第三章二維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量及其聯合分布第二節邊緣分布與隨機變量的獨立性第三節兩個隨機變量的函數的分布(X,Y)A實際問題中往往需要同時研究多個隨機變量.例如抽樣調查15-18歲青少年的身高

X

和體重

Y

以研究該年齡段青少年的身體發育情況,此時不僅要探究

X

和

Y

各自的性質,還要探究它們間的相互關系.有序對

(X,

Y)稱為二維隨機變(向)量,它是平面上的隨機點:性質(1)F(x,

y)

分別關于

x,

y

單調不減.(2)F(x,

y)

分別關于

x,

y

左連續.(3)0

F(x,

y)

1,且F(,

y)

=

F(x,

)

=

F(,

)

=

0,F(+,

+)

=

1.二維隨機變量(X,

Y)的聯合分布函數:

F(x,

y)

=

P{X

<

x,

Y

<

y}.(x,

y)xy(X,

Y)隨機點落在矩形域的概率 P{x1

X

x2,

y1

Y

y2} =

F(x2,

y2)

F(x2,

y1)

F(x1,

y2)

+

F(x1,

y1).(x2,

y2)(x1,

y1)二維離散型隨機變量(X,

Y)

的可能取值是有限或可列無限個實數對.(X,

Y)的聯合概率分布(分布律):P{X

=

xi,

Y

=

yj}

=

pij,(i,

j

=

1,

2,

3,

…).YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………性質(1)0

pij1;(2)i,j

pij=

1.例1袋中有三個球,依次標有數字1,2,2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個.X,

Y分別為第一,二次取到的球上的數字,求(X,

Y)的聯合分布列.解(X,

Y)的可能取值為(1,

2),(2,

1),(2,

2).P{X

=

1,

Y

=

2}

=

(1/3)(2/2)

=

1/3,P{X

=

2,

Y

=

1}

=

(2/3)(1/2)

=

1/3,P{X

=

2,

Y

=

2}

=

(2/3)(1/2)

=

1/3,YX12101/321/31/3例2設二維隨機變量(X,

Y)可能取值為

(0,

0),

(1,

1),(1,

1/3),

(2,

0)

且取這些值的概率依次為求(X,

Y)的分布列.解(X,

Y)

的聯合分布律

Y

X01/3101/600101/121/325/1200二元連續型隨機變量(X,

Y)的分布函數其中

f

(x,

y)

稱為

(X,

Y)的(聯合)概率密度(分布密度).性質(1)f

(x,

y)

0;(2)(3)在連續點處(4)(X,

Y)落在區域

D

的概率F(+,

+)

=

1f

(x,

y)xy例3設

(X,

Y)

的概率密度為(1)確定常數

k; (2)求(X,

Y)的分布函數;(3)求

P{0

<

X

4,

0

<

Y

1}; (4)求

P{X

<

y}.解(1)k

=

6,因為

(2)當

x

0

或

y

0

時,F(x,

y)

=

0.當

x

>

0

且

y

>

0

時,所以(3)41或(4)

x

x

o224例4已知

(X,

Y)

的密度求概率(1)

P{X

<

1,

Y

<

3};(2)

P{X

+

Y

<

3}.解13(2)12243x

+

y

=

3區域

D

上的均勻分布

例設(X,

Y)服從區域

D

上的均勻分布,D

為

x

軸,

y

軸及直線

y

=

2x

+

1

所圍成的三角形區域.求

P{Y

<

1/2}.答:區域

D

上的均勻分布y

=

2x

+

1D1D1思考設

(X,

Y)服從

D

上的均勻分布,D

為

x

軸,y

軸及直線

y

=

2x

+

1

所圍成的三角形區域.求其分布函數.解(X,

Y)的密度函數分布函數(1)當

x

1/2

或

y

0

時,F(x,

y)

=

P(}

=

0.y

=

2x

+

11/2(2)當

1/2

<

x

0

且

0

<

y

2x

+

1

時,y

=

2x

+

11/2(3)當

1/2

<

x

0

且

y

>

2x

+

1

時,(4)當

x

>

0

且

0

<

y

1

時,y

=

2x

+

11/2(5)當

x

>

0

且

y

>

1

時,綜上,所求的分布函數為二維正態分布

N(1,

2,

12,

22,

):其中

1>

0,

2>

0,

1

<

<

1.最常見的二維連續型分布第三章二維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量及其聯合分布第二節邊緣分布與獨立性第三節兩個隨機變量的函數的分布不在教學范圍內:三.條件分布(conditionaldistribution)pp61-64邊緣分布隨機變量的獨立性二維隨機變量(X,

Y)是把兩個隨機變量視為一個整體,討論其聯合取值規律:F(x,

y)

=

P{X

<

x,

Y

<

y}.邊緣分布問題:由二維隨機變量(X,

Y)的分布來確定兩個一維隨機變量

X,

Y

各自的分布.marginaldistribution設二維隨機變量(X,

Y)的分布函數為F(x,

y),則FX(x)

=

P{X

<

x}

=

P{X

<

x,

Y

<

+}

=

F(x,

+),FY(y)

=

P{Y

<

y}

=

P{X

<

+,

Y

<

y}

=

F(+,

y)依次稱為

(X,

Y)

關于

X

和

Y

的邊緣分布函數.marginaldistributionFX(x)

=

P{X

<

x}

=

F(x,

+)FY(y)

=

P{Y

<

y}

=

F(+,

y)二維離散型的邊緣分布若二維離散型隨機變量(X,

Y)的聯合分布律為P{X

=

xi,

Y

=

yj}

=

pij,(i,

j

=

1,

2,

3,

…),則稱

pi.=

P{X

=

xi}

=jpij為關于

X

的邊緣分布,p.j

=

P{Y

=

yj}

=ipij為關于

Y

的邊緣分布.YXy1y2…yj…pi.x1p11p12…p1j…p1.x2p21p22…p2j…p2.………………xipi1pi2…pij…p.i………………p.jp.1p.2…p.j…=1關于

X

的邊緣分布關于

Y

的邊緣分布Xx1x2…xi…概率p1.p2.…pi.…Yy1y2…yj…概率p.1p,2…p.j…例1設二維離散型隨機變量(X,

Y)的聯合分布律為YX011/3101/31/1201/60025/1200求關于

X,

Y的邊緣分布.關于

Y

的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解關于

X

的邊緣分布X102概率5/121/65/12二維連續型隨機變量的邊緣分布

其中,關于

X

的邊緣概率密度其中,關于

Y

的邊緣概率密度關于

X

的邊緣分布函數關于

Y

的邊緣分布函數例2設(X,

Y)的聯合密度為求

k

值和兩個邊緣分布密度.解由得當

x

[0,1]時,關于

X

的邊緣分布密度113當x

[0,

1]時,fX(x)=0.故關于X的邊緣分布密度113故,關于

Y

的邊緣分布密度當

y

[1,

3]

時,fY(y)

=

0.當

y

[1,

3]

時,關于Y的邊緣分布密度例3設(X,

Y)的聯合分布密度(1)求

k;(2)求關于

X

和

Y

的邊緣密度;(3)求概率P{X

+

Y

<

1}

和

P{X

>

1/2}.均勻分布解(1)由得-11(2)當

x

[1,

1]

時,當

x

[1,

1]

時,fX(x)

=

0.故

X

的邊緣密度11當

y

[1,

1]

時,當

y

[1,

1]

時,fY(y)

=

0.故

Y

的邊緣密度(3)若

(X,

Y)

~

N(1,

2,

12,

22,

)?,則兩個邊緣分布分別服從正態分布:X

~

N(1,

12),Y

~

N(2,

22),與相關系數

無關.一般地,

聯合分布可確定邊緣分布,但邊緣分布未必能確定聯合分布.隨機變量

X

和

Y

相互獨立:F(x,

y)

FX(x)FY(y).對于離散型和連續型的隨機變量,該定義分別等價于pij

pi?p?jf

(x,

y)

fX(x)fY(y).?在很多實際問題中,隨機變量的相互獨立性是不難判斷的.?相互獨立時,邊緣分布可確定聯合分布.二隨機變量的獨立性例1設(X,

Y)的分布律為證明:X,

Y

相互獨立.證逐個驗證等式pij

pi?p?j,故

X,

Y

相互獨立.YX1021/22/201/202/2012/201/202/2024/202/204/20pi?1/41/42/41p?j2/51/52/5例2設(X,

Y)的概率密度為求(1)P{0

X

1,

0

Y

1};(2)(X,

Y)

的邊緣密度;(3)判斷

X,

Y

是否獨立.解(1)A11(2)邊緣密度函數當x

0

時,當x

<

0

時,fX(x)

=

0.所以同理可得(3)因所以

X

與

Y

相互獨立.例3設

(X,

Y)服從區域

D

上的均勻分布,D

為

x

軸,y軸及直線

y

=

2x

+

1

所圍成的三角形區域.判斷

X,

Y是否相互獨立.解(X,

Y)的密度函數為1y

=

2x

+

1D當1/2

<

x

0

時,所以關于

X

的邊緣分布密度當

x

1/2

或

x

>

0

時,fX(x)

=

0.1y

=

2x

+

1D所以關于

Y

的邊緣分布密度當

y

0

或

y

>

1

時,fY(y)

=

0.當

0

<

y

1

時,所以,X

與

Y

不獨立.1y

=

2x

+

1D例4設(X,

Y)服從矩形域{(x,

y)|a

x

b,

c

d}

上的均勻分布,求證

X

與

Y

相互獨立.證當

a

x

b

時當

x(a,

b)時fX(x)

=

0.于是Aacbd類似地可見f

(x,

y)

fX(x)·fY(y),即

X

與

Y

相互獨立.設

(X,

Y)

~

N(1,

2,

12,

22,

),則

X,

Y

相互獨立

=

0.此時

X

~

N(1,

12),Y

~

N(2,

22):證見p60例4.第三章二維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量及其聯合分布第二節邊緣分布與獨立性第三節兩個隨機變量的函數的分布第三節兩個隨機變量的函數的分布已知二維隨機變量(X,

Y)的分布,求

Z

=

g(X,

Y)的分布.Z

的分布函數FZ(z)

=

P{Z

<

z}

=

P{g(X,

Y)

<

z}.簡介二維離散型隨機變量的函數的分布設二維離散型隨機變量(X,

Y)的聯合分布列為P{X

=

ai,

Y

=

bj}

=

pij,(i

=

1,

2,

…

;

j

=

1,

2,

…).則

Z

=

(X,

Y)是一維離散型隨機變量,其分布列為P{Z

=

g(ai,

bj)}

=

pij,(i

=

1,

2,

…

;

j

=

1,

2,

…).?對于g(ai,

bj)

的相同的值,合并相應的概率.例1設(X,

Y)的聯合分布列為

YX210-11/121/123/1202/121/12012/1202/12分別求(1)X

+

Y,(2)X

Y,(3)X2+

Y

2

的分布列.解

由(X,

Y)的聯合分布列可得如下表格(X,Y)(1,2)(1,1)(1,

0)(0,2)(0,1)(1,2)(1,

0)概率1/121/123/122/121/122/122/12X+

Y321

2

1

11X

Y10

12131X2+

Y

+

21230113X

+

Y3211概率1/123/126/122/12X

Y

10123概率3/121/124/122/122/12X2+

Y

20123概率2/124/121/125/12例2證明:如果

X

與

Y

相互獨立,且

X

~

B(m,

p),Y

~

B(n,

p),則

X

+

Y

~

B(m

+

n,p).證X

+

Y

可能取值為

0,

1,

…

,

m

+

n.例3設隨機變量

X1,

X2,

…,

Xn相互獨立且每個都服從同一個0-1分布

B(1,

p):(1)證明

Yn=

X1+

X2+

…

+

Xn服從二項分布

B(n,

p);(2)證明如果

X

與

Y

相互獨立,且

X

~

B(m,

p),Y

~

B(n,

p),則

X

+

Y

~

B(m

+

n,p).證(1)

Yn只能取0,

1,

…

,

n.{Yn=

i}

就是

X1,

…

,

Xn中恰有

i

個取

1

而其余取

0,

共有

Cni種方式,這些方式兩兩互斥.因諸

Xi的相互獨立,故每種方式出現的概率都為

pi(1p)ni.因此P{Yn=

i}

=

Cnipi(1

p)ni,(i

=

0,

1,

…

,

n).即

Yn~

B(n,

p).(2)令 X

=

X1+

…

+

Xm,Y

=

Y1+

…

+

Yn,其中諸

Xi,

Yj相互獨立且都服從

B(1,

p)

分布.故X

+

Y

=

(X1+

…

+

Xm)

+

(Y1+

…

+

Yn)

~

B(n,p).X01P1-pp二維連續型隨機變量的函數的分布設二維連續型隨機變量

(X,

Y)

的聯合密度為f

(x,

y)