r5年34考5會.運用由數圖象理II和研究的數合.以解答■的形式考查函數的單調性與最值，分值為

的性質.12分左右,屬于中檔H

考點題組訓練

函數及其表示束哀束第?

IJ

第，1生試真題

A組新題速遞

1.(2015?湖北，6,易)函數｛x)=q二百+ig匚丹心的定義域為()

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

’4一|x|N0,

【答案】C要使函數有意義，則<:一-7—>0,

x~3

、xW3,

解得2VxW4且xW3,

所以定義域為(2,3)U(3,4].

2,xWl,

2.(2015?課標I,10,中)已知函數/(x)=t:：且/⑷

I—10g2(x+1),X>1,

=—3,則/(6—a)=()

75

-

--

A.4B.4

【答案】A若/(a)=2"T—2=-3,a?。；若。>1,得一log2(a+

7

1)=—3,解得a=7,所以/(6—a)=/(-1)=一彳，選A.

3x~b,x<1,(,5、、

3.(2015?山東，10,中)設函數/(x)=.、，若ff2=4,則

12,I

b=()

7

A.1B.oQ

31

C-4D2

【答案】D/島)=沁若|-6V1,即b>|時，3仔-。-b=4,解得b

=[，不符合題意，故舍去；若5一g1,即反孤，得2(-6=4,解得b=\.

OZZZZ

故選D.

思路點撥：先計算出/(|)的值，再根據/(得)的取值范圍進行討論，最后解

方程求得6的值.

[1,x>0,

4.(2015?湖北，7,中)設x￡R,定義符號函數sgnx={0,x=0,貝lj()

l-l,x<0.

A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx

【答案】D當xVO時，x|sgnx|=x<0,排除A；

xsgn|x|=x<0,排除B；

|x|sgnx=-|x|,排除C,故選D.

5.(2015?浙江，12,易)已知函數,6則{/(—2))=

x+—x-6,x>l,

，Hx)的最小值是.

【解析】?/./(-2)=4,

???/(/(-2))=/(4)=

當xWl時，j[x)=x2,

求得/(X)min=0.

當x>1時，/(x)=x+一一622乖一6,當且僅當x=#時取“=”.

x

???一X)min=2#-6<0.

丁./(x)的最小值是2#-6.

【答案】276-6

B組經典回顧

1.(2014?山東，3,易)函數/(x)=-廣,：的定義域為()

A/log2x-l

A.(0,2)B.(0,2]

C.(2,+8)D.[2,+8)

【答案】C要使函數有意義，

log2%—1>0,

須滿足解得x>2.

x>0,

(1,x>0,

2.(2012?福建，9,中)設/(x)={0,x=0,[1,x為有理數，

g(x)=',0,x為無理數，則煙"))

[—1,x<0?

的值為()

A.1B.0C.-1D.n

【答案】B因為“為無理數，所以g(n)=0,故_Ag(加))=火0)=0.

方法點撥：分段函數求值的關鍵是分清自變量所在的區(qū)間所對應的函數解析

式，復合函數求值要由里到外逐層求值.

'2X,x>0,

3.(2011?福建，8,中)已知函數/)=J,,若人0+41)=0,則實數

+1,xWO.

?的值等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A依題意，Xa)=-/(l)=-2,=-2,

V2v>0,.'.aWO,.?./(a)=a+l=—2,故。=-3,故選A.

思路點撥：首先由/(。)+/(1)=0,求/(a)的值，再根據人a)的值判斷出火a)對

應的解析式，求出a的值.

4.(2014?浙江,7,中)已知函數/)=x3+/+bx+c,且0勺(-1)=/(一2)

=/(—3)W3,則()

A.cW3B.3<cW6C.6<cW9D.c>9

【答案】C由已知得/(—1)=-1+a—b+c=/(—2)=-8+4a—2b+c,

所以3a—b=7.①

/(—l)=-l+a—b+c=/(—3)=-27+9a—3b+c,所以4a—b=13.②

聯立①②解得a=6,b=ll,

所以段)=/+6工2+llx+c.

又0</(-1)W3,即0<c—6W3,

：.6<c^9.

思路點撥：首先由火-1)=人-2)=<-3),用待定系數法求出a,b的值，再

利用不等關系求出c的取值范圍.

5.(2013?陜西，10,難)設田表示不大于x的最大整數，則對任意實數x,

有()

「.H

A.[―x]=—[x]B.x+]=[x]

C.[2x]=2[x]D.[x]+x+；=[2x]

【答案】D(特殊值排除法)取x=L5,貝那一1.5]=-2,-[1.5]=-1,

排除A；取x=1.6,貝ij1.6+!=[2.1]=2,[1.6]=1,排除B；[2XL6]=[3.2]=3,

2[1.6]=2,排除C.故選D.

6.(2013?浙江，11,易)已知函數/(乃二也二?.若火0=3,則實數。=.

【解析】由/(a)=3,得[a-1=3,解得a=10.

【答案】10

ejx<l,

7.(2014?課標I,15,中)設函數兀c)=<I則使得小)W2成立的x

、x3,x2l,

的取值范圍是.

[x<\,x"l'fx<l,[x^l,

【解析】/(x)〈2=J.]或J1=>1VI11或1<2心<1或

[eW2wW21xWln2+l[xW8

1WxW8=>xW8.

【答案】(-8,8]

第?步提能力、

考向1求函數的定義域

常見基本初等函數定義域的基本要求

(1)分式函數中分母不等于零.

(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數，二次函數的定義域均為R.

(4)y=x°的定義域是{x|xW0}.

(5?=/(a>0且aW1),y=sinx,y=cosx定義域均為R.

(6)y=log?x(a>0月.aW1)的定義域為(0,+°°).

(7?=tanx的定義域為xWA”十三，左ez]

□0EI01(1)(2013?山東，5)函數_/(x)=Nl-2'十不云的定義域為()

A.(-3,0]B.(-3,1]

C.(一8,—3)U(—3,0]D.(-8,-3)U(-3,1]

(2)(2014?廣東佛山模擬，13)已知/(/一1)的定義域為[0,3],則函數尸/(X)

的定義域為.

l'l-2'^O,

【解析】(1)由題意知彳解得-3<xW0,所以函數小)的定義域

x+3>0,

為(-3,0].

(2)：0WxW3,???0WW9,

-1Wx?-1<8,

函數y=於)的定義域是[-1,8].

【答案】(1)A(2)[-1,8]

【點撥】解題(1)的關鍵是正確利用指數函數單調性求解不等式1-2,20;

解題(2)的關鍵是正確理解函數定義域的概念及函數的三要素.

歷感國囹函數定義域的求法

(1)給出解析式的函數的定義域是使解析式中各個部分都有意義的自變量的

取值集合，在求解時，要把各個部分自變量的限制條件列成一個不等式組，這個

不等式組的解集就是這個函數的定義域，函數的定義域要寫成集合或者區(qū)間的形

式.

(2)對于實際問題中求得的函數解析式，在確定定義域時，除了要考慮函數

解析式有意義外，還要使實際問題有意義.

(3)抽象函數的定義域

求抽象函數的定義域，要看清內、外層函數之間的關系.

①若已知函數加)的定義域為口,切，則復合函數Hg(x))的定義域由aWg(x)Wb

求出；

②若已知函數Xg(x))的定義域為[a,b],則危)的定義域為g(x)在xe[a,b]

時的值域.

><注意

(1)求定義域時對于解析式先不要化簡；

(2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式.

國國皿窗(1)(2015?山西大同質檢，5)已知函數/(x)的定義域為(0,2],則函

數,於曲公)的定義域為()

A.[-1,+°°)B.(-1,3]

C.郃,3)D.(0,75)

(2)(2013?安徽，11)函數歹=ln(l+3+qi=？的定義域為.

(1)【答案】B根據題意，得0<4干<2,即0<x+l<4,解得一1<XW3,

故選B.

1+-x>o,

(2)【解析】由題意得ji—f'o,解得(KxWL

/于0,

【答案】(0,1]

考向2求函數的解析式

(1)函數的表示方法：解析法、列表法、圖象法.

(2)函數的解析式是表示函數的一種方法，對于不是y=/(x)的形式，可根據

題目的條件轉化為該形式.

(3)求函數的解析式時，一定要注意函數的定義域的變化，特別是利用換元

法求出的解析式，不注明定義域往往導致錯誤.

口國EII32(1)(2014?陜西，10)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段

與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數圖象的一部分，則

該函數的解析式為()

1,1

A.y=2x~2X2~x

B.夕=/3+y—3x

C.-*-x

1,1

D.y—^x32—2x

(2)(2013?安徽，14)定義在R上的函數段)滿足次x+l)=賀x).若當OWxWl

時，/(X)=x(1—x),則當一1WxW0時，/(X)-.

(3)(2014?山東青島模擬，13)已知/(x)+2fg)=x(xW0),則/(x)=.

【解析】(1)(待定系數法)設該函數解析式為火x)=a?+bx2+cx+d,則f(x)

=3ax~+2bx+c,

1

-

Q=2

7'(o)=d=0,

1

6-

角

日

/(2)=8a+4"2c+d=0,刀

于

由題意知《“,、牛2

f(0)=c=-1,

c=-

、/(2)=12a+4b+c=3,d

=O

(2)(代入法)：-IWXWO,?..OWx+1W1

???/(X)=g/(x+1)=1(x+1)[1-(x+1)]

=-/(x+1).

2人X)=?

f(x)+2

X

12

解得力幻=_亨+石.

1I?

【答案】(1)A(2)—/(x+1)(3)—工

【點撥】解題⑴的關鍵是設出三次函數的解析式y=ax3+bx2+cx+

"(a#0),然后根據題目條件，確定參數的值；解題(2)的關鍵是將所求函數解析

式的定義域向已知函數解析式的定義域轉化；解題(3)的關鍵是變換得到一個關

于/(X)和/Q為未知數的新的方程，通過解方程組求出兀0的解析式?

&圖國囹求函數解析式的常見方法

(1)代入法：將g(x)代入/(X)中的X,即得到/(g(x))的解析式.

(2)構造法：已知./(〃(x))=g(x),求Xx)的問題，往往把右邊的g(x)整理構造成

只含/?(x)的式子，用x將6(x潛換.

(3)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，根據函數類型

設出函數解析式，根據題設條件，列出方程組，解出待定系數即可.

(4)換元法：已知/(//(x))=g(x),求/(x)時，往往可設//(x)=3從中解出x,代

入g(x)進行換元，求出/⑺的解析式，再將/替換為X即可.

(5)函數方程法：已知/U)滿足某個等式，這個等式除義x)是未知量外，還有

其他未知量，如八一x)、/(J，則可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，

通過解方程組求出/(X).

目國皿目(1)(2014?山東泰安二模，13)已知4x)是二次函數，且近0)=0,J[x

+1)=/x)+x+1,則｛x)=.

(2)(2015?山東濰坊月考，11)已知/Q+0=/+$+2,則/(X)的解析式為

(3)(2015?安徽黃山模擬，14)已知訓x)+yg)=|+l,則函數｛x)的解析式

為?

(1)[解析】設/(X)=ax+hx+c(aWO),

由7(0)=0知c=0，Xx)="2+bx.

又因為/(x+1)=/(x)+x+1,

所以a(x+I)2+b(x+1)=ax2++x+1,

即ax2+(2a+b)x+a+b=a/+(b+l)x+1,

‘2a+b=b+1,

所以，

a+b=1.

解得a=b=：.

…121

故危)=2X+2X,

【答案】|x2+|x

(2)【解析】把解析式按自變量x+;進行變形，則

/(D=")d)+2=C+￡|2一3卜2.

令，='+：,貝LW-2或看22,得

火。=?￡2-3)+2=戶一3什2,所以")=1-3工+2,工6(-8,-2]U[2,+

8).

【答案】/(x)=?-3x+2,xW(—8,-2]U[2,+8)

(3)【解析】x用《代替，則有MQJ+”(X)=2X+1,

「小)+5劇=|+1,

由此可得J

M?+V(x)=2x+l,

消去/第"—(/0).

531

【答案】/(x)=F—藐+g(xWO)

考向3分段函數及其應用

1.分段函數的相關概念

(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應法則不同而分別用兒個不同的

式子來表示，這種函數稱為分段函數.分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的

是一個函數.

(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數

的值域的并集.

2.解決分段函數問題的注意事項

分段函數是一個函數而不是兒個函數，處理分段函數問題時，首先確定自變

量的取值屬于哪個區(qū)間，再選取相應的對應法則，離開定義域討論分段函數是毫

無意義的.

?注意

分段函數是為了研究問題的需要而進行的分類討論，相當于求“并集”，不

可與方程組或不等式組的求“交集”相混淆.

2x3,x<0,

口國E1C33(1)(2013?福建，13)已知函數於)={JT則

—tanx,

[X2+2X+2,XWO,

(2)(2014?浙江，15)設函數/(x)=2八

{—X,x>0.

若/(/(〃))=2，貝iJ〃=.

【解析】(iy=-tany=-l<0,

-V({T-J=X-I)=2X(-I)3=-2.

(2)若a>0,貝1j(a)=~a2<0,

??派))=42/+2,

由以a))=2,得/-2/+2=2,

解得“=啦(舍負).

若aWO,則火0=/+2。+2=(。+1)2+1>0,

?■?./(/(?))=-(/+2a+2)2<0=2.

綜上，a=\[2.

【答案】(1)一2(2)啦

【點撥】解題(1)的思路是根據自變量的取值代入不同的解析式；解題(2)

要注意分類討論思想的應用.

歷胸危囹分段函數兩種題型的求解策略

(1)根據分段函數的解析式求函數值

首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解.

(2)已知函數值(或函數值的范圍)求自變量的值(或范圍)

應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(或范圍)是

否符合相應段的自變量的取值范圍.

><注意

當分段函數的自變量范圍不確定時，應分類討論.

y/x,x^O,

口司皿國(1)(2012?陜西，11)設函數次》)={則曲—4))=

O,x<Q,

2x+a,x<l,

(2)(2011?江蘇，11)已知實數aWO,函數/(x)=。，若/(I—a)=/(l

、x2a,x1.

+a),則a的值為.

(1)【解析】./(-4)=Q=16.

又/(16)=班=4,

???./(/(-4))=4.

【答案】4

⑵【解析】①當。>0時，1-。<1,1+A1.

這時川-4)=2(1_a)+Q=2_Q,

/(1+6Z)=-(1+a)-2a=-1-3a.

由火1-a)=y(l+Q)得2-a=-1-3a,

3

解得Q=_/,

不符合題意，舍去.

②當a<0時，1-a>l,1+。<1.

這時/(I-〃)=-(1-a)-2a=-I-a,

/(I+a)=2(1+Q)+Q=2+3a.

3

由7(]_Q)=/(]+a)得一1一a=2+3Q,解得Q=

3

綜合①②知。的值為-不

3

【答案】-；

第?步J〔過模擬、

1.(2015?江西南昌二模，3)函數(x—二一1'的定義域為()

A.{x|x>0}B.{x|x》l}

C.{x|x2l或x<0}D.{x[0<xWl}

x(x—1)20,

【答案】B由h得.故選B.

->o,

1

2.（2015?河北秦皇島一模，3）設函數y=的定義域為/,B={x\\x

,\/x2-3x—10

一機|<6}且NU8=R,則實數機的取值范圍為（）

A.—l<m<4B.—\<m<3

C.l<m<4D.l<m<3

【答案】A由X2-3X—10>0解得x<—2或x>5,所以力={x|x<—2或x>5}.

因為B—{x|lx-/M|<6}={x\—6+m<x<6~\-m},HAU5=R,

—6+加v—2,

所以有，解得一

6+加>5,

lgx,x>0,

3.（2015?四川成都高三月考，5）設4）=<in.vvn則加—2))的值為()

B.2C.yflOD.—2

【答案】D??,—2W0,.?./(—2)=IO?

.-.y(A-2))=A10-2)=lg10-2=-2.

2',x<0,

4.（2015?安徽合肥三模，6）已知函數/（x）=/(X-D+1,Q。，則mo?

等于（）

40334031

A.2015B.^—C.2016D.^—

【答案】B由題意知，當x?0時，/(x+l)=/(x)+l,.?./(x+1)—/(x)=l,

.7/(2015)=/(l)+2014X1.

135

又人0)=/(_1)+1=5+1=5,人1)=人0)+1=2,

。5.4033

015)=2+2014=-^—.

⑵七，xWl,

5.(2014?遼寧沈陽質檢，9)設函數兀0=3,貝IJ滿足人x)W2的

J—10g2%?X>1>

X的取值范圍是()

A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+8)D.[0,+00)

xWl,[x>1?

【答案】D/(x)<2=k-或\,Ic=0?l或x>l,故x的

2，W2[1—log2xW2

取值范圍是[0,+°°).

6.(2015?山東濱州二模，8)具有性質/(；)=-/(X)的函數，我們稱為滿足“倒

x(0<x<1),

負”變換的函數.下列函數：?y=x-p?y=x+p③y=<0°1)'中

—~(x>1)

IX

滿足“倒負”變換的函數是（）

A.①②B.②③C.①③D.只有①

【答案】C(逐項驗證法)對于①，/({!=1—x=—/(x)滿足條件;

對于②，/ex

—X(0<x<l),

(x=l),

對于③，f叫;

(x>1)

滿足/g)=-/u).故③滿足“倒負”變換，故選C.

7.(2015?云南昆明統一檢測，8)已知函數0)的定義域為(-8,+oo),如

\yJ2sinxx20,(

果於+2014)=j：(-9)I。那么/12014+旬?/(—7986)=()

A.2014B.4C.1D.黑

【答案】B/(2014+總=啦5吊個=1,

,/(-7986)=/(2014-10000)=1g10000=4,貝(2014+總?./(-7986)=

4.

8.(2015?河南開封模擬，13)若一次函數y=/(x)滿足./(/(x))=9x+l,則/(X)

【解析】設信)=ax+b(aWO),

則/(/(x))=a(ax+b)+b=a2x+ah+b

=9x+1.

=9且。人+力=1,

a=3,fa=-3,

解得|1或|1

P=4[b=~2-

--./(x)=3x+；或/(》)=-3x-

【答案】3x+9或-3x-；

[2\x<0,

9.(2015?黑龍江大慶第二次質檢，14)設函數人x)=L,c則使加：)

[|k)g2x|,x>0,

=3的X的集合為.

【解析】由題意知，若xWO,貝12*=；,解得x=-1；若x>0,貝力log2x|

=T

解得x=23或x=2—g.

故x的集合為1-1,啦，米.

【答案】｛-1,啦，乎]

第n步八試真題、

A組)新題速遞

1.(2015?陜西，9,易)設")=x—sinx,則義x)()

A.既是奇函數又是減函數

B.既是奇函數又是增函數

C.是有零點的減函數

D.是沒有零點的奇函數

【答案】B段)的定義域為R,

~x—sin(~x)

=-x+sinx=

，函數｛x)為奇函數.

,:f(x)=1—cosxN0,

?\/(x)在R上為增函數.

?./0)=0,.?.函數人x)有零點.

故選B.

2.（2015?課標n,12,中）設函數於）=則1+慟）一號1，則使得兒丫）次2x

-1）成立的x的取值范圍是（）

D「，力序+力

【答案】A易判斷/（x）是偶函數，當x>0時,/（x）=ln（l+x）一★?.?.?/

12x

（%）=幣+（1+口2>0,???加）在。+8）是增函數，，不等式可化為川刈>

/（|2x-1|）,BP|x|>|2x—1|>即3x」-4x+lV0,解得1VxVI.

思路點撥：由于/（x）是偶函數，故先研究x>0的情況，當x>0時，/（x）=ln（l

+x）-苦？，利用導數判斷/（X）在（0，+8）是增函數，轉化為慟進而

求得x的取值范圍.

B組經典回顧

1.（2014?北京，2,易）下列函數中，定義域是R且為增函數的是（）

A.y=Q~xB.y=x3

C.y=\nxD.y=\x\

【答案】B選項A,y=er=（J：在R上為減函數；

選項B,歹=》3在R上為增函數；

選項C,y=lnx,定義域為（0,+8）,且在（0,十8）上為增函數；

（x,x20,

選項D,>>=|x|=l八在［0，+8）上為增函數，在（一8,0）上為減函

Lx,x<0

數.

2.（2014?湖南，4,易）下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間（一8,0）上單調遞

增的是()

1,

A./(x)=7B../(x)=?+l

C./)=/D./)二2一、

【答案】A選項A,由于在(-8,0)上單調遞減，所以/(》)=，在

(-8,0)上單調遞增；選項B,?v)=*+l是偶函數但在(-8,0)上單調遞減；

選項C,yu)=d為奇函數；選項D,加)=2一、為非奇非偶函數，綜上選A.

3.(2014?陜西，7,中)下列函數中，滿足“/(x+y)=/(x)/e)”的單調遞增函

數是()

A.危)=/B.J[x}=r

c.於)=?尸D.危)=&y

【答案】B(根據函數滿足的條件和函數性質逐一判斷求x)=x3,Xx+y)

=(x+y)3^x3y3,不滿足7(x+y)=/(x)A>),A錯誤.7(x)=3x,y(x+y)=3x+y=3x*3y,

1

滿足_/(x+y)=/(x)/(y),且?)=3”是增函數，B正確.2,/(x+y)=(x+

,)二不滿足人x+_y)=/(x"),C錯誤.{x)=g)，>/a+y)=g)'

=(；)*(2)J滿足式x+v)=穴x)/(y),但_Ax)=(；)不是增函數，D錯誤.

方法點撥：解抽象函數的有關試題的關鍵是對對應法則的理解和應用，常常

依據法則特殊化處理，例如采用賦值法，以尋求解題的切入點.

4.(2013?北京，3,中)下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間(0,+8)上單調遞

減的是()

1cr

A.y~~B.y=e

C.y=-1D.y=lg|x|

【答案】C(逐項驗證法)A中_y=：是奇函數，A不正確；B中_y=e-x=5

X

是非奇非偶函數，B不正確；C中歹=一/+1是偶函數且在(0,十8)上是單調

遞減的，C正確；D中夕=lg|x|在(0,+8)上是增函數，D不正確.故選C.

5.（2012?遼寧，8,中）函數y=%2—inx的單調遞減區(qū)間為（）

A.（-1,1]B.（0,1]

C.[1,+8）D.（0,+8）

【答案】B（根據函數的導數小于0的解集就是函數的單調減區(qū)間求解）

由題意知，函數的定義域為（0,+8）,又由y=x—解得0＜xWl,所以函

數的單調遞減區(qū)間為（0，1].

第?步,世能Jj、

考向1確定函數的單調性（單調區(qū)間）

單調函數的定義

增函數減函數

一般地，設函數/（X）的定義域為/,如果對于定義域/內某個區(qū)間。上的任

意兩個自變量X],X2

定義當修＜念時，都有加1）次切，那

當為＜》2時，都有“Q）勺（M），那么就說函

么就說函數/（X）在區(qū)間。上是減

數/（X）在區(qū)間。上是增函數

函數

圖象

描述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

4注意

（1）函數的單調性只能在函數的定義域內討論，所以求函數的單調區(qū)間時,

必須先求函數的定義域.

（2）函數是增函數還是減函數，是對定義域內某個區(qū)間而言的.有的函數在

其定義域的一個區(qū)間上是增函數，而在另一個區(qū)間上不是增函數.例如，函數y

=x2,當xW[0,+8）時是增函數，當x6（-8,0]時是減函數.

（3）一個函數在不同的區(qū)間可以有不同的單調性，同一單調性的區(qū)間用

“和”連接（或用“，”隔開），不能用“U”連接.

□E9EIC]1（1）（2015?浙江金華十校調研，4）下列函數中，在區(qū)間（0,+8）

內單調遞減的是()

12

A.y=^~xB.y=x—x

C.y=\nx-xD.y=ex-x

(2)(2014?天津，12)函數/(x)=lgx2的單調遞減區(qū)間是.

ax

(3)(2015?廣東佛山聯考，17,12分)討論函數八%)=三不4>0)在(一1，1)上

的單調性.

【解析】⑴對于A,y=:在(0,+8)內是減函數，力=x在(0,+8)內

是增函數，則歹=《-x在(0,+8)內是減函數；B,C,D選項中的函數在(0,

+8)上的單調性不確定.故選A.

(2)/(x)的定義域為(-8,o)u(o,+8),夕=ig〃在(0,+8)上為增函數，u

=丫2在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增，故/(X)在(-8,0)上單調遞減.

(3)方法一(定義法)：設-1<X|<X2<1，

則人修)一貝切=4^7-

XI1%21

蘇怎33巖+ax?

(xf-1)(%2"*1)

?(X2-11)(XM2+1)

(X?-1)(%2-1),

?「-1W2V1，

**?X2-Xi>0,X\X2+l>0,(X?-1)(%2-l)>0.

又a>0,-./(X2)>O,

故函數加)在(-1,1)上為減函數.

方法二(導數法)：

(ax)r(x2-1)-ax(x2-1)r

/(x)=(T^TT

a(x2-1)-lax1a(-x2-1)a(x2+1)

二(X2-1)2=(X2-1)2="(X2-1)2-

'.,a>0,x€(-1,1),

???/W<0.

???/(x)在(-1,1)上是減函數.

【點撥】題(1)利用已知函數的單調性來判斷；解題(2)的關鍵是利用復合

函數“同增異減”的法則來判斷；題(3)利用單調性的定義或導數來判斷.

目出國爵判斷函數單調性的常用方法

(1)利用已知函數的單調性，如已知人x),g(x)為增函數，則一段)為減函數，

/(x)+g(x)為增函數.

(2)定義法：一般步驟為設元一作差一變形一判斷符號一得出結論.其關鍵

是作差變形，為了便于判斷差的符號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形

式，再結合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關系及不等式的性質作出判斷.

(3)圖象法：如果/(x)是以圖象形式給出的，或者/(x)的圖象易作出，則可由

圖象的直觀性確定它的單調性.

(4)導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調性.

(5)復合函數單調性的判斷法則：“同增異減”，即對于y=/(g(x))型的復合

函數，可以把它看成由少=/(。和/=g(x)復合而成的，若它們的單調性相同，則復

合后的函數為增函數；若它們的單調性相反，則復合后的函數為減函數.

0(2011?江蘇，2)函數犬x)=log5(2x+l)的單調增區(qū)間是.

【解析】要使y=log5(2x+1)有意義，則2x+l>0,即而y=log5〃

為(0,+8)上的增函數，當時，〃=2x+1也為R上的增函數，故原函數

的單調增區(qū)間是(-g,+8).

【答案】(_g,+8)

考向2求函數的最值或值域

1.函數的最值

(1)最大值：函數y=/u)的定義域為/,如果存在實數/滿足以下兩個條件：

①對于任意的Xd1,都有危)WM；②存在超金/,使得_/(xo)=M.那么，我們稱“

是函數夕=/(x)的最大值.

(2)最小值：函數丁=段)的定義域為/,如果存在實數加滿足以下兩個條件：

①對于任意的xe/,都有/(x)2加；②存在刈口，使得/(刈)=加.那么，我們稱加

是函數y=/(x)的最小值.

4注意

函數的最值是函數在其定義域上的整體性質，即函數的值域中最大的一個值

和最小的一個值.

2012x+1+2010

□0E1D2(1)(2015?河南鄭州檢測，5)已知。>0,設函數/(x)=-201+1—

(x^[~a,0)的最大值為最小值為N,那么A/+N=()

A.2008B.2009

C.4018D.4022

logir,

2的值域為.

{2X,X<1

x?"I-2xa

(3)(2014?云南昆明模擬，18,12分)已知函數犬x)=------------,xe[l,+°°).

①當時，求函數人x)的最小值；

②若對任意xW[l,+8),/(X)>0恒成立，試求實數。的取值范圍.

2012'"1+20102

【解析】⑴由題意得lx)=2012'+1—=2012-2012.t+1.

??)=2012'+1在[-a,a]上是單調遞增的，

2

:?")=2012-2012'+1在〔-團上是單調遞增的，

；?"=/(〃)，N=/(_〃)，

22

???M+N=人。)+犬-a)=4024-^17^1-2012"+1=4022.故選D.

(2)當xNl時，?x)=log|x是單調遞減的，

此時，函數的值域為(-8,0];

當x<l時，危)=2、是單調遞增的，

此時，函數的值域為(0,2).

綜上，於)的值域是(-8,2).

(3)①當時，/Cx)=X+［+2,在口，+8)上為增函數，故/(x)min=/(l)

=7

=2'

@/(x)=x+-+2,x€［1,+8).

a.當a<0時，/(x)在［1,+8)內為增函數.

最小值為/(I)=a+3.

要使.危)〉0在xd［l,+8)上恒成立，只需。+3〉0,即?！狄?,所以-3

<aWO.

b.當0<aWl時，兀0在口,+8)上為增函數,/(X)min=/(1)=?+3.

所以。+3〉0,?！?3.所以0<aWl.

c.當a>1時，/(x