廣東省惠州市永漢鎮永漢中學2023年高一數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則角A為（

）A.45° B.60° C.75° D.135°參考答案：C【分析】由，，及正弦定理求得：，結合即可求得，問題得解。【詳解】解：∵，，，∴由正弦定理可得：，∵，為銳角，∴∴.故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，考查大邊對大角、三角形的內角和結論在解三角形中的應用，屬于基礎題.2.二次函數y=ax2+bx與指數函數y=（）x的圖象只可能是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】指數函數的圖象與性質；二次函數的圖象．【分析】根據二次函數的對稱軸首先排除B、D選項，再根據a﹣b的值的正負，結合二次函數和指數函數的性質逐個檢驗即可得出答案．【解答】解：根據指數函數可知a，b同號且不相等則二次函數y=ax2+bx的對稱軸＜0可排除B與D選項C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，則指數函數單調遞增，故C不正確故選：A3.在中，已知，，則B等于（

）A．

B．

C．

D．或參考答案：A4.已知無窮等差數列的前n項和為，且,則(

)A．在中，最大

B．C．在中，最大

D．當時，參考答案：D5.下列四個關系中，正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.設兩條直線的方程分別為x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是關于x的方程x2+x+c=0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線間距離的最大值和最小值分別為（）A．B．C．D．參考答案：D【考點】二次函數的性質．【專題】計算題；函數的性質及應用．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的關系，求出平行線之間的距離表達式，然后求解距離的最值．【解答】解：因為a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，所以a+b=﹣1，ab=c，兩條直線之間的距離d=，所以d2==，因為0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是，．故選：D．【點評】本題考查平行線之間的距離的求法，函數的最值的求法，考查計算能力．7.函數y=的單調增區間是

（

）A．[1，3]

B．[2，3]

C．[1，2]

D．參考答案：C8.“a=﹣3”是“函數y=x2+2（a﹣1）x+2在區間（﹣∞，4]上單調遞減”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】函數思想；綜合法；簡易邏輯．【分析】先求出函數的對稱軸，根據函數的單調性求出a的范圍即可．【解答】解：函數y=x2+2（a﹣1）x+2的對稱軸是：x=﹣（a﹣1），若函數在區間（﹣∞，4]上單調遞減，則﹣（a﹣1）≤4，解得：a≥﹣3，∴“a=﹣3”是“函數y=x2+2（a﹣1）x+2在區間（﹣∞，4]上單調遞減”的充分必要條件，故選：A．【點評】本題考查了二次函數的性質，考查函數的單調性問題，考查充分必要條件，是一道基礎題．9.已知正數x，y滿足，則的最小值為（

）A．5

B．

C．

D．2參考答案：C∵正數x，y滿足，∴，∴當且僅當即，時，等號成立，即的最小值為，故選C.

10.化簡（

）

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某老師從星期一到星期五收到的信件數分別為10,6,8,5,6，則該組數據的方差s2＝_______.參考答案：3.2略12.平面a∥平面b，過平面a、b外一點P引直線PAB分別交a、b于A、B兩點，PA=6，AB=2，引直線PCD分別交a、b于C、D兩點．已知BD=12，則AC的長等于＿＿＿＿＿＿＿參考答案：913.（5分）函數f（x）=log3（x+2）+的定義域是

．參考答案：（﹣2，3]考點： 函數的定義域及其求法．專題： 函數的性質及應用．分析： 由對數的真數大于零、偶次根號下被開方數大于等于零，求出函數的定義域．解答： 要使函數有意義，x需滿足：解得﹣2＜x≤3，所以函數f（x）的定義域是（﹣2，3]，故答案為：（﹣2，3]．點評： 本題考查函數的定義域的求法，注意根據解析式和限制條件列出不等式組，定義域要用集合或區間表示14.下列四個命題：（1）函數f（x）在x＞0時是增函數，x＜0也是增函數，所以f（x）是增函數；（2）若函數f（x）=ax2+bx+2與x軸沒有交點，則b2﹣8a＜0且a＞0；（3）y=x2﹣2|x|﹣3的遞增區間為[1，+∞）；（4）y=1+x和y=表示相等函數．（5）若函數f（x﹣1）的定義域為[1，2]，則函數f（2x）的定義域為．其中正確的命題是（寫出所有正確命題的序號）參考答案：（5）【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】（1），如函數y=﹣，在x＞0時是增函數，x＜0也是增函數，不能說f（x）是增函數；（2），若函數f（x）=ax2+bx+2與x軸沒有交點，則b2﹣8a＜0，a＞0或a＜0，a=b=0時，與x軸沒有交點，（3），y=x2﹣2|x|﹣3的遞增區間為[1，+∞），（﹣∞，﹣1]；（4），y=1+x和y=的對應法則、值域不一樣，表示不相等函數．（5），若函數f（x﹣1）的定義域為[1，2]?0≤x﹣1≤1，則函數f（2x）滿足0≤2x≤1，定義域為．【解答】解：對于（1），如函數y=﹣，在x＞0時是增函數，x＜0也是增函數，不能說f（x）是增函數，故錯；對于（2），若函數f（x）=ax2+bx+2與x軸沒有交點，則b2﹣8a＜0，a＞0或a＜0，a=b=0時，與x軸沒有交點，故錯，對于（3），y=x2﹣2|x|﹣3的遞增區間為[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，故錯；對于（4），y=1+x和y=的對應法則、值域不一樣，表示不相等函數，故錯．對于（5），若函數f（x﹣1）的定義域為[1，2]?0≤x﹣1≤1，則函數f（2x）滿足0≤2x≤1，定義域為，故正確．故答案為：（5）15.若函數同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有

②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”。給出下列四個函數中：⑴;

⑵

;⑶

;

⑷，能被稱為“理想函數”的有_

_（填相應的序號）。參考答案：(4)16.公元五世紀張丘建所著《張丘建算經》卷中第22題為：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何”．題目的意思是：有個女子善于織布，一天比一天織得快（每天增加的數量相同），已知第一天織布5尺，一個月（30天）共織布9匹3丈，則該女子每天織布的增加量為

尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）參考答案：設該女子織布每天增加尺，由題意知，尺，尺又由等差數列前項和公式得，解得尺

17.設，則=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某學校團委組織了“文明出行，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績（單位：分）整理后，得到如下頻率分布直方圖（其中分組區間為[40，50），[50，60），…，[90，100]），（1）求成績在[70，80）的頻率，并補全此頻率分布直方圖；（2）求這次考試平均分的估計值；（3）若從成績在[40，50）和[90，100]的學生中任選兩人，求他們的成績在同一分組區間的概率．參考答案：見解析【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖．【專題】計算題；整體思想；定義法；概率與統計．【分析】（1）利用頻率分布直方圖的意義可得：第四小組的頻率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10．（2）利用頻率分布直方圖的意義可得：平均數=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10．（3）[40，50）與[90.100]的人數分別是3和3，所以從成績是[40，50）與[90，100]的學生中選兩人，將[40，50]分數段的6人編號為A1，A2，A3，將[90，100]分數段的3人編號為B1，B2，B3，從中任取兩人，可得基本事件構成集合Ω共有36個，其中，在同一分數段內的事件所含基本事件為6個，利用古典概率計算公式即可得出．【解答】解：（1）第四小組的頻率=1﹣（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10=0.25．（2）依題意可得：平均數=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10=72.5，（3）[40，50）與[90，100]的人數分別是3和3，所以從成績是[40，50）與[90，100]的學生中選兩人，將[40，50]分數段的6人編號為A1，A2，A3，將[90，100]分數段的3人編號為B1，B2，B3，從中任取兩人，則基本事件構成集合Ω={（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}共有15個，其中，在同一分數段內的事件所含基本事件為（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共6個，故概率P==．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用、列舉法求古典概率及其計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.設集合，

，若，求實數m的取值范圍。參考答案：解：1°：若，則……6分2°：若，則……10分綜上所述：實數m的取值范圍為……12分20.已知a，b，c分別為銳角△ABC內角A，B，C的對邊，(1)求角A；(2)若，△ABC的面積是，求a的值．參考答案：（1）；（2）【分析】(1)由，根據正弦定理可得，結合，可得，從而可得結果；(2)先根據面積公式求出的值，再利用余弦定理求出的值即可．【詳解】(1)由正弦定理得，在三角形中，，，，三角形是銳角三角形，．(2)若，的面積是，則，可得，則，即．【點睛】本題主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形以及三角形的面積公式的應用，屬于中檔．以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應用.21.（12分）設函數f(x)