參照秘密級管理★啟用前試卷類型：A2020級高三上學期期末校際聯合考試數學試題2023.1考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束，將試題卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，，則A． B． C． D．2．設為實數，若復數，則A．B．C．D．3．設，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列結論正確的是A．若，，則B．若，，則C．若，則D．若，，則5．若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線垂直，則點的坐標為A．B．C．D．6．我們要檢測視力時會發現對數視力表中有兩列數據，分別是小數記錄與五分記錄，如圖所示（已隱去數據），其部分數據如表：小數記錄x0.10.120.150.2…？…1.01.21.52.0五分記錄y4.04.14.24.3…4.7…5.05.15.25.3現有如下函數模型：①，②，表示小數記錄數據，表示五分記錄數據，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫生告訴他的視力為，則小明同學的小數記錄數據為（附：）A．B．C．D．安排名中學生參與社區志愿服務活動，有項工作可以參與，每人參與項工作，每項工作至多安排名中學生，則不同的安排方式有A．種 B．種 C．種D．種8．已知分別為雙曲線的兩個焦點，雙曲線上的點到原點的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為A． B．C．D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。9．對于拋物線，下列描述正確的是A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．焦點到準線的距離為 D．準線方程為10．已知數列滿足，，則A．B．是遞增數列C．是遞增數列D．11．年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線．在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線．已知點是雙紐線上一點，下列說法中正確的有A．雙紐線關于原點中心對稱B．C．雙紐線上滿足的點有兩個D．的最大值為12．已知三棱錐的棱長均為，其內有個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個面和球都相切(，且)，球的表面積為，體積為，則A．B．C．數列為等差數列D．數列為等比數列 三、填空題：全科免費下載公眾號《高中僧課堂》本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式中常數項為，則的值為______．14．已知向量夾角為，且，，則______．15．在中國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環形（扇環是指圓環被扇形截得的部分）．現有一個如圖所示的曲池，它的高為，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環對應的兩個圓的半徑分別為和，對應的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為______．設正項等比數列的公比為，首項，關于的方程有兩個不相等的實根，且存在唯一的，使得．則公比的取值范圍為______．四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數.（1）求函數的單調增區間；（2）將函數圖象上點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再把所得函數圖象向下平移個單位得到函數的圖象，求的最小值及取得最小值時的取值集合.18．（12分）如圖，長方形紙片的長為，將矩形沿折痕翻折，使得兩點均落于邊上的點，若.（1）當時，求長方形寬的長度；（2）當時，求長方形寬的最大值.19．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，，，是側面上一點．（1）過點作一個截面，使得與都與平行．作出與四棱錐表面的交線，并證明；（2）設，其中．若與平面所成角的正弦值為，求的值．20．（12分）已知數列的各項均為非零實數，其前項和為，且.（1）若，求的值；（2）若,，求證：數列是等差數列，并求其前項和.21．（12分）設橢圓的左右焦點分別為，橢圓的上頂點，點為橢圓上一點，且.（1）求橢圓的離心率及其標準方程；（2）圓圓心在原點，半徑為，過原點的直線與橢圓交于兩點，橢圓上一點滿足,試說明直線與圓的位置關系，并證明.22．（12分）已知函數是的導函數．（1）若在上恒成立，求實數的取值范圍；（2）若，判斷關于的方程在內實數解的個數，并說明理由．2020級高三上學期期末校際聯合考試數學試題答案2023.1單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1-4AABC5-8DBDA8．【答案】A【解析】設為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點作于點,因為，所以，，因為，所以，因為雙曲線上的點到原點的距離為，即，且，所以，，故，，因為，所以，，將代入雙曲線中，即，化簡得，，所以，即，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。9.AC10.ABD10.ABD11.ABD11.ABD12.AD10.【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以；對于B，因為，所以是遞增數列；C選項；因為，所以，易知是遞增數列；又，令，如圖所示：當時，遞增，即遞增對于D項：又由同向不等式的加法可得，成立，當時，不等式成立，故D正確.11．【答案】【解析】∴雙紐線關于原點對稱，對．,，∴，∴，對．，則只有一個點滿足條件，錯．由余弦定理知∴∴，對，選．另解：∴，∴．12．【答案】【解析】如圖所示，是三棱錐的高，是三角形的外心，設，則，，是三棱錐的外接球和內切球球心，在上，設外接球的半徑為，內切球半徑為，則由得，，解得，所以,則,所以，，過的中點作與底面平行的平面，與三條棱,,交于點,,,則平面與球相切，由題意知球是三棱錐的內切球，又三棱錐的棱長是三棱錐棱長的，所以其內切球半徑，同理，球的半徑為，則是公比為的等比數列，所以，，，所以數列是公比為的等比數列，數列是公比為等比數列。三、填空題：全科免費下載公眾號《高中僧課堂》本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．114.15.16.15．【解析】方法一：延長交于，交于，連接，以矩形為側面構造正四棱柱，則，所以為異面直線與所成角在中，，所以所以異面直線與所成角的余弦值為.方法二：設上底面圓心為，下底面圓心為，連接以為原點，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系則則,,又異面直線所成角的范圍為,故異面直線與所成角的余弦值為．（建議用幾何法解決）16．【解析】依題意，等比數列，首項，所以，由于一元二次方程的兩根為，所以，且，由，得．所以，可得數列的公比，故為遞減數列因為存在唯一的，使得，顯然不適合，若，則，因為，故，此時存在至少兩項使得，不合題意．故，即，且，故且，解得則公比的取值范圍為四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．解:（1）因為，………3分由，得，所以的單調增區間為.………5分（2）將函數圖象上點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再把所得函數圖象向下平移個單位得到函數的圖象，所以，………7分故當，即時，，即取得最小值，所以的最小值為，此時的取值集合為.………10分解：（1）當時，……1分，設，①，②………4分.……6分（2）在中，①②……………9分.……………12分19．解:（1）過點作的平行線，分別交于點，過點作的平行線，交于點，過作的平行線，交于點，連接，因為，所以平面就是截面.……………3分證明：因為，，,故，即；同理可證.…………6分（2）以點作為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則，即……………8分，，設平面的法向量為，取，則即，……………10分設PB與平面所成角為，整理得解得（舍），……………12分20．解：（1）由，令，得，,……………2分因為數列的各項均為非零實數，所以，又，所以，；…………5分（2）由得：，……，，相乘得：，因為數列的各項均為非零實數，所以，當時：，所以，即，即，因為，所以，…………8分所以，，所以數列是等差數列，首項為，公差為，所以數列是等差數列，首項為，公差為，，所以，所以，，……………10分所以，所以，所以數列是等差數列，。…………12分21.解：（1）設，，.由得得，即得,又因為在橢圓上，得，得，即橢圓的離心率為.……………3分又，所以橢圓…………5分（2）因為關于原點對稱，,,，所以，設，.當直線的斜率存在時，設直線的方程為.由直線和橢圓方程聯立得，即，所以.……………7分因為，，所以……………9分所以，，所以，，又因為圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切.當直線的斜率不存在時，依題意得，.由得，所以，結合得，所以直線到原點的距離都是，所以直線與圓也相切.同理可得，直線與圓也相切.所以直線與圓相切.…………12分22．解:（1），即，令，……………1分當時，令得，得或，所以在和上為減函數，在上