6.3平面向量基本定理及坐標表示一、平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．二、用基底表示向量用基底表示向量的一般方法(1)根據平面向量基本定理可知，同一平面內的任何一個基底都可以表示該平面內的任意向量．用基底表示向量，實質上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算．(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．三、平面向量基本定理的應用(1)平面向量基本定理的實質是向量的分解，即平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理體現了轉化與化歸的數學思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當的基底，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決．四、平面向量的坐標表示1．把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底．對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj，則有序數對(x，y)叫做向量a的坐標．3．坐標表示：a＝(x，y)．4．特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．五、平面向量加、減法的坐標表示設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有下表，符號表示加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要結論已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)六、平面向量坐標運算的應用坐標形式下向量相等的條件及其應用(1)條件：相等向量的對應坐標相等．(2)應用：利用坐標形式下向量相等的條件，可以建立相等關系，由此可以求出某些參數的值或點的坐標．七、數乘運算的坐標表示已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．八、向量共線的判定設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a，b共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.向量共線的判定應充分利用向量共線定理或向量共線的坐標表示進行判斷，特別是利用向量共線的坐標表示進行判斷時，要注意坐標之間的搭配．九、利用向量共線的坐標表示求參數利用向量平行的條件處理求值問題的思路(1)利用向量共線定理a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量共線的坐標表示直接求解．提醒：當兩向量中存在零向量時，無法利用坐標表示求值．十、有向線段定比分點坐標公式及應用對任意的λ(λ≠－1)，P點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).注意點：(1)λ的值可正、可負．(2)分有向線段的比與線段長度比不同．十一、平面向量數量積的坐標表示設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.進行數量積運算時，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運用以下幾個關系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.十二、平面向量的模1．若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).求向量a＝(x，y)的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉化為求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時，勿忘記開方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性質可用來求向量的模，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．十三、平面向量的夾角、垂直問題設a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.1．cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).2．a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

考點一平面向量的基本定理【例1】(2021·陜西)下列各組向量中，可以作為基底的是()A． B．C． D．【練1】(2020·廣東云浮市·高一期末)下列各組向量中，可以作為基底的是()．A．， B．，C．， D．，考點二加減數乘的坐標運算【例2】(2020·咸陽百靈學校高一月考)已知點(－3，3)，(－5，－1)，那么等于()A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)【練2】(2020·蒼南縣樹人中學高一期中)已知，，則向量為()A． B． C． D．考點三共線定理的坐標表示【例3】(2020·全國高一)若，，三點共線，則實數的值是()A．6 B． C． D．2【練3】(2020·新絳縣第二中學高一月考)已知，，則與向量共線的單位向量為()A．或 B．或C．或 D．或考點四向量與三角函數的綜合運用【例4】(2021·湖南)已知向量，，若//，則的值為()A． B． C． D．【練4】(2020·平涼市莊浪縣第一中學高一期中)若且//,則銳角=__________.考點五奔馳定理解三角形面積【例5】(2020·河南安陽市·林州一中高一月考)已知為內一點，且有，則和的面積之比為()A． B． C． D．【練5】(2020·江西)在中，D為BC的中點，P為AD上的一點且滿足，則與面積之比為()A． B． C． D．考點六數量積的坐標運算【例6】(2020·銀川市·寧夏大學附屬中學高一期末)向量，則()A．1 B． C． D．6【練6】(2021·深圳市龍崗區)已知向量，，則()A．15 B．16 C．17 D．18考點七巧建坐標解數量積【例7】(2020·山東濟南市·)在中，，，為所在平面上任意一點，則的最小值為()A．1 B． C．－1 D．-2【練7】(2020·安徽省亳州市第十八中學高一期中)如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在上，且．(1)求；(2)若(，)，求的值.考點八數量積與三角函數綜合運用【例8】向量，且，則的值為()A．1 B．2 C． D．3【練8】(2020·河南安陽市·林州一中高一月考)已知向量,若,則()A．1 B． C． D．考點九數量積與幾何的綜合運用【例9】(2020·陜西渭南市·高一期末)已知向量，，.(1)若點，，能夠成三角形，求實數應滿足的條件；(2)若為直角三角形，且為直角，求實數的值.【練9】(2020·遼寧)已知向量．(1)若ΔABC為直角三角形，且∠B為直角，求實數λ(2)若點A、B、C能構成三角形，求實數

課后練習（2021·內江模擬）已知空間三點O(0,0,0)，A(-1,1,0)，B(0,1,1)，在直線OA上有一點H滿足BH⊥OAA.(12,-12,0)

B.（2021高二上·遼寧月考）若a=(2,2,0)，b=(1,3,z)，<a,b>=πA.

22

B.

-22

C.

±22

D.

±42（2021高一下·保定期末）設平面向量a=(x,2)，b=(2,1)，若a⊥b，則A.1

B.2

C.-1

D.3（2021高二上·浙江月考）已知平面α的法向量為a=(2,3,-1)，平面β的法向量為b=(1,0,k)，若α⊥βA.

1

B.

-1

C.

2

D.

-2（2021·濟南模擬）已知平面向量a→，b→，滿足|b→|=2，(a→-b（2021·渭南模擬）已知平面向量a，b都是單位向量，且a?b=-12，則|2（2021高一下·安慶期末）已知向量a,b的夾角為2π3，|a|=3,|b（2021高一下·孝感期末）已知向量a，b滿足|b|=2|a|=2，且向量a與b的夾角為60°，則（2021高一下·馬鞍山期末）已知|a|=4，|b|=3（1）求a與b的夾角θ；（2）求|a+2b（2021高二上·沈陽月考）已知A(1,2,（1）求|OA（2）在x軸上求一點P,使|PA|=|（2021高一下·信陽期末）已知|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為（1）求a?b與|a（2）若a+b與a-λb垂直，求實數（2021高一下·浙江月考）已知向量a=(1,-1)，|b|=2（1）求向量a與b的夾角；（2）求|a+b精講答案【例1】【答案】B【解析】對A：因為零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；對B：因為，故B中兩個向量不共線；對C：因為，故C中兩個向量共線，故C中向量不可作基底；對D：因為，故D中兩個向量共線，故D中向量不可作基底.故選：B.【練1】【答案】B【解析】因為與不共線，其余選項中、均共線，所以B選項中的兩向量可以作為基底．故選：B【例2】【答案】A【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故選：A【練2】【答案】C【解析】由題意可得.故選：C.【例3】【答案】B【解析】因為三點，，共線，所以,若，，三點共線，則和共線可得：，解得；故選：B【練3】【答案】B【解析】因為，，所以向量，所以與向量共線的單位向量為或.故選：B【例4】【答案】C【解析】因為//，故可得，故可得，又.故選：【練4】【答案】【解析】∵//,∴，又為銳角，，∴，．故答案為：．【例5】【答案】C【解析】設是的中點，則，又因為，所以,，，所以故選：【練5】【答案】B【解析】設的中點為點，則有，又，所以，則點在線段上，因為D為BC的中點，所以得點為的重心，故與面積之比為.故選：B【例6】【答案】D【解析】因為所以故選：D【練6】【答案】C【解析】因為向量，，所以，故選：C【例7】【答案】C【解析】如圖，以為建立平面直角坐標系，則，設，，，，，∴，∴當時，取得最小值．故選：C．【練7】【答案】(1)14；(2).【解析】如圖，分別以邊，所在的直線為軸，軸，點為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，，，，.

(1)∵，，∴.(2)∵，，，由，得，∴解得∴.【例8】【答案】A【解析】由題意可得，即．∴，故選A．【練8】【答案】A【解析】由，得，整理得，所以，故選：A.【例9】【答案】(1)；(2).【解析】(1)已知向量，，，若點，，能構成三角形，則這三點不共線，即與不共線.，，故知，∴實數時，滿足條件.(2)若為直角三角形，且為直角，則，∴，解得.【練9】【答案】(1)λ=2；(2)λ【解析】∵即：-(2)∵若點A、B、∴-∴實數λ應滿足的條件是λ練習答案1.【答案】B【考點】平面向量數量積的運算【解析】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴OA=（﹣1，1，0且點H在直線OA上，可設H（﹣λ，λ，0），則BH=（﹣λ，λ﹣1，﹣1又BH⊥OA，∴BH?OA=0即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）?（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ=12∴點H（-12，12故答案為：B．【分析】根據已知中空間三點

O(0,0,0)

，

A(-1,1,0)

，

B(0,1,1)

，根據點H在直線OA上，我們可以設出H點的坐標(含參數λ)

,進而由BH⊥OA，根據向量垂直數量積為2.【答案】C【考點】數量積表示兩個向量的夾角【解析】由空間向量夾角的余弦公式得cos<a,解得z=±故答案為：C.【分析】利用已知條件結合數量積求向量夾角公式，從而求出實數z的值。3.【答案】C【考點】數量積的坐標表達式，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系【解析】由a⊥b得a?b=2x+2=0故答案為：C.【分析】利用已知條件結合兩向量垂直數量積為0的等價關系，再結合數量積的坐標表示，從而求出x的值。4.【答案】C【考點】數量積的坐標表達式，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系【解析】由題知：a?b=2+0-k=0故答案為：C【分析】利用平面法向量的定義結合兩平面垂直，則兩平面的法向量數量積為0的等價關系，從而結合數量積的坐標表示，進而求出實數k的值。5.【答案】2【考點】平面向量數量積的運算【解析】∵(a→-∴(a-故答案為：2.

【分析】由數量積的運算性質整理即可得出答案。6.【答案】7【考點】平面向量數量積的坐標表示、模、夾角【解析】因為平面向量a，b都是單位向量，且a?b=所以，根據題意得|2a故答案為：7。

【分析】利用已知條件結合單位向量的定義，再結合數量積求向量的模的公式結合數量積的運算法則和數量積的值，進而求出向量的模。7.【答案】63【考點】平面向量數量積的運算【解析】由題意，向量a,b的夾角為2π3，|a|=3,|b可得|2a-3b|2=4故答案為：63【分析】根據條件可求出a→?b→=-3，然后進行數量積的運算即可求出8.【答案】23【考點】向量的模，平面向量數量積的運算【解析】解：因為向量a，b滿足|b|=2|a|=2，且向量a與b的夾角為所以|2a+故答案為：23【分析】由|2a→+b9.【答案】（1）cos