2023/2/7電網絡分析第六章第六章網絡的靈敏度2023/2/7電網絡分析第六章§6－1.網絡的靈敏度一、網絡的靈敏度

觀察一個集總、線性、時不變網絡N，其某一網絡函數為

。設為與該網絡某元件有關的參數，它可以是元件值，或是影響元件值的一些物理量(如溫度、壓力)。為研究的微小變化對網絡性能的影響，將網絡函數表示為。設參數在標稱值附近有微小變化將在附近用泰勒級數展開：2023/2/7電網絡分析第六章設函數在處連續，且很小，忽略及各高次項，得網絡函數相對于參數的未歸一化靈敏度定義為網絡函數相對于參數的歸一化靈敏度(簡稱靈敏度)定義為：§6－1.網絡的靈敏度2023/2/7電網絡分析第六章二、網絡函數的偏差及相對偏差與靈敏度的關系

如果網絡中有多個元件參數同時產生微小變化，網絡函數對各元件參數的靈敏度分別為則這些參數同時改變所引起網絡函數的偏差和相對偏差分別為：§6－1.網絡的靈敏度2023/2/7電網絡分析第六章三、網絡輸出變量對某些參數的靈敏度

一般而言，將網絡函數表示為對的靈敏度為

§6－1.網絡的靈敏度2023/2/7電網絡分析第六章四、增益靈敏度和相位靈敏度

頻域網絡函數：對參數的靈敏度為

§6－1.網絡的靈敏度2023/2/7電網絡分析第六章分別對上式取實部和虛部，得上兩式中，為增益對的靈敏度，為相角

對的靈敏度，可由網絡的復增益對靈敏度取實、虛部而得：§6－1.網絡的靈敏度2023/2/7電網絡分析第六章§

6－2.靈敏度恒等式

以下靈敏度恒等式均就歸一化靈敏度而言1、如果不是的函數，則2、設是任意常數，則3、4、5、設是的函數，是的函數，則2023/2/7電網絡分析第六章6、7、8、9、10、11、§

6－2.靈敏度恒等式2023/2/7電網絡分析第六章§6－3.增量網絡法一、增量網絡法

增量網絡法是一種根據給定電網絡直接求網絡變量對網絡元件參數的非歸一化靈敏度的方法。考察一個含線性時不變電阻、電感、電容元件、線性受控源和獨立源的網絡，指定參考節點并任選一樹。網絡的基本方程為：

此處及以下各節一般均略去復頻域變量符號()“微擾網絡”(Perturbednetwork),用符號表示。與有相同的拓撲結構，故的KCL、KVL方程為2023/2/7電網絡分析第六章

設想構造一個與原網絡拓撲結構相同的“增量網絡”(incrementalnetwork),的各支路電流、電壓就是增量電流向量、增量電壓向量的各元，而

的支路特性應按中各支路增量電流與增量電壓間的關系確定。設原網絡的第條支路阻抗為，則該支路電壓電流方程§6－3.增量網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

當網絡中某些參數有微小變化時，在微擾網絡中第條支路忽略高階無窮小，有上式表明，在增量網絡中，第條支路應由原網絡的第支路阻抗與電壓為的電壓源串聯構成。

增量網絡的構成見表6-1§6－3.增量網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

應當注意，、和受控源在增量網絡中的對應之路分別較原網絡增加了串聯電壓源和并聯電流源，而這些電源的表達式均含原網絡某些支路電流或電壓，因此，求解增量網絡之前必須先對原網絡求解。

如果列出網絡的方程為

則網絡的方程必為設的關聯矩陣為，支路導納矩陣為，則節點方程為§6－3.增量網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

當支路導納矩陣有微小改變時，節點電壓向量改變，寫出增量網絡的節點方程的一階近似式為：

即復合支路中各部分電壓間的關系所給出的導抗元件電壓向量：§6－3.增量網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

如果去網絡中全部導納元件均以導納參數表示，且受控源一律換為等效的壓控流源，按表6-1規則繪出其增量網絡，對列寫出節點方程，直接便得到上式，根據上式可求出：二、增量網絡法求非歸一化靈敏度的基本步驟

1、根據題意所要求的非歸一化靈敏度確定哪些元件參數是可微變參數，構造相應的增量網絡；

2、解，求出中所需的網絡變量；§6－3.增量網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

3、解，導出有關網絡變量增量與各可微變參數增量間的關系式；

4、應用3中所得關系式求網絡變量對元件參數的偏導數。將以上結果除以激勵電壓(或電流)，便可得到有關網絡函數對該元件參數的偏導數。§6－3.增量網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

伴隨網絡法是計算任意網絡函數對網絡中各元件參數的非歸一化靈敏度的有效方法。一、特勒根定理

研究一個集總網絡，支路電流、電壓取一致參考方向，時域中支路電流、電壓向量用、表示，節點電壓向量用表示，的關聯矩陣為，用關聯矩陣表示的KCL、KVL分別為§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

將各支路、相乘并求和故對任意集總網絡有上式表明：任意集總網絡任意時刻各支路吸收的瞬時功率之和為0，這是點網絡瞬時功率守恒性的數學描述。下面再考察和另一個集總網絡，和的拓撲結構相同，對應支路元件成分可不相同，將二網絡按相同序號進行支路和節點編號，則與的關聯矩陣相等，即§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

的KCL、KVL方程分別為將網絡的每一支路電壓乘以網絡的對應支路電流，然后求和故對任意兩個關聯矩陣相同的集總網絡和有

(似功率定理)上式即為特勒根定理。在復頻域中有§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章二、伴隨網絡

1、伴隨網絡定義兩個線性時不變的集總網絡與，如果滿足下列三個條件，則稱它們互為伴隨網絡：

(1)和的拓撲結構相同，即

(2)和的非獨立源支路的參數矩陣間有以下關系i)若支路阻抗矩陣、存在，則

ii)若支路導納矩陣、存在，則§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

iii)

一般情形下，非獨立源支路特性總可以用混合參數矩陣表征為則§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

3)和中的對應獨立源支路具有相同性質，即同為電流源或同為電壓源，但可有不同的值。以上即伴隨網絡的定義。可以看出，條件(2)中的i)、ii)兩種情形均屬iii)的特例。與互為伴隨網絡，則稱網絡與具有相互互易性(interreciprocity)。注意構造伴隨網絡時的支路劃分，獨立源應單獨作為一個支路，受控源必須采用其二端口模型。即包括控制支路和受控支路，控制電流視為一個短路支路的電流，控制電壓視為一個開路支路的電壓。表6-2各類網絡元件在伴隨網絡中的對應元件§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

2、和的端口參數間的關系將和的全部獨立源抽出，形成多端口網絡，如圖所示。§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

非獨立源支路電流、電壓向量用、及、表示。如果支路阻抗矩陣存在，則

且有端口電流、電壓向量用、及、表示。如果多端口網絡的開路阻抗矩陣存在，則§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

式中負號是考慮到開路阻抗矩陣是在端口支路電流、電壓參考方向相反的情況下定義的。可以證明如果多端口網絡的短路導納矩陣存在，即則在一般情況下，多端口網絡的混合參數矩陣為§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

式中下表表示獨立電壓源，下表表示獨立電流源。可以證明，和存在以下關系：三、用伴隨網絡法計算靈敏度

設的微擾網絡為，伴隨網絡為，、、和、、分別為以上三網絡的電流向量和電壓向§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

量。由于、和三者有相同的拓撲結構，其中任意二網絡的電流、電壓均滿足特勒根定理所給出的關系，故有

將上式中各電流、電壓向量按端口支路與內部支路的劃分的分塊形式，得§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

上式是推導靈敏度計算公式的依據。以下按網絡的端口參數及內部(非源支路)參數的幾種類型分別進行討論。

1、多端口網絡的開路阻抗矩陣存在，內部支路阻抗存在，§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

當網絡內部阻抗參數發生微小改變而引起網絡擾動時，上兩式一階近似為

則：右

左于是

§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

上式給出了的端口阻抗參數增量與內部阻抗參數增量間的關系，是用伴隨網絡法計算靈敏度的公式之一。

2、的短路導納矩陣存在，內部支路導納矩陣存在給出了的端口導納參數增量與內部導納參數增量§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

間的關系，是用伴隨矩陣網絡計算靈敏度的公式之二。

3、一般情形下，的端口特性用混合參數矩陣表示，內部非源支路特性用混合參數矩陣表示，即的伴隨網絡的參數矩陣分別為、。和的對應參數矩陣間關系如式(6-4-30)、(6-4-15)所示。§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

令內部參數(各元素)發生微小改變而引起網絡擾動，基于由特勒根定理，可推導出下列兩式§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

上式是用伴隨網絡法計算網絡的非歸一化靈敏度的一般公式。左端向量、、、的元素是和的端口激勵電壓和電流，在靈敏度計算時可以根據需要適當取值，使左端矩陣相乘的結果僅含我們所關注的網絡函數的增量。上式右端增量矩陣的元素決定于內部非源支路特性，分塊矩陣、、、的元素應分別為導納、阻抗、電流比和電壓比，因此，在該式右端矩陣乘積展開式中，各類非源元件的貢獻分別屬于下列各項：導納§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章

阻抗

電流比

電壓比

根據以上討論，可將式(6-4-34)右端展開式所含各項(稱為“靈敏度分量”)與各類元件參數的對應關系歸納于表6-3。進行靈敏度計算時可以直接借助于該表求(6-4-55)右端。表6-3靈敏度分量

§6－4.伴隨網絡法2023/2/7電網絡分析第六章一、符號網絡函數

網絡的支路特性不是用數值，而是用某些變量表示，這樣得到的網絡函數就是符號網絡函數。

1、全符號網絡函數：全部元件參數(、、)均用符號表示，復頻域變量用表示。

2、部分符號網絡函數：部分元件參數用符號表示，另一部分元件參數用數值表示，復頻域變量用表示。

3、具有數值系數的的有理函數：

全部元件參數均用數值表示，復頻域變量用表示§6－4.符號網絡函數法2023/2/7電網絡分析第六章二、符號網絡函數法

符號網絡函數法是計算全符號網絡函數和部分符號網絡函數對網絡元件參數的歸一化靈敏度的一種方法。這種方法的優點是計算步驟簡單，而且靈敏度表達式能清楚地反映出各種因素對靈敏度的影響。此外，在頻域分析中，如果需要計算的靈敏度項目較少，而頻率采樣點很多，在這種情況下，符號網絡函數法更顯示出其優越性。設集總、線性、時不變網絡由二端電阻、電感、電容和四類受控源組成。將中所有的(或部分的)網絡元件參數分別用不同的變量表示，網絡的網絡函數(可為或)必定可以表示為兩個多項式之比，且每一多項式對于代表元件參數的任一變量都是一次的，即網絡函數可表示為

§6－4.符號網絡函數法2023/2/7電網絡分析第六章

(1)例如，將中兩個元件參數分別用表示，其余元件參數用數值表示，則

(2)式中為常數，利用網絡函數的以上性質，可以推導出靈敏度計算的符號網絡函數法。§6－4.符號網絡函數法2023/2/7電網絡分析第六章

式(1)可改寫為

(3)上式中，，式(3)中的對于以及對于每一個都是一次的，而對于式中任一都是隱函數關系。為尋求對的靈敏度，首先計算對的靈敏度，假設(3)中作為變量的元件參數為，則該式可表示為

(4)§6－4.符號網絡函數法2023/2/7電網絡分析第六章

式中為常數，應用隱函數求導公式得

(5)對的歸一化靈敏度