廣東省惠州市惠陽區沙田中學2022-2023學年高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果函數y=3cos（2x+φ）的圖象關于點（，0）中心對稱，那么|φ|的最小值為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；余弦函數的對稱性．【專題】計算題．【分析】先根據函數y=3cos（2x+φ）的圖象關于點中心對稱，令x=代入函數使其等于0，求出φ的值，進而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函數y=3cos（2x+φ）的圖象關于點中心對稱．∴∴由此易得．故選A【點評】本題主要考查余弦函數的對稱性．屬基礎題．2.若x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）．A．0 B．2 C．4 D．13參考答案：C畫出可行域，數形結合可得在處取得最優解，代入得最小值為4，故選C3.在區間[0，10]內隨機取出兩個數，則這兩個數的平方和也在區間[0，10]內的概率是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】等可能事件的概率．【專題】計算題；壓軸題．【分析】首先分析題目求這兩個數的平方和也在區間[0，10]內的概率，可以聯想到用幾何的方法求解，利用面積的比值直接求得結果．【解答】解：將取出的兩個數分別用x，y表示，則x，y∈[0，10]要求這兩個數的平方和也在區間[0，10]內，即要求0≤x2+y2≤10，故此題可以轉化為求0≤x2+y2≤10在區域內的面積比的問題．即由幾何知識可得到概率為；故選D．【點評】此題考查等可能時間概率的問題，利用幾何概型的方法解決本題，概率知識在高考中難度有所下降，對利用古典概型和幾何概型的基本方法要熟練掌握．4.已知點P在直線上，點Q在直線上，線段PQ的中點，且，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D試題分析：在平面直角坐標系中畫出直線與,結合圖像可以看出的幾何意義是動點是射線上點與坐標原點的連線的斜率,因此其范圍是,故應選答案D.考點：線性規劃的區域及運用．【易錯點晴】本題考查的是線性約束條件的與數形結合的數學思想的運用問題,解答時先準確的畫出直線與全,再搞清與的幾何意義,將問題轉化為求射線上動點與坐標原點的連線段的斜率的取值范圍問題.求解時借助動點的運動規律,從軸的負半軸上起,將向左和向右轉動,借助圖象不難看出當的斜率時符合題設；當的斜率時也符合題設條件,故所求的范圍是.5.已知數列的首項為，且滿足對任意的，都有，成立，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知角α終邊與單位圓x2+y2=1的交點為，則=（）A． B． C． D．1參考答案：A【考點】運用誘導公式化簡求值；任意角的三角函數的定義．【分析】由條件利用任意角的三角函數的定義，求得cosα的值，再利用誘導公式、二倍角的余弦公式求得的值．【解答】解：由題意可得，cosα=，則=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故選：A．7.過圓：的圓心P的直線與拋物線C：相交于A，B兩點，且，則點A到圓P上任意一點的距離的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由題，設，不妨設點A位于第一象限，則由可得解方程可得，則故點到圓上任意一點的距離的最大值為.

8.為各項都是正數的等比數列，為前項和，且,，那么（

）A．

B．

C．或

D．或參考答案：A略9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，代入棱錐和棱柱的體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，棱錐和棱柱的底面面積均為：S==，高均為h=3，故組合體的體積V=Sh+Sh=4，故選：A10.已知，且7，則（

） A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數列滿足：，給出下述命題：①若數列滿足：，則成立；②存在常數，使得成立；③若，則；④存在常數，使得都成立．上述命題正確的是____．(寫出所有正確結論的序號)參考答案：①④考點：數列綜合應用對①；因為，所以由已知，

所以，即，正確

對②；假設存在在常數，使得，則有，所以應有最大值，錯。

對③，因為，，所以假設，則應有，即原數列應為遞增數列，錯

對④，不妨設，，則，若存在常數，使得，

應有，顯然成立，正確

所以正確命題的序號為①④所以正確命題的序號為①④12.在數列{an}中，，則的值為______．參考答案：1【分析】由，可得，利用“累加法”可得結果.【詳解】因為所以，,,各式相加，可得，，所以，，故答案為1.【點睛】本題主要考查利用遞推關系求數列中的項，屬于中檔題.利用遞推關系求數列中的項常見思路為：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數較大時，考慮證明數列是等差、等比數列，或者是周期數列；（3）將遞推關系變形，利用累加法、累乘法以及構造新數列法求解.13.已知雙曲線中，是左、右頂點，是右焦點，是虛軸的上端點．若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得△構成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是

參考答案：略14.=．參考答案：π+2【考點】67：定積分．【分析】由和的積分等于積分的和展開，然后由定積分的幾何意義求得，再求得，作和得答案．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），則圓x2+y2=4的面積為4π，由定積分的幾何意義可得，，又，∴=π+2．故答案為：π+2．15.（+2x）dx=

．參考答案：1+ln2考點：定積分．專題：導數的綜合應用．分析：找出被積函數的原函數，然后代入上下限計算．解答： 解：（+2x）dx==1+ln2；故答案為：1+ln2．點評：本題考查了定積分的運算，熟練找出被積函數的原函數是求定積分的關鍵．16.函數f（x）=，若方程f（x）=kx﹣恰有四個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是．參考答案：（，）【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】設g（x）=kx﹣，則g（x）過點（0，﹣），作出兩個函數的圖象，利用數形結合進行求解即可．【解答】解：設g（x）=kx﹣，則g（x）過點（0，﹣），過點（1，0）和（0，﹣）的直線的斜率k=，此時函數f（x）與g（x）只有3個交點，過點（0，﹣）的直線與f（x）相切時，函數f（x）與g（x）只有3個交點，設切點為（a，lna），則函數的導數f′（x）=，即切線斜率k=，則切線方程為y﹣lna=（x﹣a）=x﹣1，即y=x+lna﹣1，∵y=kx+，∴lna﹣1=﹣，得lna=，a=，此時k==，故要使程f（x）=kx﹣恰有四個不相等的實數根，則＜k＜，故答案為：（，）17.設為正數,且

則的最大值是___________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知軸對稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對稱軸，ADCD，AD=AB=1，CD=BC=，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如圖2）

(1)證明：AF//平面DEC；

（2）求二面角E—AD—B的正切值。參考答案：解：（Ⅰ）以B為坐標原點，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標系.由已知與平面幾何知識得，，

∴，∴，∴AF∥DE，又∥…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得四點共面，，設平面，，則，不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一個法向量為，∴，∴二面角E-AD-B的正切值為.…………12分19.（本小題滿分12分）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1，，四邊形ACFE為矩形，平面平面ABCD，CF=1.（1）求證：平面ACFE；（2）點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為，試求的取值范圍.參考答案：20.已知橢圓C：過點A（﹣1，），B（），F為橢圓C的左焦點．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若點B為直線l1：x+y+2＝0與直線l2：2x﹣y+4＝0的交點，過點B的直線1與橢圓C交于D，E兩點，求△DEF面積的最大值，以及此時直線l的方程．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）△DEF面積的最大值，直線l的方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓所過定點，待定系數法列方程組能求出橢圓C的標準方程．（Ⅱ）聯立方程得出B點坐標，根據直線過定點設出過B點的直線，與橢圓聯立，利用韋達定理、弦長公式、不等式性質，結合已知條件能求出△DEF面積的最大值S，并能求出相應的直線方程．【詳解】（1）∵橢圓C：＝1（a＞b＞0）過點A（﹣1，），B（），F為橢圓C的左焦點．∴，解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓C的標準方程為＝1．（Ⅱ）點B為直線l1：x+y+2＝0與直線l2：2x﹣y+4＝0的交點，聯立，得B（﹣2，0），設D（x1，y1），E（x2，y2），由題意設直線l的方程為x＝my﹣2，代入橢圓方程得（m2+2）y2﹣4my+2＝0，則△＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，∴m2＞2，，y1y2＝，∴S△DEF＝S△BEF﹣S△BDF＝|BF||y1﹣y2|＝＝≤，當且僅當＝，即m2＝6（滿足△＞0）時取得等號，∴△DEF面積的最大值S＝，此時直線1的方程為x＝，即y＝（x+2）．【點睛】本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想．21.已知函數f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函數f（x）的圖象在x=2處切線的斜率為﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求實數m的取值范圍；（2）若函數f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求證：（其中f′（x）是f（x）的導函數）．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】導數的綜合應用．【分析】（1）通過求導得到函數f（x）的圖象在x=2處切線的斜率，由此求得a=2，得到函數解析式，然后利用分離變量法得到m≤2lnx﹣x2，利用導數求出g（x）=2lnx﹣x2在上的最大值得答案；（2）由f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的兩個根為x1，x2，把兩根代入方程后作差得到，求得，然后令換元，再通過構造函數，利用導數求出所構造出函數的最大值小于等于0得答案．【解答】（1）解：由，得切線的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max．令g（x）=2lnx﹣x2，則，∵x∈，故g′（x）=0時，x=1．當時，g'（x）＞0；當1＜x＜e時，g'（x）＜0．故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=﹣1，∴m≤﹣1；（2）證明：∵f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），∴方程2lnx﹣x2+ax=0的兩個根為x1，x2，則，兩式相減得，