廣東省梅州市佘東中學2021年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝,則集合CuA等于（A）

（B）

(C)

(D)參考答案：答案：C解析：A={2，3，4}，CuA={1，5}，選C2.已知集合，，則A∪B=（

）A．[－2,+∞) B．[－2,3] C．(－1,+∞) D．(－∞,－2]∪(－1,3]參考答案：A∵A={x|x≥﹣2}，；∴A∪B=[﹣2，+∞）．故選：A．

3.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，則A∩B為(

) A．? B．{1} C．{2} D．{1，2}參考答案：C考點：交集及其運算．專題：計算題．分析：先將B化簡，再求A∩B．解答： 解：B={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={2，﹣1}∵A={1，2，3}，∴A∩B={2}故選C點評：本題考查了集合的含義、表示方法，集合的交、并、補集的混合運算，屬于基礎題．4.函數的圖象大致是參考答案：C函數為奇函數，圖象關于原點對稱，排除B.在同一坐標系下做出函數的圖象，由圖象可知函數只有一個零點0，所以選C.5.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D6.的展開式中的系數為（）A．－80 B．－40 C．40 D．80參考答案：C由二項式定理可得，原式展開中含的項為，則的系數為40，故選C.

7.函數y=lg（x﹣1）的定義域為(

)A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或或x＞1}參考答案：B【考點】函數的定義域及其求法．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數成立的條件即可求函數的定義域．【解答】解：要使函數有意義，則x﹣1＞0，即x＞1，則函數的定義域為{x|x＞1}，故選：B．【點評】本題主要考查函數的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數成立的條件．8.△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結論正確的是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意,可得,,結合是等邊三角形可選出答案.【詳解】由題意,,又因為是邊長為的等邊三角形，所以,即選項A錯誤;,則不垂直,故選項B,C都錯誤;,即,故選項D正確.故選:D.【點睛】本題考查了平面向量的數量積公式的運用,考查了向量垂直的性質,考查了平面向量在平面幾何中的應用,屬于基礎題.9.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象A．向左平移個單位

B．向右平移個單位C．向左平移個單位

D．向右平移個單位參考答案：C10.執行如圖的程序框圖，則輸出的值是(

)A．－2

B．0

C．

2

D.－2或0參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角坐標系中，曲線的參數方程為．在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為則與的交點個數為

；參考答案：2略12.已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|－1＜x＜1}，集合C={x|mx+1＞0}，若，則實數m的取值范圍是______________.參考答案：由題意，，

∵集合，

①②m時，成立；

③綜上所述，故答案為．

13.設、是平面內兩個不平行的向量，若與平行，則實數

.參考答案：略14.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，則A∩Z中元素的個數為

▲

．參考答案：415.若lga＋lgb＝0(a≠1)，則函數f(x)＝ax與g(x)＝－bx的圖象關于________對稱．參考答案：原點由lga＋lgb＝0?ab＝1?b＝，所以g(x)＝－a－x，故f(x)與g(x)關于原點對稱．16.已知函數f（x）=，若函數y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6個不同的零點，則實數m的取值范圍是

．參考答案：m＜﹣1【考點】函數零點的判定定理．【專題】函數的性質及應用．【分析】先將函數進行換元，轉化為一元二次函數問題．結合函數f（x）的圖象，從而確定m的取值．【解答】解：令t=f（x），則原函數等價為y=2t2+3mt+1．做出函數f（x）的圖象如圖，圖象可知當t＜0時，函數t=f（x）有一個零點．當t=0時，函數t=f（x）有三個零點．當0＜t＜1時，函數t=f（x）有四個零點．當t=1時，函數t=f（x）有三個零點．當t＞1時，函數t=f（x）有兩個零點．要使關于x的函數y=2f2（x）+3mf（x）+1有6個不同的零點，則函數y=2t2+3mt+1有兩個根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，則由根的分布可得，將t=1，代入得：m=﹣1，此時g（t）=2t2﹣3t+1的另一個根為t=，不滿足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，則，解得：m＜﹣1，故答案為：m＜﹣1【點評】本題考查復合函數零點的個數問題，以及二次函數根的分布，換元是解決問題的關鍵，屬中檔題．17.在△ABC中，分別為角A，B，C的對邊，若垂直且，當△ABC面積為時，則b等于（

）A．

B．4

C．

D．2參考答案：D三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C:的長軸長為，離心率．Ⅰ）求橢圓C的標準方程；Ⅱ）若過點B（2，0）的直線（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E，F（E在B，F之間），且OBE與OBF的面積之比為，求直線的方程．參考答案：解：（I）橢圓C的方程為，由已知得

19.（本小題滿分13分）已知函數．（Ⅰ）若，求函數的極小值；（Ⅱ）試問：對某個實數，方程在上是否存在三個不相等的實根？若存在，請求出實數的范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）定義域為，由已知得，

………2分則當時，在上是減函數，當時，在上是增函數，

故函數的極小值為．

……………5分（Ⅱ）假設方程在上存在三個不相等的實根，設，由于在上圖象連續不斷，則有兩個不同的零點．

………8分即有兩個不同的解，設，則，設，則，故在上單調遞增，則當時，即，

…………………11分又，則故在上是增函數，則至多只有一個解，故不存在．

………13分20.已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）當時，討論函數的單調性；（3）若對任意的，，恒有成立，求實數的取值范圍.參考答案：當時，函數的定義域為，且得

…………………1分函數在區間上是減函數，在區間上是增函數函數有極小值是，無極大值.…2分得，…………3分當時，有，函數在定義域內單調遞減；

………………4分當時，在區間，上，單調遞減；在區間上，單調遞增；

………5分當時，在區間上，單調遞減；在區間上，單調遞增；

………6分由知當時，在區間上單調遞減，所以

……………8分問題等價于：對任意，恒有成立，即，因為，所以，因為，所以只需

…………………10分從而故的取值范圍是 …………12分21.（本小題滿分12分）已知數列中，，其前項和滿足.（Ⅰ）求數列的通項公式;(Ⅱ)若，設數列的前的和為，當為何值時，有最大值，并求最大值.參考答案：（Ⅰ）由題意知,即

檢驗知n=1,2時，結論也成立，故an=2n+1．(Ⅱ)由

法一:當時，；當時，；當時，

故時，達最大值，.

（法二：可利用等差數列的求和公式求解）22.已知函數f（x）=ex﹣e﹣x．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）當x∈（0，1）時，不等式ex﹣e﹣x＞k（x+）恒成立，求實數k的最大值．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）f（0）=0，f′（x）=ex+e﹣x．f′（0）=2．利用點斜式即可得出切線方程．（II）令g（x）=ex﹣e﹣x﹣k（x+），g（0）=0．g′（x）=ex+e﹣x﹣k（1+）．x∈（0，1），①k≤0時，g′（x）≥0，函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞增，g（x）＞g（0）恒成立．②當k＞0時，g″（x）=ex﹣e﹣x﹣kx=h（x）．g″（0）=0．h′（x）=ex+e﹣x﹣k，h′（0）=2﹣k．（i）當0＜k≤2時，h′（x）＞h′（0）=2﹣k≥0．函數g″（x）在x∈（0，1）上單調遞增，可得g″（x）＞0．進而達到函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞增，滿足條件．（ii）e+e﹣1≥k＞2時，h′（0）=2﹣k＜0，h′（1）=e+e﹣1﹣k＞0，可得函數h′（x）存在零點x0∈（0，1），h′（x0）=﹣k=0．利用導數研究其單調性可得：函數g（x）在在（0，x0）上單調遞減，因此g（x）＜g（0），不符合題意，舍去．（iii）k＞e+e﹣1，h′（1）=e+e﹣1﹣k＜0，函數g″（x）在x∈（0，1）上單調遞增，g″（x）＜0．可得函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞減，g（x）＜g（0）=0恒成立．舍去．【解答】解：（I）f（0）=0，f′（x）=ex+e﹣x．∴f′（0）=2．∴曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y﹣0=2（x﹣0），可得2x﹣y=0．（II）令g（x）=ex﹣e﹣x﹣k（x+），g（0）=0．g′（x）=ex+e﹣x﹣k（1+）．∵x∈（0，1），∴①k≤0時，g′（x）≥0，函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞增，g（x）＞g（0）恒成立．②當k＞0時，g″（x）=ex﹣e﹣x﹣kx=h（x）．g″（0）=0．h′（x）=ex+e﹣x﹣k，h′（0）=2﹣k．（i）當0＜k≤2時，h′（x）＞h′（0）=2﹣k≥0．函數g″（x）在x∈（0，1）上單調遞增，∴g″（x）＞0．可得g′（x）在x∈（0，1）上單調遞增，可得：g′（x）＞g′（0）=2﹣k≥0，函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞增，g（x）＞g（0）恒成立．（ii）e+e﹣1≥k＞2時，h′（0）=2﹣k＜0，h′（1）=e+e﹣1﹣k＞0，∴函數h′（x）存在零點x0∈（0，1），h′（x0）=﹣k=0．函數h（x）在（0，x0）上單調遞減；在（x0，1）上單調遞增．h（0）=g″（0）=0．h（x）min=