第PAGE"pagenumber"13頁，共NUMPAGES"numberofpages"13頁第六章6.3.1平行向量基本定理【基礎篇】題型1平面向量基本定理的理解1．已知{e1，e2}是平面內所有向量的一個基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是()A．2e1－e2和2e2－4e1B．e1＋e2和e1－2e2C．e1－2e2和e1D．e1＋e2和2e2＋e12．(多選)如果e1，e2是平面α內兩個不共線的向量，那么在下列敘述中正確的有()A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內的所有向量B．對于平面α內的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數λ，μ有無數多對C．若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個實數λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D．若存在實數λ，μ使λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝03．如圖所示，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且點P落在第Ⅲ部分，則實數a，b滿足()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0題型2向量相等4．如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點．若eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ等于()A．1 B．－1C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)5．設E為△ABC的邊AC的中點，eq\o(BE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，則m＋n＝________.題型3平面向量的分解6．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．a＋2bB．2a＋3bC．2a＋bD.eq\f(3,2)a＋b7．如圖，在△ABC中，點D是線段AB上靠近A的三等分點，點E是線段CD的中點，則()A.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))8．已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用向量a和b表示c，則c＝________．9．在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，eq\o(ET,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)【提升篇】1．如果{a，b}是一個基底，那么下列不能作為基底的是()A．a＋b與a－b B．a＋2b與2a＋bC．a＋b與－a－b D．a與－b2．在△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b3．(多選)[浙江寧波九校2022高一期末]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分別是AB，CD的中點，AC與BD交于M.設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則下列結論正確的有()A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋bB.eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋bC.eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bD.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b4．如圖，在△ABC中，D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))，F是AD，BE的交點．若eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＝()A．2 B．3 C．6 D．75．某中學八角形校徽由兩個正方形疊加組合而成，體現“方方正正做人”之意，又體現南開人“面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進取”之精神．如圖的多邊形，由一個正方形與以該正方形中心為中心逆時針旋轉45°后的正方形組合而成．已知向量n，k，則向量a＝()A．3k＋2nB．3k＋(2＋eq\r(2))nC．(2＋eq\r(2))k＋(2＋eq\r(2))nD．(2＋eq\r(2))k＋(1＋eq\r(2))n6．(多選)[湖北孝感2022高一期末]已知△ABC中，O是BC邊上靠近B的三等分點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N.設eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，其中m>0，n>0，則下列結論正確的是()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．2m＋n＝3D．m＋2n＝37．在等腰梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，E為BC的中點，F為DE的中點，記eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b.若用a，b表示eq\o(DF,\s\up6(→))，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝________.8．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2＝________.9．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD的兩個三等分點，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值是________．10．如圖，在正△ABC中，點G為邊BC的中點，邊AB，AC上的動點D，E分別滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1－2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R.設DE的中點為F，記eq\f(|\o(FG,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝R(λ)，則R(λ)的取值范圍為________．11．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，F，G分別是AD，BC的四等分點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AF＝\f(1,4)AD，BG＝\f(1,4)BC)).設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→)).(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG有什么位置關系？用向量的方法證明你的結論．12．如圖所示，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點M.過點M的直線l與OA，OB分別交于點E，F.(1)試用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)設eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝μeq\o(OB,\s\up6(→))，求證：eq\f(1,λ)＋eq\f(3,μ)是定值．13．如圖，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M為AB上靠近B的三等分點，OM交AC于點D，P為線段BC上的動點．(1)用eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)求eq\f(OD,DM)；(3)設eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))＋μeq\o(OP,\s\up6(→))，求λμ的取值范圍．答案及解析1．【答案】A【詳解】對于A選項，因為2e2－4e1＝－2(2e1－e2)，所以2e1－e2和2e2－4e1共線，A選項不滿足條件；對于B選項，設e1＋e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2λ＝1，))無解，故e1＋e2和e1－2e2不共線，B選項能作為基底；同理可知e1－2e2和e1不共線，e1＋e2和2e2＋e1也不共線，C，D選項均能作為基底．故選A.2．【答案】AD【詳解】由平面向量基本定理可知，A，D正確．對于B，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．對于C，當兩向量的系數均為零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，λ有無數個．故選AD.3．【答案】B【詳解】取第Ⅲ部分內一點畫圖易得a>0，b<0.4．【答案】D【詳解】因為E為AO的中點，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).又因為eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＝\f(1,4)，,2μ＝－\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,8)，))所以λ＋μ＝eq\f(1,8)，故選D.5．【答案】－eq\f(1,2)【詳解】因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，所以m＝－1，n＝eq\f(1,2)，所以m＋n＝－eq\f(1,2).6．【答案】C【詳解】在正六邊形ABCDEF中，連接FC，則FC∥AB，FC＝2AB，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋b.故選C.7．【答案】A【詳解】由題圖知eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.8．【答案】a－2b【詳解】因為a，b不共線，設c＝xa＋yb(x，y∈R)，則xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因為e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))所以c＝a－2b.9．【答案】D【詳解】如圖所示，設eq\o(CT,\s\up6(→))＝μeq\o(CA,\s\up6(→))＝2μeq\o(CF,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))(μ∈R)．因為F，T，B共線，所以3μ＝1，解得μ＝eq\f(1,3).所以eq\o(AT,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(ET,\s\up6(→))＝eq\o(AT,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(ET,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,6)，所以x＋y＝eq\f(5,6).故選D.1．【答案】C【詳解】由題意知，a與b不共線，根據平行四邊形法則，可知A，B，D選項中的兩個向量都可以作為基底，而a＋b與－a－b共線，不能作為基底．2．【答案】B【詳解】∵CD平分∠ACB，∴eq\f(|\o(CA,\s\up6(→))|,|\o(CB,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(DB,\s\up6(→))|)＝2.∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(a－b)．∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(2,3)(a－b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.3．【答案】ABD【詳解】由題意得，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，故A正確；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a，故B正確；由△CMD∽△AMB，且CD＝eq\f(1,2)AB得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)a＝eq\f(2,3)b－eq\f(2,3)a，故C錯誤；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,4)a＝b－eq\f(1,4)a，故D正確．故選ABD.4．【答案】A【詳解】由題意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).因為B，E，F三點共線，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－k)eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1－k,λ＋1)eq\o(AC,\s\up6(→)).因為eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以keq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1－k,λ＋1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(2,5)，,\f(1－k,λ＋1)＝\f(1,5).))解得λ＝2，故選A.5．【答案】D【詳解】根據題意可得|n|＝|k|，已知該圖形是由以正方形中心為中心逆時針旋轉45°后的正方形與原正方形組合而成，如圖，由對稱性可得|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DE|＝|EQ|＝|QF|，|CE|＝|EF|＝|FG|＝eq\r(2)|AB|＝eq\r(2)|n|.由圖可知點B，C，E，Q共線，點Q，F，G共線，所以eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EQ,\s\up6(→))＝(2＋eq\r(2))k，eq\o(QG,\s\up6(→))＝eq\o(QF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1＋eq\r(2))n，所以a＝eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))＋eq\o(QG,\s\up6(→))＝(2＋eq\r(2))k＋(1＋eq\r(2))n.故選D.6．【答案】AC【詳解】eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，A正確，B錯誤．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2m,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,3)eq\o(AN,\s\up6(→)).又因為M，O，N三點共線，所以eq\f(2m,3)＋eq\f(n,3)＝1，故2m＋n＝3，C正確，D錯誤．故選AC.7．【答案】eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b【詳解】eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(3,8)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DA,\s\up6(→))，即eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,8)b.8．【答案】eq\f(1,2)【詳解】eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＋λ2＝eq\f(1,2).9．【答案】eq\f(7,8)【詳解】∵E，F是AD的兩個三等分點，D是BC的中點，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋3eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝3eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)).∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝9|eq\o(DF,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝|eq\o(DF,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝－1，解得|eq\o(DF,\s\up6(→))|2＝eq\f(5,8)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝eq\f(13,8).又∵eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝CD＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝4|eq\o(DF,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝eq\f(20,8)－eq\f(13,8)＝eq\f(7,8).10．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(7),4)))【解析】設正△ABC的邊長為2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×2×coseq\f(π,3)＝2，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(FG,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－λ）2＋4λ2＋2λ（1－λ）)＝eq\r(3λ2＋1).又0≤1－2λ≤1，0≤λ≤1，所以0≤λ≤eq\f(1,2)，因此|eq\o(FG,\s\up6(→))|＝eq\r(3λ2＋1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(7),2)))，R(λ)＝eq\f(\r(3λ2＋1),2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(7),4))).11．【答案】(1)由已知，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,2)a，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b＋eq\f(1,2)a.(2)EF與EG互相垂直．證明如下：eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)b＋\f(1,2)a))·(eq\f(1,4)b－eq\f(1,2)a)＝eq\f(1,16)b2－eq\f(1,4)a2，因為|b|＝2|a|，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EG,\s\up6(→))＝0，即EF⊥EG，所以EF與EG互相垂直．12．【答案】(1)【解】由A，M，D三點共線可得存在實數m，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OD,\s\up6(→))，又eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，故eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1－m,2)eq\o(OB,\s\up6(→)).由C，M，B三點共線可得存在實數n，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝neq\o(OC,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(n,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OB,\s\up6(→)).由題意知eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)n，,\f(1－m,2)＝1－n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,7)，,n＝\f(4,7)，))故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,7)eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)【證明】由E，M，F三點共線，可設eq\o(OM,\s\up6(→))＝keq\o(OE,\s\up6(→))＋(1－k)eq\o(OF,\s\up6(→))(k∈R)，由eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝μeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\o(OM,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－k)μeq\o(OB,\s\up6(→)).由(1)知eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,7)eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kλ＝\f(1,7)，,（1－k）μ＝\f(3,7)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,7k)，,\f(3,μ)＝7－7k，))所以eq\f(1,λ)＋eq\f(3,μ)＝7，故eq\f(1,λ)＋eq\f(3,μ)是定值．13．【答案】(1)依題意eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o