第01講集合的概念

【提升訓練】

一、單選題

1.集合A={三wZkwN*},用列舉法可以表示為()

A.{3,6}B.{1,2,4,5,6,9}

C.{-6,-3,-2,-1,3,6}D.{-6,-3,-2,-1,2,3,6)

【答案】C

【分析】

據題意可得3—％是6的約數，然后逐一檢驗x的各個取值是否是正自然數，從而確定3—工的各個可能的

取值，進而得到一9一的各個可能的取值，即可得出A的列舉法表示.

3-x

【詳解】

*6

■.xeN——eZ,；.3—x是6的約數，

3-x

3—x=±1,3—x=±2,3—x=±3,3—x=±6,

3—x=1,得X=2EN”';

3-X=-1,WX=4GN”;

3—％=2,得X=

3—1=—2,得％=5wN*;

3—x=3,得九=0,與已知xwN”矛盾，故3—xw3；

3—x=—3,得％=6￡N；

3—x=6,得x=—3,與已知xeN*矛盾，故3—xw6;

3-1=-6,得x=9wN".

故3—x的值只能是一1,1,一2,2,-3,-6,

對應￡的值依次為-6,6,-3,3,-2,-1,ERA={-6,-3,-2,-1,3,6).

故選：C.

【點睛】

本題考查集合的描述法與列舉法的轉化，關鍵是根據數的整除性得到3-x的可能的取值，根據x的條件進

一步確認3—%的可能取值，進一步得到集合A的元素.

2.已知/(x)=(f-4x+cJ(x2-4%+<?2)(犬2-4X+J)，-4x+c，，集合

M={X|/(X)=O}={X1,A2,...,X7)CZ,且jKe223<。4，則C4-q不可能的值是()

A.4B.9C.16D.64

【答案】A

【分析】

先設知其是方程一-4》+9=0(，=1,2,3,4)的根，芭+%=4,%-y=q,再依題意分析根均為整數，列

舉根的所有情況，確定。4=4和G的可能情況，得到C4-G的最小取值和其他可能的情況，即得結果.

【詳解】

設4》是方程/一4x+q=0。=1,2,3,4)的根，則由根和系數的關系知大+%=4,=q,乂

M={x|/(x)=0}={%,孫…,X7}￡Z,說明方程Y-4x+c,=0(i=1,2,3,4)有一個方程是兩個相等的

根，其他三個方程是兩個不同的根，由于根均為整數且和為4,則方程的根有以下這些情況：...，

(-6,10)(-5,9),(T,8),(-3,7),(-2,6),(-1,5),(0,41(1,3),(2,2),乘積分別為…，-60,-45,-32,-21,

-12,-5,0,3,4.

因為故。4=4,9，。2，。3來自于4前而的任意可能三個不同的數字，q最小，故當4=5

時，4一。最小，等于9,故不可能取4,能取9：當q=-12或C]=-60時C4-q可以取16,64.

故選：A.

【點睛】

本題解題關鍵是能依據題意分析方程/_4x+q=0(i=1,2,3,4)的根的可能情況，既是整數又滿足和為4,

判斷c4=4,再根據。的可能情況，確定o4-q的可能結果，以突破難點.

3.定義集合運算：43={z|z=x2(y—l),xeAye3}歿A={-1,1},B={0,2},則集合中的

所有元素之和為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】

根據定義，逐個分析x，y的取值情況，由此得到Z的取值情況，從而集合可確定，則集合中所有元素

的和可求.

【詳解】

22

當X=_l,y=0時，z=(-l)x(o-l)=-l；當x=_l,y=2時，Z=(-1)X(2-1)=1；

當x=l,y=0時，z=Fx(O-l)=-l；當x=l,y=2時，Z=FX(2-1)=1；

所以8=所以43中所有元素之和為0，

故選：A.

【點睛】

關鍵點點睛：解答本題的關鍵是理解A.B的運算方法，由此采用逐個列舉的方法可完成結果的求解.

4.己知集合4={，|，=//+〃2,m￡N,〃￡N},且xwA,ylA,則下列結論中正確的是()

A.x+yeAB.x-yeA

X

C.xyeAD.—eA

y

【答案】c

【分析】

設工=〃，+/2,y=/+〃,加撾N,〃N,a撾N,bN,再利用孫=(加。+昉)2+(成)一〃”)2,可得解.

【詳解】

由xeA,yiA,設》=加+/2,y=/+/，/篦損N,〃N,a撾N,》N.

所以孫=(m2+n2)(a2+b2)=m2a2+m2b2+n2a2+n2b2=(ma+nb)2+(mb-na)2,

fl.ma+nb&N,mb-/也wN,

所以盯eA,

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛，本題的解題關鍵是帆2a2+加2)2+“2。2+”24=(”+”6)2+(加人一加)2,另外本題可以通

過列舉法得到集合的一些元素，進而排除選項可得解.

5.設所有被4除余數為=0,1,2,3）的整數組成的集合為4,即4={Rx=4〃+左,〃wZ},則下列結

論中錯誤的是（）

A.2020G&B.a+b&A,,則人eA,

C.-1eA3D.a&Ak,b&Ak,則

【答案】B

【分析】

首先根據題意，利用劣的意義，再根據選項判斷.

【詳解】

A.2020=4x505+0,所以2020^4，正確；

B.若a+beA,,則匕eA2,或aGGA或ae4力e4或。6e&,故B不正確；

C.-1=4x（-1）+3,所以—164,，故C正確；

D.a=4n+k,b=4m+k,m,n&Z,則。一/?=4（〃一加）+0,（〃一機）eZ,故。一匕故D正確.

故選：B

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查集合新定義，關鍵是理解兒的意義，再將選項中的數寫出A?中的形式，就容易判斷

選項了.

6.用C（A）表示非空集合A中的元素的個數，定義A*8=|C（A）-C（8）|,已知集合A有三個真子集，

B=卜］（依2+3?+6+2）=0"￡.，若A*B=1,設實數a的所有可能取值構成集合S，則C（S）=

（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】D

【分析】

由已知條件求得C（A）=2,可得出C（5）=l或3,然后對實數。的取值進行分類討論，確定方程

（以2+3%）（》2+以+2）=。的解的個數，由此可求得實數a的所有可能取值，即可得出C（S）的值.

【詳解】

由題意可知，集合A的真子集個數為2c⑷-1=3,解得C（A）=2,

由題中定義可得4*8=|。（4）一。（8）|=|2—。（8）|=1,.1。（3）=1或3.

由題意可知，0為關于x的方程（以2+3x）（/+以+2）=。的一根

當C（B）=1時，則3={0},則方程辦2+3%=0只有一個實根0,可得。=0,

此時，方程V+2=0無實根，則8=修滿足條件；

當C（B）=3時，則關于x的方程（加+39任+改+2）=0有三個根，必有"0,

3

此時，關于x的方程依2+3%=。的兩根分別為％=。，方=-一，分以下兩種情況討論：

a

①若-3是方程乂+以+2=0的一根時，則+a（_3]+2=Z—1=0,解得a=±3.

a\aj\ci）ci~

當。=一3時，則3=同（3/一3?一3%+2）=0}={0,1,2},合乎題意；

當”=3時，則5=卜阿2+3,卜2+3》+2）=0}={_2,—1,0},合乎題意；

②當方程/+公+2=0有兩個相等的實根，則A=a2-8=0,解得。=±2及.

,）f3Jo'

當a=2正時，5={%（2V2x2+3x）（x2+2^x+2）=0|=^-V2,-^-,0k合乎題意；

,xr3五'

當a=-2a時，B=|x（2>/2x2-3x）（x2-2V2x+2j=0j=->,合乎題意.

因此，5=卜3,-2&,0,2&,3},即C（S）=5.

故選：D.

【點睛】

以集合為載體的新定義問題，是高考命題創新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新

運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創造性解決問題的能力.在解本題中，在求出實

數。的取值后，要代回原集合進行檢驗，以免產生錯解.

7.給定集合A，若對于任意。、b^A,有a+bwA,且a—8wA,則稱集合4為閉集合，給出如下三

個結論：

①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合;

②集合A=p?|"=3人,ZreZ}為閉集合；

③若集合A、4為閉集合，則為閉集合.

其中正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

取。=2,b=4利用閉集合的定義可判斷①的正誤；利用閉集合的定義可判斷②的正誤；取

4={n\n=3k,k&z},4={mW=2t"eZ},利用特殊值法可判斷③的正誤.由此可得出合適的選項.

【詳解】

對于命題①，取。=2,6=4則a—b=6eA,則集合A={T-2,0,2,4}不是閉集合，①錯誤；

對于命題②，任取勺、n2eA,則存在占、&eZ,使得〃]=3Z],n2=3k2,

且K+&eZ,Z|_&eZ,所以,勺+%=3（]+&）GA,M,—na=3（/q—A^）GA,

所以，集合A={〃|〃=3左，左wZ}為閉集合，②正確；

對于命題③，若集合4、4為閉集合，取4={"|〃=3左/eZ},4={川加=2r,reZ},

則Au4={x|x=3女或無=2k,左eZ},

取3eA,2GA,,則3+2=5史（4°4）,3-2=1丁（4。&）,

所以，集合4uA?不是閉集合，③錯誤.

因此，正確的結論個數為1.

故選：B.

【點睛】

本題考查集合新定義“閉集合''的判斷，考查推理能力，屬于中等題.

8.在整數集Z中，被5除所得余數為Z的所有整數組成一個“類”，記為因，即因={5"+《〃eZ},

4=0,1,2,3,4,給出如下四個結論g2011?1]@-3目3]念若整數。力屬于同一“類”,則"北網；

④若。一則整數。力屬于同一“類”.其中，正確結論的個數是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根據被5除的余數可確定①?的正誤；設。=5々+左，b=5n2+k,可知G-辦被5整除，知③正確；設

a—b-5n,b-5m+k,可推得結果，知④正確.

【詳解】

對于①，2011+5=402…1,①正確；

對于②，?.?—3=—5+2,即一3被5除余2，二一3回3],②錯誤；

對于③，設。=5〃|+左，b^5n2+k,:.a-b=5（＜n]-n2）,能被5整除，

a-/?e[0],③正確；

對于④，設。一。=5〃，neZ.即a=5〃+8,HGZ,

不妨令力=5"?+左，meZ.4=0,1,2,3,4.

則a=5〃+5m+Z=5（m+〃）+Z,meZ,左=0,1,2,3,4,

力屬于同一“類”，④正確；

綜上所述：正確結論的個數為3個.

故選：C.

【點睛】

本題考查集合中的新定義的問題，解題關鍵是明確新定義的具體含義，即通過余數分類，考查學生分析和

解決問題的能力.

9.用"（A）表示集合A中的元素個數，若集合A=N（f—奴）卜2—改+1）=0},8={0,1},且

|d（A）-d（B）|=1.設實數。的所有可能取值構成集合則d（M）=（）

A.3B.2C.ID.4

【答案】A

【分析】

根據題設條件，可判斷出d（4）的值為1或3,然后研究（*2-0x）（/一欠+1）=0的根的情況，分類討論

出a可能的取值.

【詳解】

由題意，k(A)—d(B)|=l,d(B)=2,可得d(A)的值為I或3,

若d(A)=I,則/一依二。僅有一根，必為0,此時。=0,則/一奴+1=/+1=0無根，符合題意

若d(A)=3,若f—亦=。僅有一根，必為o,此時a=0,則％2-以；+]=%2+]=0無根，不合題意，故

ox=0有二根，一根是0,另一根是。，所以j?—ax+1=0必僅有一根，所以八二。？—4=0，解得

a=±2,此時/一依+1=0的根為1或—1，符合題意，

綜上，實數”的所有可能取值構成集合"={(),一2,2},故d(")=3.

故選：A.

【點睛】

本題考查方程的根的個數的判斷以及集合中元素個數，綜合性較強，考查了分類討論的思想及一元二次方

程根的個數的研究方法，難度中等.

10.直角坐標平面中除去兩點A(l,l)、8(2,-2)可用集合表示為()

A.{(x,y)|xNl,ywl,xH2,yw-2}

xHlfxw2

B.{(%,y)H1或{J

"1-2

c.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2][(X-2)2+(J+2)2]0}

D.{(x,y)|[(x-I)2+(y-l)2]+[(x-2)2+(y+2)20}

【答案】C

【分析】

直角坐標平面中除去兩點A(l,l)、5(2,-2),其余的點全部在集合中，逐一排除法.

【詳解】

直角坐標平面中除去兩點4(1,1)、5(2,-2),其余的點全部在集合中，

A選項中除去的是四條線x=Ly=i，x=2,y=-2；

8選項中除去的是A(l,l)或除去5(2,-2)或者同時除去?兩個點，共有三種情況，不符合題意;

C選項{(x,y)|[(x-l)2+(^-l)2][(x—2)2+(y+2)2]片0},則(x—1產+(y—1產/0目

(x-2)2+(y+2)2^0,即除去兩點A(l,l)、3(2,-2),符合題意;

D選項{(x,y)\[(x-I)2+(y-Ip]+[(x-2產+(y+2力h0},則任意點(x,y)都不能

[(x-1)-+(y—l)-]+[(x—2)-+(y+2)-]=0,即不能同時排除A，8兩點.

故選：C

【點睛】

本題考查了集合的基本概念，考查學生對集合的識別，屬于中檔題.

1a

11.已知集合A滿足條件:若adA,則——GA,那么集合A中所有元素的乘積為（）

1-a

A.-1B.1C.0D.±1

【答案】B

【分析】

根據題意，令。=匕q代入匕州進行求解，依次賦值代入匕@進行化簡，把集合A中運算的所有形式全

1-6!\-a\-a

部求出，再求出它們的乘積即可.

【詳解】

由題意，當aeA時，匕

\-a

11+Q

?1IH----------[

.l+Q八、、1+QiI-//14

令。=-----代入-----，則——：~—=一一eA,

1-a1-a]_1+。ci

1-d

1I1

1]1H—

則一y-=--eA,則一^4=awA,

,,1a+\?a-1

1H----1-----------

aa+\

f1+a1ci—11.1+aIci—1

g|JA=<a,-----,—,----->,協以。----------?-----—1,故選B.

[1-aaa+lJ\-aaa+1

【點睛】

本題主要考查了元素與集合的關系，以及集合的應用問題，其中解答中正確理解題意，合作選擇解答的方

法是解答的關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

12.下列各組中的集合P與。表示同一個集合的是（）

A.尸是由元素1,6,兀構成的集合，。是由元素私1,卜6|構成的集合

B.P是由兀構成的集合,。是由3.14159構成的集合

C.P是由2,3構成的集合是由有序數對（2,3）構成的集合

D.P是滿足不等式-1人1的自然數構成的集合，。是方程N=1的解集

【答案】A

【詳解】

對于A,集合P,。中的元素完全相同，所以P與。表示同一個集合，對于B,C,D,集合P,Q中的元素不相同，所以

P與。不能表示同一個集合.

選A

13.P=,。={/”67?|見2+4〃忒一4<0對于任意實數*恒成立},

則下列關系中立的是

A.PfQB.Q^PC.P=QD.尸口。=。

【答案】A

【分析】

首先化簡集合Q，如2+4儂—4<o對任意實數X恒成立，則分兩種情況：(1)加=0時，易知結論成立,

(2)機<0時，/?儲+4g：一4=0無根，則由/<0求得m的范圍.

【詳解】

2=|me7?|mx2+4/nr-4<0對任意實數V恒成立},

對m分類：

(1)機=0時，Y<0恒成立；

(2)/篦<0時，需要△=(4/”)2+16加<0,解得一1<加<0,

綜合(1)(2)知-1<〃區0,所以Q={訓―1<相40},

因為。={m|-1<〃7<0},所以尸三Q,故選A.

【點睛】

該題考查的是有關判斷集合間的關系的問題，涉及到的知識點有恒成立問題對應參數的取值范圍的求法，

真子集的概念問題，屬于簡單題目.

14.設集合A={x|xwZ且一104x4—1},8={x|xeZ且國<5},則AUB中的元素個數是

A.11B.10C.16D.15

【答案】C

【分析】

首先確定集合A,8,然后求解并集運算確定其中元素的個數即可.

【詳解】

由題意可得：A=10,—9,—8,??11,B-5<x<5,xGZ}=^-5,—4,—3,??-,3,4,5},

據此可得：AuB={-10,-9,-8,-7,…,3,4,5),

則AUB中的元素個數是16.

本題選擇C選項.

【點睛】

本題主要考查集合的表示方法，并集運算及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

15.由實數x,-x,|x|,正，一正■組成的集合中，元素最多有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【分析】

根據絕對值的定義和開平方.、立方的方法，應對x分x>0,x=0,x<0三種情況分類討論，根據討論結果可得

答案.

【詳解】

當x>0時，X=兇=>/7,-機J=—%<0,此時集合共有2個元素，

當尤=0時，x=N=4^=-松巨=一》=0，此時集合共有1個元素，

當尤<0時，—x=W=—正'>0,此時集合共有2個元素，

綜上所述，此集合最多有2個元素.

故選：A-

【點睛】

本題考查了元素與集合關系的判斷及根式的化簡求值,其中解答本題的關鍵是利用分類討論思想，對x分三種

情況進行討論，是基礎題.

16.設集合A={2,l-a,a2-a+2],若4GA,則a=()

A.-3或-1或2B.-3或-1

C.-3或2D.-1或2

【答案】C

【解析】

若1-。=4,貝|。=-3,.,.a2-a+2-14,.,.A={2,4,14}；

若q2—a+2=4,則a-2或a=-\,檢驗集合元素的互異性：

a=2時，1一。=-1,.*.A={2,-1,4)；

a=~\時,1-a=2(舍)，

本題選擇C選項.

17.已知集合A7={xeH|ar2+2x_i=0},若M中只有一個元素，則。的值是()

A.-1B.0或一1C.1D.0或1

【答案】B

【分析】

集合M只含有一個元素，說明方程0?+2%-1=。只有一個解.a=0時、方程為一元一次方程，只有一個

解，符合條件；awO時，方程為一元二次方程，若方程只有一個解，需判別式△=4+4。=0,所以解出。

即可，這樣。的值就都求出來了.

【詳解】

集合M中只含有一個元素，也就意味著方程以2+2x-1=0只有一個解；

(I)當a=0時，方程化為2x—1=0,只有一個解x=L：

2

(2)當arO時，若aj?+2x-1=0只有一個解，只需△=4+4。=0,即。=—1；

綜上所述，可知。的值為a=0或a=—1.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有?個解的充要條件，屬于中檔題.

18.用d(A)表示集合A中的元素個數，若集合A={0,1},B={x|(Pax)(「一G+1)=0},且|d(A)-d(B)

1=1.設實數a的所有可能取值構成集合M,則d(M)=()

A.3B.2C.ID.4

【答案】A

【分析】

根據題設條件，可判斷出4(B)的值為1或3,然后研究(x2-ax)(%2-ax+1)=0的根的情況，分類討論

出a可能的取值.

【詳解】

解：由題意，|d(A)-d(B)|=1,d(A)=2,可得d(B)的值為1或3

若d(B)=1,貝！jx2-ax=0僅有一根，必為0,此時a=0,則x2-ax+l=x2+l=0無根，符合題意

若d(B)=3,則x2-ax=0有一根，必為0,此時a=0,則x2-ax+l=x2+l=0無根，不合題意

故x2-ax=0有二根，一根是0,另一根是a,所以x2-ax+l=0必僅有一根，所以△=a2-4=0,解得a=±2

此時x2-ax+l=0為1或-1,符合題意

綜上實數a的所有可能取值構成集合M=[0,-2,2},故d(M)=3.

故選：A.

【點睛】

本題考查方程的根的個數的判斷以及集合中元素個數，綜合性較強，考查了分類討論的思想及一元：次方

程根的個數的研究方法，難度中等.

19.已知A={(x,y),2+y2wi,xeZ,yeZ},B={(x,>胭<3,xeZ,yez}.定義集合

4啰8={(%+%2，%+%)|(玉，,)64,|(左2，/)6氏}，則A十8的元素個數〃滿足()

A.n=77B.n<49C.”=64D.n>81

【答案】A

【分析】

先理解題意，然后分①當玉=±1,%=0時，②當玉=0,y=±1時，③當西=0.%=0時，三種情況討論即

可.

【詳解】

解:由4={(再y),2+/4i,xeZ,yeZ},B={(x,y)||x|<3,|y|<3,xeZ,yez},

①當％=±l.y=0時，%+々=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,

+%=-3,-2,-1,0,1,2,3.

此時A十3的元素個數為9x7=63個，

②當Xi=0,%=±1時,x,+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,

%+%=-4,-3,—2,—1,0,1,2,3,4.

這種情況和第①種情況除)1+必=-4,4外均相同,故新增7x2=14個，

③當斗=0,y=0時,(+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,

X+%=-3,-2,—1,0,1,2,3.這種情況與前面重復，新增0個，

綜合①②③可得：

A十6的元素個數為63+14+0=77個，

故選:A.

【點睛】

本題考查了元素與集合關系的判斷，重點考查了計數原理的應用，屬中檔題.

20.非空集合G關于運算十滿足：①對任意beG,都有。十Z?eG；②存在eeG使對一切aeG都

有。十e=e十。=a,則稱G是關于運算十的融洽集，現有下列集合及運算中正確的說法有()個

(1)G是非負整數集，?：實數的加法；

(2)G是偶數集，十：實數的乘法；

(3)G是所有二次三項式組成的集合，十多項式的乘法；

(4)G=^x\x=a+b\[2,a,?：實數的乘法.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根據新定義運算十判斷.

【詳解】

(1)任意兩個非負整數的和仍然是非負整數，對任意aeG，OeG，a+0=0+a=a,(1)正確；

(2)任意兩個偶數的積仍然是偶數，但不存在eeG,對任意aeG，使ae=e4=a,(2)錯誤；

(3)Y一x+i和/+彳一1是兩個二次三項式，它們的積(/一%+1)(/+x-l)=/一/+2x—l不是二次

三項式，(3)錯誤；

(4)設x=a+8夜,y=c+d&,a,b,c,dGQ,則xy=ac+28d+(ad+8c)0eG,而且leG，

x4=Lx=x，(4)正確.

，正確的有2個.

故選：B.

【點睛】

本題考查新定義，解題關鍵是對新定義的理解與應用.

21.集合A={xeN|d-（機+3）x+2（機+1）<0（m>2）}的真子集的個數為15個，則實數m的范圍（）

A.0B.{6}C.（5,6]D.（6,7]

【答案】C

【分析】

由集合A有15個真子集，可得集合4中有4個元素,解出集合A中的一元二次不等式，可得2<x<機+1，

分析即可得解.

【詳解】

由J?-（/J?+3）x+2（/M+1）<0.可得（x-/n-l）（x-2）<0,

乂因為m>2,故：2cx</〃+1

假設集合A中有〃個元素，因此集合A有2"—1=15個真子集，即〃=4,

故6<加+1W7,所以5</nK6

故選：C

【點睛】

本題考查了一元二次不等式的解法，集合的真子集的個數等知識點，考查了學生綜合分析，數學運算的能

力，屬于中檔題.

22.若集合中的元素都是非零實數，定義=機若

A={a,0,2},B={、/l2},且A（8）3中有4個元素，則4的值為（）

A.1B.—C.1或2>/5D.1或5

【答案】C

【分析】

根據所給定義，求出A（8）B中的所有元素，再分類討論可得.

【詳解】

解：:A={凡應,2},5={正,2}

根據定義A③B=，xx^—,m&A,n&B>,且A（S）8中有4個元素,

n

41,2_V2V22aV2aa

72V22220222

f/y'

當g=l時，解得。=2,=5不滿足條件，

22

r五'

當5=近時，解得。=2近，AgB=p,J5,（,2滿足條件，

當0=變時，解得a=&，A05=<廠V2

i,J5,一不滿足條件,

222\

也

當變a=l時，解得”=正，A?B=<

2>不滿足條件,

2

=時，解得。=1,AO5=，1,J5,—卜黃足條件，

22I22/

當辛〃=血時，解得°=2,A③6=<1,J5,白，不滿足條件，

故選：C.

【點睛】

本題考查集合中的新定義，分類討論思想，屬于基礎題.

23.對于正實數記M“是滿足下列條件的函數/(x)構成的集合:對于任意的實數內eR且玉<馬,都

有一口(W—％)</(9)-/(%()<磯/一毛)成立.下列結論中正確的是

A.若/(X)eMai,g(x)e，則f(x)-g(x)e

f(x\

B.若/(x)e,g(x)eM%且g(x)w。，則京ye百，

C.若/(x)eMai,g(x)e，則/(x)+g(x)e以計％

D.若J'(x)eMq,g(x)eM%g(x)e且岡〉。2，則/(x)一g(x)?Mq-a,

【答案】c

【分析】

由題意知_&</(%)_/(、)<—從而求得.

々一百

【詳解】

解：對于_々(毛一芯)</(/)_/(%)<&(￡_%).

即有—a<，-/:"<a.

(*2)

令〃々)二八％)=左

'(z-xj

則一avZva,

若/(x)eM%，g(x)eM%,

即有一%<kf<a^-a2<kg<a2,

所以一%一%<即+h<a,+a2,

則有/(x)+g(x)€/+%,

故選：C.

【點睛】

本題考查了函數的性質的判斷與應用，屬于中檔題.

24.已知集合加={〃712=。+〃近,。,。€。卜則下列四個元素中屬于"的元素的個數是()

①1+0兀；@J11+60二③31產;?+"2+6

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】

①②③都可以寫成加=。+人0的形式，驗證a,b是否是有理數，④計算收二國+收二月的平方驗證,

判斷.

【詳解】

①當a+b及=1+正萬時，可得。=1，8=萬，這與a,6eQ矛盾,

②Jll+60=J(3+0『=3+V2

:.a+byf2=3+y/2，可得。=3/=1，都是有理數，所以正確,

③——,

2+V222

:.a+b42=l~—.可得a=l力=一1，都是有理數，所以正確,

22

④心—百+彼+可=4+2=6

而（。+匕0『=/+2匕2+2"近，

?：a,b&Q,

:.[a+b^是無理數，

亞-6+，2+百不是集合拉中的元素，

只有②③是集合M的元素.

故選：C

【點睛】

本題考查元素與集合的關系，意在考查轉化與化歸的思想，計算能力，屬于基礎題型.

XV

25.已知x,y均不為0,即「一「二的所有可能取值組成的集合中的元素個數為（）

\x\|y|

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

xy

對「一:?:由X，y的正負分四種情況去絕對值討論即可.

\x\|y|

【詳解】

當X,y同號時，原式的值是0；當X為正、y為負時，原式的值是2；當X為負、y為正時，原式的值是-2.

XV

綜上所述，「一七的所有可能取值組成的集合中的元素個數為3.

\x\\y\

故選：c

【點睛】

本題考查絕對值的運算，屬于基礎題.

26.設集合4={-1,1,2},集合3={x|xeA且2-xeA},則8=（）

A.{1}B.{2}C.{-1,2}D.{1,2}

【答案】C

【分析】

對A中元素進行討論，若滿足xeA且則此元素是B集合中的元素.

【詳解】

集合8={x|xeAM2—x史A],集合A={-1,1,2},

當x=—1時，可得2-（-1）=3eA；

當x=l時，可得2-1=1GA；

當x=2時，可得2—2=0定A.

綜上8={-1,2}.

故選：C

【點睛】

本題考查集合的含義與表示，屬于基礎題.

27.己知集合4={。,|。|,。一2},若2eA，則實數。的值為（）

A.±2或4B.2C.-2D.4

【答案】C

【分析】

由集合元素的特性和2屬于集合A,直接計算判斷求解即可得出答案.

【詳解】

由集合A={a,|a|,。-2},可得。。時。。一2,則得。<0，。一2<0,又因為2eA可得時=2,解得

a=-2，即C選項正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查了集合元素特性的利用，考查了由元素屬于集合求參數的問題，屬于一般難度的題.

xyxy

28.已知都是非零實數，z=丁+十+「彳可能的取值組成的集合為A,則下列判斷正確的是（）

\x\|y|\xy\

A.3eA,一1史AB.3eA,-IGAC.3iA,-leAD.3eA,-l^A

【答案】B

【分析】

xyxy

分別討論羽y的符號，然后對z=「+十+產進行化簡，進而求出集合A,最后根據集合元素的確定

以1\y\\xy\

性即可得出答案.

【詳解】

當x>0,y>0時,z=l+l+l=3；

當x>0,y<0時,z=1—1—1=—1；

當x<0,y>（）時,z=—1+1—1=—1

當尤<0,y<0時,z=—1—1+1=—1

所以3wA,—IGA.

故選：B.

【點睛】

本題考查了對含有絕對值符號的式子的化簡，考查了集合元素的特點，考查了分類討論思想，屬于一般難

度的題.

29.對任意xeM,總有fe〃且6e時，若例之{0,1,2,3,4,5},則滿足條件的非空集合M的個數

是（）

A.11B.12C.15D.16

【答案】A

【分析】

根據題意，OeMCLleM,112、4不同時在集合M中，對集合M分兩種情況討論：①且4史M；

②2和4有且只有一個在集合M中，分別列舉出符合條件的集合M,即可得出答案.

【詳解】

1=Vi=I2-O=J5=()2，由題意可知OcM且由于4=2?，

所以，2和4不同時在集合M中.

①當2金〃旦時，則符合條件的集合M有：｛3｝、｛5｝、｛3,5｝,共3種；

②若2和4有且只有一個在集合M中,則符合條件的集合M有:｛2｝、｛2,3｝、｛2,5｝、｛2,3,5｝、｛4｝、

｛3,4｝、｛4,5｝、｛3,4,5｝,共8種.

綜上所述，滿足條件的非空集合團的個數是3+8=11.

故選：A.

【點睛】

本題考查滿足條件的集合個數的求解，列舉出滿足條件的集合即可，考查分類討論思想的應用，屬于中等

題.

30.已知集合A=｛xeZ[g<3i<3),8=｛xe<()｝,則集合｛z|z=J9\xwwB｝的元素

個數為()

A.6B.7

C.8D.9

【答案】B

【分析】

解指數不等式求得集合A，解分式不等式求得集合8，由此求得集合｛才2=孫,為64,丁63｝的元素個數.

【詳解】

1y-l2

由一<3143得3~4<3143|，-4<x-l<l.解得一3<x42,所以A=｛-2,-1,0,1,2｝.由——<0

81x—3

解得一2<x<3,所以3=｛-1,0,1,2｝.所以｛本=職工64>6圖=｛2,0,-2,-4,1,-1,4),共有7個元素.

故選：B.

【點睛】

本小題主要考查指數不等式、分式不等式的解法，考查集合元素的判斷，屬于基礎題.

31.對于非空數集例，定義/(")表示該集合中所有元素的和.給定集合s=｛2,3,4,5｝,定義集合

T=｛/(A)|A=S,Aw0｝,則集合T的元素的個數為()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】

分別考慮集合A為單元素集、雙元素集、三元素集、四元素集，然后分別計算出/(A)的取值，由此確定

出集合T中的元素的個數.

【詳解】

當集合A為單元素集時，可取{2},{3},{4},{5},此時/(A)可取2,3,4,5；

當集合A為雙元素集時,可取{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},此時/(A)可取5,6,7,8,9；

當集合A為三元素集時，可取{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},此時/(A)可取9,10,11,12,

當集合A為四元素集時，可取{2,3,4,5},此時〃A)可取14，

綜上可知/(A)可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,共12個值，所以T的元素個數為12，

故選：B.

【點睛】

本題考查集合中的新定義問題，對學生的理解與分析問題的能力要求較高，難度較難.解答新定義的集合問

題，首先要明確集合中表示兀素的含義，其次才是解答問題.

AX人

32.非空集合A具有下列性質：①若X、ylA,則一eA；②若x、ylA,則x+yeA,下列判斷一

y

定成立的是()

2020--

(1)一1e4；(2)A；(3)若8、ylA,則孫e4；(4)若x、ylA,則x-yeA.

A.(1)(3)B.(1)(2)

C.⑴(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)

【答案】C

【分析】

假設一IGA，可推出OGA,由此可判斷(1)的正誤；推導出IwA,進而可推導出V〃eN*，neA,由

1人

此可判斷(2)的正誤；推導出一GA,結合①可判斷(3)的正誤：若％、yl4,假設了一丁64,推出。€4,

y

可判斷(4)的正誤.綜合可得出結論.

【詳解】

由①可知。任A.

X

對于(1),若一leA，對任意的尤cA,xwO，則一1=石￡4，

所以，O=x+(—x)eA,這與0史A矛盾，(1)正確；

X

對于(2),若且xcA,貝I」1=一￡A,.,.2=1+1￡A，3=2+1GA,

x

2020

依此類推可得知，V〃EN*，neA,/.2020GA,2021GA,/.----GA,(2)正確；