學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGEPAGE16學必求其心得，業必貴于專精第2課時函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質學習目標1.會用“五點法”畫函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.2.能根據y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象,確定其解析式。3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的物理意義，能指出簡諧運動中的振幅、周期、相位、初相．知識點一“五點法”作函數y＝Asin(ωx＋φ）(A>0，ω>0)的圖象思考1用“五點法”作y＝sinx，x∈［0，2π］時，五個關鍵點的橫坐標依次取哪幾個值？思考2用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)時，五個關鍵的橫坐標取哪幾個值？梳理用“五點法”作y＝Asin（ωx＋φ）的圖象的步驟第一步：列表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2）2πx－eq\f（φ,ω）eq\f(π，2ω)－eq\f(φ，ω）eq\f（π，ω）－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω）－eq\f（φ,ω）eq\f(2π,ω）－eq\f（φ，ω）y0A0－A0第二步：在同一坐標系中描出各點．第三步：用光滑曲線連結這些點,形成圖象．知識點二函數y＝Asin（ωx＋φ），A>0,ω〉0的性質名稱性質定義域________值域________周期性T＝________對稱性對稱中心eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω），0））（k∈Z）對稱軸____________________________奇偶性當φ＝kπ（k∈Z)時是________函數；當φ＝kπ＋eq\f(π，2)(k∈Z）時是________函數單調性通過整體代換可求出其單調區間知識點三函數y＝Asin（ωx＋φ)，A＞0,ω＞0中參數的物理意義一個彈簧振子作簡諧振動，如圖所示，該彈簧振子離開平衡位置的位移隨時間t變化的圖象如下：思考做簡諧振動的物體離開平衡位置的位移s與時間t滿足s＝2sineq\f（πt，2），圖象中縱坐標2和橫坐標4各具有怎樣的物理意義？梳理設物體做簡諧運動時，位移s與時間t的關系為s＝Asin（ωt＋φ)(A>0，ω>0)．其中A是物體振動時離開平衡位置的____________，稱為振動的________；往復振動一次所需的________T＝eq\f(2π,ω)稱為這個振動的________；單位時間內往復振動的________f＝eq\f（1，T)＝eq\f(ω,2π）稱為振動的________；ωt＋φ稱為__________，t＝0時的相位φ稱為________．類型一用“五點法"畫y＝Asin（ωx＋φ)的圖象例1利用五點法作出函數y＝3sin（eq\f（x，2)－eq\f（π，3）)在一個周期內的草圖．反思與感悟（1)用“五點法”作圖時,五點的確定，應先令ωx＋φ分別為0，eq\f(π，2),π，eq\f(3π,2）,2π,解出x，從而確定這五點．（2）作給定區間上y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，若x∈[m，n］，則應先求出ωx＋φ的相應范圍，在求出的范圍內確定關鍵點,再確定x，y的值，描點、連線并作出函數的圖象．跟蹤訓練1已知f（x)＝1＋eq\r（2）sin（2x－eq\f（π，4)）,畫出f（x）在x∈[－eq\f（π,2)，eq\f（π,2）］上的圖象．類型二由圖象求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2如圖是函數y＝Asin（ωx＋φ）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜\f(π,2）））的圖象，求A，ω,φ的值,并確定其函數解析式．反思與感悟若設所求解析式為y＝Asin(ωx＋φ),則在觀察函數圖象的基礎上，可按以下規律來確定A，ω，φ。（1）由函數圖象上的最大值、最小值來確定|A｜。（2)由函數圖象與x軸的交點確定T，由T＝eq\f(2π，|ω｜)，確定ω.(3）確定函數y＝Asin（ωx＋φ)的初相φ的值的兩種方法①代入法:把圖象上的一個已知點代入（此時A，ω已知）或代入圖象與x軸的交點求解．(此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上）②五點對應法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(φ,ω),0））作為突破口．“五點”的ωx＋φ的值具體如下:“第一點”（即圖象上升時與x軸的交點）為ωx＋φ＝0；“第二點”（即圖象的“峰點"）為ωx＋φ＝eq\f(π，2)；“第三點”（即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π;“第四點"（即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝eq\f(3π，2）;“第五點”為ωx＋φ＝2π。跟蹤訓練2函數y＝Asin（ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為________．類型三函數y＝Asin(ωx＋φ）性質的應用例3已知函數y＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω>0,｜φ｜〈eq\f(π，2)）的圖象過點P（eq\f(π，12)，0），圖象上與P點最近的一個最高點的坐標為(eq\f（π，3)，5)．(1)求函數解析式；（2)指出函數的單調增區間;（3）求使y≤0的x的取值范圍．反思與感悟有關函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質的問題，要充分利用正弦曲線的性質，要特別注意整體代換思想．跟蹤訓練3設函數f(x)＝sin(2x＋φ)（－π＜φ＜0)，函數y＝f（x）的圖象的一條對稱軸是直線x＝eq\f（π，8)。(1)求φ的值；(2）求函數y＝f(x）的單調區間及最值．1．函數y＝Asin（ωx＋φ)(A〉0，0〈φ<π）的圖象的一段如圖所示,它的解析式是_________．2．函數y＝－2sin（eq\f（π，4)－eq\f（x，2)）的周期、振幅、初相分別是________________．3．若函數y＝sin（ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖，則ω＝________.4．已知函數f(x）＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)）)（ω>0）的最小正周期為π，則f(eq\f(π,3))＝________.5。已知函數f（x)＝Asin（ωx＋φ)（A＞0，ω＞0，－eq\f（π，2)＜φ＜eq\f(π，2)）的部分圖象如圖所示．(1）求f(x）的解析式；(2)寫出f（x)的單調增區間．1．利用“五點”作圖法作函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象時,要先令“ωx＋φ”這一個整體依次取0，eq\f(π，2）,π，eq\f(3，2)π,2π,再求出x的值，這樣才能得到確定圖象的五個關鍵點,而不是先確定x的值,后求“ωx＋φ”的值．2．由函數y＝Asin（ωx＋φ）的部分圖象確定解析式關鍵在于確定參數A，ω，φ的值．（1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因為T＝eq\f（2π，ω），所以往往通過求得周期T來確定ω，可通過已知曲線與x軸的交點從而確定T，即相鄰的最高點與最低點之間的距離為eq\f（T,2）；相鄰的兩個最高點(或最低點）之間的距離為T.(3）從尋找“五點法”中的第一個零點（－eq\f(φ,ω），0)(也叫初始點）作為突破口，以y＝Asin（ωx＋φ）（A〉0，ω〉0)為例，位于單調遞增區間上離y軸最近的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點．3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω>0）的性質時,注意采用整體代換的思想，如函數在ωx＋φ＝eq\f(π，2）＋2kπ(k∈Z)時取得最大值，在ωx＋φ＝eq\f（3π,2）＋2kπ（k∈Z)時取得最小值．

答案精析問題導學知識點一思考1依次為0,eq\f(π，2），π，eq\f（3π，2），2π。思考2用“五點法”作函數y＝Asin（ωx＋φ)（x∈R）的簡圖，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，eq\f（π，2），π，eq\f(3π,2)，2π即可得到所取五個關鍵點的橫坐標依次為－eq\f（φ,ω),－eq\f（φ,ω)＋eq\f(π，2ω）,－eq\f（φ,ω)＋eq\f（π,ω）,－eq\f（φ,ω)＋eq\f(3π，2ω),－eq\f(φ，ω）＋eq\f(2π,ω).知識點二R［－A，A]eq\f(2π，ω）x＝eq\f（π，2ω）＋eq\f(kπ－φ，ω）（k∈Z）奇偶知識點三思考2表示振幅,周期T＝eq\f（2π，\f(π,2))＝4。梳理最大距離振幅時間周期次數頻率相位初相Aeq\f(2π，ω）eq\f（ω，2π）ωx＋φφ題型探究例1解依次令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝0，eq\f（π，2），π,eq\f(3π,2），2π,列出下表：eq\f（x,2）－eq\f(π，3）0eq\f(π，2)πeq\f(3π,2）2πxeq\f（2π，3)eq\f（5π,3）eq\f（8π，3）eq\f（11π,3）eq\f（14π,3）y030－30描點，連線,如圖所示．跟蹤訓練1解(1)∵x∈［－eq\f(π,2）,eq\f（π,2)］，∴2x－eq\f(π,4）∈［－eq\f(5,4）π，eq\f(3,4）π]．列表如下:x－eq\f(π，2)－eq\f（3，8）π－eq\f(π，8)eq\f(π，8)eq\f(3,8）πeq\f（π,2）2x－eq\f（π,4）－eq\f（5,4）π－π－eq\f(π，2)0eq\f（π,2)eq\f(3,4)πf（x)211－eq\r（2)11＋eq\r(2）2（2）描點，連線，如圖所示．例2由圖象知A＝3，又圖象過點eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,3)，0))和eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5π，6），0)),根據五點作圖法原理（以上兩點可判為“五點法"中的第三點和第五點），有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（π，3）·ω＋φ＝π，，\f（5π，6）·ω＋φ＝2π，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ω＝2，,φ＝\f（π，3)。))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).跟蹤訓練2y＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π，6)）)例3解(1）∵圖象最高點的坐標為(eq\f(π，3)，5）,∴A＝5.∵eq\f（T，4）＝eq\f(π，3)－eq\f（π，12）＝eq\f（π，4)，∴T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T）＝2，∴y＝5sin(2x＋φ）．代入點(eq\f（π,3)，5），得sin（eq\f（2π，3)＋φ)＝1，∴eq\f(2π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f（π,2），k∈Z.∴φ＝－eq\f（π,6)＋2kπ，k∈Z，又∵｜φ|〈eq\f(π,2），∴k＝0,則φ＝－eq\f（π，6)，∴y＝5sin（2x－eq\f(π，6))．(2)∵函數的單調增區間滿足2kπ－eq\f（π,2）≤2x－eq\f(π，6）≤2kπ＋eq\f(π，2)（k∈Z),∴2kπ－eq\f（π,3）≤2x≤2kπ＋eq\f（2π,3)（k∈Z），∴kπ－eq\f（π，6)≤x≤kπ＋eq\f（π,3）（k∈Z）．∴函數的單調增區間為［kπ－eq\f（π，6)，kπ＋eq\f(π,3)］(k∈Z）．(3）∵5sin（2x－eq\f(π,6））≤0，∴2kπ－π≤2x－eq\f（π，6)≤2kπ(k∈Z），∴kπ－eq\f(5π，12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)（k∈Z)．故所求x的取值范圍是［kπ－eq\f（5π，12)，kπ＋eq\f(π，12）］（k∈Z）．跟蹤訓練3(1）－eq\f（3π,4)(2)單調增區間為eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π,8），kπ＋\f(5π,8))）（k∈Z)單調減區間為eq\b\lc\[