微積分函數定稿第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate第一章函數第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate1.1.1集合

1.集合的概念集合是數學中最基本的概念之一．通常將具有某種特定性質的事物的總體稱為集合，組成這個集合的每一個事物稱為該集合的元素．習慣上常用大寫拉丁字母A，B，C，X，Y，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，x，y，…表示集合中的元素．對于給定的集合A和元素a，二者的關系是確定的，要么a在集合A中，記作a∈A，讀作a屬于A；要么a不在集合A中，記作a?

A，讀作a不屬于A，二者必居其一．1.1集合集合1.1第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數含有有限個元素的集合稱為有限集；含有無窮多個元素的集合稱為無限集；不含任何元素的集合稱為空集，用?

表示．表示集合的方法主要有兩種：一是列舉法，二是描述法．列舉法，就是把集合中的所有元素一一列舉出來．如集合A由a1，…，an所組成，則可以將其表示為A={a1，…,an}；而描述法，則是強調指出具有某種性質P的元素x的全體所組成，通常表示成A={x|x具有性質P}，例如，集合A是方程x2-3x+2=0的解集，就可表示成A={x|x2-3x+2=0}，再如，集合B是不等式0<3x-2≤1的解集，則可表示成B={x|0<3x-2≤1}.第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數2.集合與集合間的關系設A、B是兩個集合，若對任意a∈A?a∈B,則稱A是B的子集，記作A?B(讀作A含于B)或B?A(讀作B包含A)；若A

?

B且B

?A，則稱A與B相等，記作A=B.特別地，規定?

?A，其中A為任何集合.如果集合的元素都是數，則稱其為數集.常用的數集有(1)自然數集(或非負整數集)記作N，即N={0，1，2，…，n，…}；

(2)正整數集記作N+，即N+={1，2，3，…，n，…}；

(3)整數集記作Z，即Z={…，–n，…，–2，–1，0，1，2，…，n，…}；第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數(4)有理數集記作Q={|p∈Z,q∈N+且p,q互質}；(5)實數集記作R;正實數集記作R+.1.1.2集合的運算1.集合的運算集合間的基本運算有三種:并、交、差.設有集合A、B，它們的并集記作A∪B,A∪B?{x|x∈A或x∈B}.集合A與B的交集記作A∩B(或AB)，A∩B?

{x|x∈A且x∈B}.集合A、B的差集記作A＼B,A＼B

?{x|x∈A且x?B}.第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTe`plate

第一章函數通常我們將所研究的某一問題納入到某個大集合Ω中進行，所研究的其他集合都是Ω的子集，此時我們稱Ω為全集.而將Ω＼A稱為A的補集或余集用Ac

表示，即記Ac=Ω＼A.如Ω=R時，集合A={x|-1<x≤1},則Ac={x|x≤-1或x>1}.2.集合的運算規律集合的運算滿足如下運算規律:設A、B、C及Ai(i=1,2,3，…)為Ω中的集合，則

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(1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;交換律

(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);結合律

(3)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);結合律

(4)(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc;對偶律

(5)對偶律以上運算規律均可依據集合相等的定義加以證明，留給讀者一試.1.1.3區間與鄰域區間是常用的一類數集,大體可以分為有限區間和無限區間.

1.有限區間設a,b為實數，且a<b,通常有如下定義與記法:

(1)閉區間［a,b］={x|a≤x≤b};

(2)開區間(a,b)={x|a<x<b};PowerPointTemplate

第一章函數第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogo

第一章函數

(3)半開半閉區間［a,b)={x|a≤x<b},

(a,b］={x|a<x≤b}.以上區間稱為有限區間，a、b稱為區間端點，a為左端點，b為右端點，數b-a稱為區間的長度.從幾何上看，這些區間是數軸上長度有限的線段，可以用圖1-1(a)、(b)、(c)和(d)在數軸上表示出來

2.無限區間引進記號+∞(讀作正無窮大)及-∞(讀作負無窮大)，則可類似地給出無限區間的定義和記法.

第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

(1)［a,+∞)={x|x≥a};

(2)(a,+∞)={x|x>a};

(3)(-∞,b］={x|x≤b};

(4)(-∞,b)={x|x<b};

(5)(-∞,+∞)=R.前四個無限區間同樣可以在數軸上分別用圖1-2(a)、(b)、(c)和(d)表示，而(-∞,+∞)就是整個實數軸.圖1-2第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

3.鄰域及去心鄰域鄰域也是我們經常用到的概念.設a,δ∈R,其中δ>0,稱開區間(a-δ,a+δ)為點a的δ鄰域，記為U(a,δ)，即U(a,δ)=(a-δ,a+δ)={x|a-δ<x<a+δ}

={x||x-a|<δ}.點a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑.U(a,δ)可以在數軸上表示為圖1-3.

圖1-3有時用到的數集需要把鄰域的中心去掉，鄰域U(a,δ)去掉中心a后，稱為點a的去心δ鄰域，記作?(a,δ),即

第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數?(a,δ)=(a-δ,a)∪(a,a+δ)={x|0<|x-a|<δ},是兩個開區間的并集，見圖1-4.

函合圖1-4

為表達方便，有時把開區間(a-δ,a)稱為a的左δ鄰域，把開區間(a,a+δ)稱為a的右δ鄰域.有時在研究某一變化過程中，無需指明a的某鄰域(或去心鄰域)的半徑，此時就簡單地記為U(a)(或?(a)),讀作a的某鄰域(或a的某去心鄰域).第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數1.2.1函數的概念在研究自然現象、客觀規律和經濟現象、經濟規律過程中，往往會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中始終不變，保持一定的數值，這種量叫做常量；還有一些量在過程中是變化著的，可以取不同的數值，這種量叫做變量.通常用字母a,b,c等表示常量，用字母x,y,z等表示變量.但變量沒有孤立存在的，變量和變量之間往往都相互作用、相互依賴和相互影響，而函數是描述變量之間相互依存關系的重要工具之一.函數是微積分學中的基本概念，研究函數的局部性質、整體性質、函數的分解與合成以及函數的變化規律構成了微積分的基本內容.下面我們給出函數的定義.

定義1-1

設在某變化過程中有兩個變量x和y,變量x在一個給定的數域D函數1.2第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數中取值，如果對于D中每個確定的變量x的取值，變量y按照一定的法則總有唯一確定的數值與之對應，則稱y是x的函數，記作y=f(x),x∈D,其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df,即Df=D.函數定義中，對每個取定的x0∈D，按照對應法則f,總有唯一確定的值y與之對應，這個值稱為函數y=f(x)在點x0處的函數值，記作f(x0)或y|x=x0=f(x0).當x取遍D的各個數值時，對應的函數值全體組成的數域稱為函數的值域，記作Rf,即Rf={y|y=f(x),x∈D}

表示函數的記號除了常用f外，還可用其他的英文字母或希臘字母，如“g”、“φ”、“F”、“G”、“Φ”等.相應地函數可以記作y=g(x),y=φ(x),y=第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數F(x)等.有時還直接用因變量的記號來表示函數，即把函數記作y=y(x).但在研究同一問題時，與該問題相關的幾個不同函數，要用不同的記號加以區別.

由函數的定義可知，構成函數的基本要素有兩個:一是對應法則，二是定義域.而值域是由以上二者派生出來的，若兩個函數的對應法則和定義域都相同，則我們認為這兩個函數相同，而不在意它們的自變量和因變量采用何字母表示.如y=x

sin,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)和s=tsin,t∈(-∞,0)∪(0,+∞),這兩個函數是相同的.函數定義域的確定，取決于兩種不同的研究背景:一是有實際應用背景的函數；二是抽象地用算式表達的函數.前者定義域的確定取決于變量的實際意義；而后者定義域的確定是使得算式有意義的一切實數組成的集合，這種定義域稱為函數的自然定義域.例如，函數y=px2,若x表示圓的半徑，y表示圓的面積，則定義域的確定屬于前者，此時Df=［0,+∞);若不考慮x的實際意義，則其自然定義域為Df=(-∞,+∞).

第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate第一章函數在函數的定義中，我們用“唯一確定”來表明所討論的函數都是單值函數.當D中的某些x值有多于一個y值與之對應時，我們稱之為多值函數.例如，變量x和y之間的對應法則由方程所給出.顯然，對任意x∈(-a,a)，對應著y有兩個值.所以方程確定了一個多值函數，我們往往根據問題的性質或研究的需要，取其單值分支或進行分析和討論.本書只討論單值函數.函數的表示方法主要有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).將解析法和圖形法相結合來研究函數，可以將抽象問題直觀化，借助于幾何方法研究函數的有關特性.相反，一些幾何問題也可借助函數來做理論研究.所謂函數y=f(x)的圖形，指的是坐標平面上的點集{(x,y)|y=f(x),x∈D}.一個函數的圖形通常是平面內的一條曲線(圖1-5).圖中的Rf表示函數y=f(x)的值域.

第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

例1-1

求函數y=+lnsinx的定義域.

解函數的定義域就是使表達式有意義的全體x,即

例1-2

設函數求:

(1)函數的定義域；

(2)f(0),f(-1),f(3),f(a),f［f(-1)］；第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

(3)畫出函數的圖形.

解

(1)函數的定義域應是Df=(-∞,0］∪(0,+∞)

=(-∞,+∞).

(2)因0∈(-∞,0］,-1∈(-∞,0］此時f(x)=2+x,得f(0)=2+0=2,f(-1)=2+(-1)=1.因3∈(0,+∞),此時f(x)=2x,得f(3)=23=8.當a≤0時，f(a)=2+a;當a>0時，f(a)=2a.因f(-1)=1,所以f［f(-1)］=f(1)=21=2.

(3)函數f(x)的圖形如圖1-6所示.圖1-6下面給出幾個以后常用的函數.

例1-3絕對值函數第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數定義域D=(-∞,+∞),值域Rf=［0,+∞),它的圖形如圖所示.

例1-4

符號函數

第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數它的定義域D=(-∞,+∞),值域Rf={-1,0,1},它的圖形如圖1-8所示.顯然，對任意x∈(-∞,+∞)有|x|=xsgnx.

例1-5

取整函數y=［x］.對任意實數x,用［x］表示不超過x的最大整數.

例如［-2.2］=-3［2］=2，.這個函數可以分段表示如下(圖1-9):y=［x］=n,n≤x<n+1(n∈Z).

圖1-8

第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數它的定義域D=(-∞，+∞)，值域Rf=Z.

這里請讀者注意，例1-2~例1-5這幾個函數具有如下特征:在自變量的不同變化范圍內，其對應法則是由不同的解析式表示，通常將其稱為分段函數.分段函數是一個函數，它也是在自然科學、工程技術和經濟管理中常用的函數形式.

1.2.2函數的幾種特性研究函數的目的是為了探索它所具有的性質，進而掌握它的變化規律.下面給出幾個我們所關心的某些函數所具有的特性.在數學邏輯推理中，為了書寫方便，我們通常采用符號“”表示“任給”或“每一個”；符號“”表示“存在”.

1.函數的有界性設函數y=f(x)的定義域為Df,實數集X?Df,如果存在數Q，使得對x∈X都有f(x)≤Q

第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數成立，則稱函數f(x)在X上有上界，而Q稱為f(x)在X上的一個上界.如果存在數P，使得對x∈X都有

f(x)≥P成立，則稱函數f(x)在X上有下界，而P稱為f(x)在X上的一個下界.如果存在正數M，使得對x∈X都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)在X上有界.如果這樣的M不存在，就稱f(x)在X上無界;即對M>0,x1∈X,使得|f(x1)|>M,則稱f(x)在X上無界.

注意

函數f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.

由于|f(x)|≤M得到-M≤f(x)≤M,從幾何直觀上看，如果f(x)在X上有界，則其圖形位于兩條直線y=-M和y=M之間，如圖1-10所示(其中X=［a,b］).

第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數圖1-10

例如，函數f(x)=sinx，在其定義域(-∞,+∞)內有界，因取任何正數M≥1，都有|f(x)|=|sinx|≤M.數1和-1分別為它的一個上界和下界.再如函數g(x)=，在其定義域(-∞，+∞)內也有界,只要取正數M≥，都有|g(x)|≤M.數和分別為它的一個上界和下界.

第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

2.函數的單調性設函數y=f(x)的定義域為Df，X

?Df，如果對x1,x2∈X且x1<x2有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),則稱f(x)在X上是單調增加的(或單調減少的);如果對?x1,x2∈X且x1<x2有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2)),則稱f(x)在X上是單調不減的(或單調不增的).函數的以上性質統稱為單調性.如果y=f(x)在區間I上是單調增加(或減少)函數，則稱區間I為函數f(x)的單調增加(或減少)區間.從幾何直觀上看，單調增加函數的圖形是X上隨x的增加而上升的曲線(圖1-11)；單調減少函數的圖形是X上隨x的增加而下降的曲線(圖1-12).例如，函數f(x)=(x-1)2-1在(-∞,1］上是單調減少的，在區間［1，+∞)上是單調增加的；但在Df=(-∞,+∞)上f(x)卻不具有單調性(圖1-13).

第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數又如，函數f(x)=在(-∞,0)上是單調減少的，在(0，+∞)上也是單調減少的；但在Df=(-∞,0)∪(0,+∞)上卻也不具有單調性(圖1-14).

圖1-11圖1-12

圖1-13圖1-14

第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數

3.函數的奇偶性設函數f(x)的定義域Df是關于原點對稱的數集，即對?x∈Df，有-x∈Df.如果對?x∈Df有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數；如果對?x∈Df有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數;如果f(x)既非奇函數，又非偶函數，則稱f(x)為非奇非偶函數.從幾何直觀上，奇函數的圖形關于坐標原點對稱(圖1-15)；偶函數的圖形關于y軸對稱(圖1-16).

例1-7

判斷函數f(x)=sinx2·log2(x+)的奇偶性.第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

解函數f(x)的定義域為(-∞，+∞)，對?x∈(-∞,+∞)有

圖1-15圖1-16所以f(x)=sinx2log2(x+)為奇函數.

第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

奇偶函數的性質奇函數+奇函數=奇函數偶函數+偶函數=偶函數奇函數+偶函數=非奇非偶函數奇函數（0）+偶函數（0）=非奇非偶函數奇函數奇函數=偶函數偶函數偶函數=偶函數奇函數偶函數=奇函數第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數4.函數的周期性設函數y=f(x)的定義域Df，如果存在正數T，使得對?x∈Df，有x+T∈Df，且f(x+T)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數,T稱為f(x)的一個周期.顯然，如果T是f(x)的一個周期，則對?n∈N+,nT也是f(x)的周期.通常我們所說的周期函數的周期往往是指最小正周期.例如，y=sin(wx+?)和y=cos(wx+?)都是以為周期的周期函數；而y=tan(wx+?)和y=cot(wx+?)則是以為周期的周期函數.第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數例1-9

設函數y=f(x)是以T為周期的周期函數，證明函數y=f(ax)(a>0)是以為周期的周期函數.

圖1-17

證只需證明因為f(x)以T為周期，所以

f(ax)=f(ax+T),即

所以f(ax)是以為周期的周期函數.第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數1.2.3反函數

定義1-2

給定函數y=f(x)，其定義域Df，值域為Rf,如果對于?y∈Rf,必定?唯一的x∈Df,使f(x)=y,那么我們稱在Rf上確定了y=f(x)的反函數，記作x=f-1(y),y∈Rf.此時也稱y=f(x)(x∈Df,y∈Rf)在Df上是一一對應的.習慣上常以x記為自變量，y記為因變量，故反函數又記為y=f-1(x).相對反函數y=f-1(x)來說，原來的函數y=f(x)稱為直接函數.從幾何直觀上看，y=f(x)和y=f-1(x)的圖形關于直線y=x是對稱的.第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

值得說明的是，并非所有的函數都有反函數，例如，函數y=x2在定義域Df=(-∞，+∞)上不是一一對應的，從而沒有反函數；但y=x2,x∈(-∞,0]有反函數y=-.現在我們要問函數y=f(x)在什么條件下一定存在反函數，容易證明如下結論(留給讀者證之):

定理1-1(反函數存在定理)單調函數y=f(x)必存在單調的反函數y=f-1(x)，且y=f-1(x)具有與y=f(x)相同的單調性.

例1-10

求函數y=的反函數.

第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

解函數y=的定義域Df=(-∞,+∞),值域為Rf=(-1,1).由

可解得x=log3,變換x與y的位置，得反函數1.2.4復合函數在實際問題中經常出現這樣的情形:在某變化過程中，第一個變量依賴于第二個變量，而第二個變量又依賴于另外一個變量.例如，某產品的銷售成本C依賴于銷量Q，C=100+3Q，而銷量Q又依賴于銷售價格P,Q=5e，則通過Q銷售成本C實際上依賴于銷售價格P，即C=100+15e.像這樣在一定條件下，將一個函數“代入”到另一個函數中的運算稱為函數的復合運算，而得到的函數稱為復合函數.

第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數

定義1-3

設函數y=f(u)的定義域為Df,函數u=?(x)的定義域為D?

,值域為R?

,當R?

∩Df≠?

時，稱y=f［?

(x)］為由y=f(u)與u=?(x)構成的復合函數，而u稱為中間變量.但若R?∩Df=?,則稱y=f(u)與u=?(x)二者不能進行復合運算.

利用復合這個概念，有時可以把一個復雜的函數分解成若干簡單的函數的某些運算，有時也可以利用幾個簡單的函數復合成一個較為復雜的函數.例如，y=sinlnx可以看作是由y=sinu，和u=lnx復合而成的；同樣函數y=eu,u=arctanx二者可以復合成函數y=earctanx.

復合函數的概念還可推廣到有限多個函數復合的情形.例如y=3可以看成是由三個函數復合而成，其中u、v為中間變量，x為自變量，y為因變量.第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogoPowerPointTemplate

第一章函數注：會裝例設f(x)=g(x)=tanx，則

f［g(x)］=

g［f(x)］=

f(x)=sinx,g(x)=lnx,h(x)=3x,則

f［g［h(x)］]=sing［h(x)］=注意：復合函數中已知f(x)，g(x)和f［g(x)］中任意兩者可以求出第三者。

會拆：能夠將一個復雜的復合函數拆開成若干個基本初等函數或簡單函數（即基本初等函數僅僅經過有限次的四則運算而得到的函數的復合）

第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日CompanyLogo會拆：能夠將一個復雜的復合函數拆開成若干個基本初等函數或簡單函數（即基本初等函數僅僅經過有限次的四則運算而得到的函數的復合）例

解：例解：第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數

1.3.1基本初等函數在微積分這門課程中，函數往往是研究問題的工具，有時也是研究對象.常用的函數都是由常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數這些函數構成的，我們將這六類函數稱為基本初等函數.

1.常函數函數y=C(C是常數)叫做常函數.它的定義域Df

=(-∞,+∞),值域Rf={C}(圖1-19).基本初等函數與初等函數1.3第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數圖1-19

2.冪函數函數y=xm(m是常數)叫做冪函數.

冪函數y=xm

的定義域取決于m

的給定值.例如，當m=3時，y=x3

的定義域為(-∞，+∞)；當m=時，y=x3/2的定義域為［0，+∞)；當m=時,y=x的定義域為(-∞,0)∪(0，+∞)；當m=時，y=x

的定義域為(0,+∞);當m

為無理數時，規定y=xm

的定義域為(0,+∞).總之，無論m

取何值，冪函數在(0,+∞)內有定義.第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數當y=xm

中的m=1,2,3,,-1時是最常見的冪函數，它們的圖形如圖1-20所示.

圖1-20

3.指數函數函數

y=ax(a>0且a≠1,a是常數)叫做指數函數.指數函數y=ax

的定義域Df

=(-∞，+∞)，值域Rf

=(0,+∞).當a>1時它第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日PowerPointTemplate

第一章函數是單調增加函數；當0<a<1時，它是單調減少函數.其圖形總在x

軸的上方，且通過(0，1)點，如圖1-21、圖1-22所示.

圖1-21