第八章假設檢驗第一節假設檢驗的基本思想和概念二、假設檢驗的相關概念三、假設檢驗的一般步驟一、假設檢驗的基本思想四、小結一、假設檢驗的基本思想在總體的分布函數完全未知或只知其形式、但不知其參數的情況下,為了推斷總體的某些性質,提出某些關于總體的假設.假設檢驗就是根據樣本對所提出的假設作出判斷:

是接受,還是拒絕.例如,提出總體服從泊松分布的假設;如何利用樣本值對一個具體的假設進行檢驗?通常借助于直觀分析和理論分析相結合的做法,其基本原理就是人們在實際問題中經常采用的所謂實際推斷原理:“一個小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的”。下面結合實例來說明假設檢驗的基本思想.假設檢驗問題是統計推斷的另一類重要問題例8-1

某車間用一臺包裝機包裝味精,包得的袋裝糖的重量是一個隨機變量X,它服從正態分布N(,0.0152).當機器正常時,其均值=0.5千克.某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機地抽取它所包裝的袋裝糖9袋,稱得凈重為(千克):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問機器是否正常?問題:根據樣本值判斷問題:根據樣本值判斷提出兩個對立假設再利用已知樣本作出判斷是接受假設H0(拒絕假設H1),還是拒絕假設H0(接受假設H1).如果作出的判斷是接受H0,即認為機器工作是正常的;否則,則認為是不正常的.由于要檢驗的假設為總體均值,故可借助于樣本均值來判斷.于是可以選定一個適當的正數k,

,,/

00Hknxx拒絕假設時滿足當觀察值>-sm

.,/

,00Hknxx接受假設時滿足當觀察值反之-sm由標準正態分布分位點的定義取),1,0(~/00NnXHsm-為真時因為當.

,/

,,/02/002/0HunxHunx接受時拒絕時當aasmsm->-于是拒絕假設H0,認為包裝機工作不正常.假設檢驗過程如下:,96.1

025.02/===uuka則以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的.

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,

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,

,2/002/000幾乎是不會發生的的觀察值等式由一次試驗得到滿足不為真就可以認為如果根據實際推斷原理小概率事件是一個時即為真因而當xunxHunXHaasmsmmm>-tyü?íì>-=.

,,/

,002/0HHxunx因而拒絕正確性的的假設則我們有理由懷疑原來的觀察值得到了滿足不等式在一次試驗中asm>-.

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002/0HHunxx因而只能接受沒有理由拒絕假設則滿足不等式若出現觀察值asm-上述假設檢驗的判別轉化為判斷在哪一個范圍內取值：/0nxu=sm-，2/ua若|u|>拒絕H0，2/ua若|u|不拒絕H0二、假設檢驗的相關概念1.

統計假設在許多實際問題中,需要根據理論與經驗對總體X的分布函數或其所含的一些參數作出某種假設H0,這種假設稱為統計假設(簡稱假設)。當統計假設H0僅僅涉及總體分布的未知參數時（如假設H0：=0.5）,稱之為參數假設;當統計假設Ho涉及總體的分布函數形式時（如假設H0：總體X服從泊松分布）,稱之為非參數假設。2.

顯著性水平

/

,

,

,0來作決定。還是小于值大于等于的觀察值的絕對然后按照統計量定就可以確數后選定當樣本容量固定時nxuu/2sma-=u/2u/2,

,/000Hxnxu則我們拒絕的差異是顯著的與則稱如果msm>-=u/2

,

,

,/

,000Hxnxu則我們接受不顯著的的差異是與則稱如果反之msm-=u/23.

檢驗統計量4.

原假設與備擇假設.

/0稱為檢驗統計量統計量nXusm-=

.

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,

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0100mmmm1=HH檢驗假設

.

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10稱為備擇假設稱為原假設或零假設HH5.

拒絕域與臨界值當檢驗統計量取某個區域C中的值時,我們拒絕原假設H0,則稱區域C為拒絕域(記為W),拒絕域的邊界點稱為臨界值或臨界點.如在前面實例中,拒絕域為W={}||2/auu>

2/2/aau和u-臨界值為6.

兩類錯誤及記號假設檢驗的依據是:小概率事件在一次試驗中很難發生,但很難發生不等于不發生,因而假設檢驗所作出的結論有可能是錯誤的.這種錯誤有兩類:(1)當原假設H0為真,觀察值卻落入拒絕域,而作出了拒絕H0的判斷,稱做第一類錯誤,又叫拒真錯誤,這類錯誤是“以真為假”.犯第一類錯誤的概率是顯著性水平P{|H0成立}=||2/auu>P{(x1,x2,…,xn)

W|H0成立}=犯第二類錯誤的概率記為(2)當原假設H0不真,而觀察值卻落入接受域,而作出了接受H0的判斷,稱做第二類錯誤,又叫取偽錯誤,這類錯誤是“以假為真”.

當樣本容量n一定時,若減少犯第一類錯誤的概率,則犯第二類錯誤的概率往往增大.若要使犯兩類錯誤的概率都減小,除非增加樣本容量.P{|H1成立}=||2/auuP{(x1,x2,…,xn)

W|H1成立}=7.

顯著性檢驗只對犯第一類錯誤的概率加以控制,而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗,稱為顯著性檢驗.8.

雙邊備擇假設與雙邊假設檢驗.

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,

,

,

,

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01000010100為雙邊假設檢驗的假設檢驗稱形如假設稱為雙邊備擇也可能小于可能大于表示備擇假設中和在mmmmmmmmmmm1=1=HHHHH9.

右邊檢驗與左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗統稱為單邊檢驗.

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,

:

0100稱為右邊檢驗的假設檢驗形如mmmm>HH

.

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,

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0100稱為左邊檢驗的假設檢驗形如mmmm<HH三、假設檢驗的一般步驟3.確定檢驗統計量以及拒絕域形式;五、小結假設檢驗的基本原理、相關概念和一般步驟.真實情況(未知)所作決策接受H0拒絕H0H0為真正確犯第一類錯誤H0不真犯第二類錯誤正確假設檢驗的兩類錯誤第二節一個正態總體參數的假設檢驗一、單個總體均值的檢驗二、單個總體方差的檢驗三、小結一、單個總體均值的檢驗

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,

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0100mmmm1=HH假設檢驗拒絕域為W={}||2/auu>例某切割機在正常工作時,切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標準差是0.15cm,今從一批產品中隨機的抽取15段進行測量,其結果如下:假定切割的長度服從正態分布,且標準差沒有變化,試問該機工作是否正常?解

5.10:,5.10:

101=mmHH要檢驗假設查表得

,

22的無偏估計是因為ss,

s來取代故用s根據第六章定理6.3(P132)知,)1(~/

,00--ntnsXHm為真時當},{01HHP拒絕為真當/ns

0kxt>m-=拒絕域的形式為W={}

)1(

2/->ntta拒絕域為W={}在實際中,正態總體的方差常為未知,所以常用t

檢驗法來檢驗關于正態總體均值的檢驗問題.上述利用t

統計量得出的檢驗法稱為t檢驗法.例8-2車輛廠生產的螺桿直徑X服從正態分布N(,2),現從中抽取5支,測得直徑(單位:毫米)為:22.3,21.5,22.0,21.8,21.4如果方差2未知，試問直徑均值=21是否成立？解查表得

21:,21:

101=mmHH要檢驗假設故拒絕H0，即螺桿直徑均值不是21練習某切割機所切割的每段金屬棒的長度X服從正態分布,

今從一批產品中隨機的抽取15段進行測量,其結果如下:問該機切割的金屬棒的平均長度是否為10.5?解查表得故接受H0，即平均長度是為10.5單個總體均值的檢驗二、單個總體的方差情況要求檢驗假設:

,

22的無偏估計是由于ss根據第六章定理6.2（P131）),1(~)1(

,22020--nsnHcs為真時當

,

)1(

2022作為統計量取scsn-=

,

a給定顯著水平為)1(22/1和--na)1(22/-nacc查附表4可得從而得拒絕域為:例

某廠生產的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差=5000(小時2)的正態分布,現有一批這種電池,從它生產情況來看,壽命的波動性有所變化.現隨機的取26只電池,測出其壽命的樣本方差=9200(小時2).問根據這一數據能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有