第十一章隨機變量與數字特征一、隨機變量二、離散型隨機變量及其概率分布三、連續(xù)型隨機變量及其分布四、數字特征一、隨機變量的概念 在隨機試驗中，由于隨機因素的作用，試驗的結果有多個（甚至是無窮多個）。如果對于試驗的每一個可能結果（也就是一個樣本點），都讓其對應著一個實數X，這樣X是一個隨著試驗結果不同而變化的變量，稱它為隨機變量。隨機變量一般用希臘字母、、···或大寫拉丁字母X、Y、Z···等表示。例1從0，1，2，······，9十個數字中任取一個。用X

表示取得的數字,X所有可能取的值為：0，1，2，3，······，9X

就是一個隨機變量。X的所有可能取值為：0,1,2,···,k,···X是一個隨機變量。例2一個局域網中在一小時內上網的人數X。例3用X表示電腦的使用壽命其可能的取值為[0,+)X是一個隨機變量，對離散型隨機變量，首先列出它的所有可能取的值xi，其次要分別求出以怎樣的概率取其中的每一個數。稱為X的概率分布簡稱分布律，一般用下表表示Xx1x2····

xn····

p

p1p2····

pn····

滿足如下兩個性質：Xx1x2····

xn····

p

p1p2····

pn····

例1設已知離散型隨機變量的概率分布為：求其中的常數a.解：解得a=0.6,a=-0.9-10123

p（舍去）例3拋擲一枚勻稱的骰子，設出現的點數為X。（1）.求X的分布律；（2）.求“點數不小于3”的概率；（3）求“點數不超過3”的概率.解：（1）124356（2）Xp例3拋擲一枚勻稱的骰子，出現的點數為X。（3）求“點數不超過3”的概率；（3）124356XpP1041；2（1）2、幾種常用的離散型分布設事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p用X表示在n次試驗中事件A發(fā)生的次數，則例4醫(yī)生對5人作某疫苗接種試驗，已知對試驗呈陽性的概率為p=0.45，且各人的反應相互獨立，若以X記反應為陽性的人數。（1）寫出X的分布律；（2）求恰有3人反應為陽性的概率；（3）求至少有2人反應為陽性的概率。解觀察一個人對接種疫苗的反應看成是一次試驗。用X表示5次這樣的試驗中反應為陽性的人數。則X服從二項分布，即XB(5,0.45)(1)Xp由于XB(5,0.45)（2）恰有3人反應為陽性的概率。至少有2人反應為陽性的概率例4（3）求至少有2人反應為陽性的概率。XB(5,0.45)例5設隨機變量X服從參數是的泊松分布，且已知，求。解：由于X～P()，且則解得=2所以解：由于X～P(10)，所求概率為例6設每分鐘到達某交通收費站的汽車數X是隨機變量，且，求在一分鐘內到達收費站的汽車數不超過3輛的概率。～P10514三、連續(xù)型隨機變量若隨機變量X，存在非負函數f(x)，有1、連續(xù)型隨機變量及其分布密度則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱函數f(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或密度函數。概率的計算概率就是面積值作為連續(xù)型隨機變量X注意如下特性：例1設隨機變量X有概率密度則稱X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布（常用分布），試求常數A。解由密度函數的性質可得：例2設隨機變量X的概率密度為求（1）.系數A；（2）.P(-2<X<3)解（1）（2）P1141;7(機)特別地，若隨機變量X的概率密度為則稱X服從標準正態(tài)分布，記為

X~N(0，1

)例3設隨機變量X~N(3,42)，求：解（1） 現在我們把每一個同學的成績分別寫在10個相同的球上，這樣就得到10個帶有數字的球。 我們做隨機試驗：在這10個寫有數字的球中，隨機地任取一個球，用X表示所取得的球上的數字，則X是一個離散型隨機變量。由數據66，76，80，92，80，52，80，76，80，92觀察：Xp且X是個離散型隨機變量，其概率分布律為：5266768092平均成績?yōu)椋涸O離散型隨機變量X的概率分布為：定義：離散型隨機變量X的數學期望EX就是X的平均值Xp例1：離散型隨機變量X的概率分布是：求它的數學期望EX.解：XP例2：設想有這樣一種博彩游戲，博彩者將本金1元壓注在1到6的某個數字上，然后擲三顆骰子，若所壓的數字出現n次（n=1，2，3），則博彩者贏n元，否則沒收1元本金，試問這樣的游戲規(guī)則對博彩者是否公平？解：設1元本金所帶來的贏利為X

元，則X的分布為：XP-1123平均贏利為EXXPXP（2）、連續(xù)型隨機變量的數學期望設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數為定義：連續(xù)型隨機變量的數學期望EX就是X的平均值例3：設隨機變量X的概率密度是（2）.求X落在（-1，1）內的概率；（3）.求X的數學期望E(X)。（1）.求常數C；解：由概率密度函數與概率的關系可得：例3：設隨機變量X的概率密度是（2）.求X落在（-1，1）內的概率；由數學期望的定義可知：例3：設隨機變量X的概率密度是（3）.求X的數學期望E(X)。設隨機變量X服從正態(tài)分布其數學期望P1231(第一問)7(1)（3）數學期望的性質性質1、E(C)=C性質2、E(aX+b)=aE(X)+b例4設隨機變量X的分布律為X0123p0.40.30.20.1求E(X)，E(3X+2).解P1231(第3問)2、方差（1）定義：設X是一個隨機變量，若E[X-E(X)]2

存在，則稱E[X-E(X)]2為X的方差，記為D(X)。（2）計算(只要求連續(xù)型)設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)：例5設X在[a