廣東省廣州市大學附屬中學2021-2022學年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知x,y滿足約束條件

，則的最大值是

（

）

A．

B．

C．2

D．4參考答案：B2.已知實數x，y滿足則z=|x+4y|的最大值為（）A．9 B．17 C．5 D．15參考答案：B【考點】簡單線性規劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，設t=x+4y，將其對應的直線進行平移并觀察直線在軸上的截距變化，可得﹣17≤x+4y≤5，由此即得z=|x+4y|的最大值為17．【解答】解：作出不等式組表示的平面區域，得到如圖的△ABC及其內部，其中A（﹣3，5），B（﹣3，﹣3），C（1，1）設t=F（x，y）=x+4y，將直線l：t=x+4y進行平移，∵F（﹣3，5）=﹣17，F（﹣3，﹣3）=﹣15，F（1，1）=5，∴當l經過點C時，目標函數t達到最大值；當l經過點B時，目標函數t達到最小值由此可得：﹣17≤4x+y≤5，即得z=|x+4y|的最大值為17故選：B3.有下列關系：①人的年齡與他（她）擁有的財富之間的關系；②曲線上的點與該點的坐標之間的關系；③蘋果的產量與氣候之間的關系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關系，其中有相關關系的是(

).A．①②③ B．①②

C．②③ D．①③④參考答案：D4.

某程序的框圖如圖所示，則運行該程序后輸出的的值是（

）A．B．C．D．參考答案：A5.設，則（

）A．0.16

B．0.32

C．0.84

D．0.64參考答案：A6.若實數滿足則的最小值是

A．0

B．1

C．

D．9參考答案：B略7.在極坐標系中，曲線關于（）

A.直線軸對稱BB．直線軸對稱D．

C.點中心對稱

D.極點中心對稱參考答案：B將原極坐標方程，化為：ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，化成直角坐標方程為：x2+y2+2x﹣2y=0，是一個圓心在（﹣，1），經過圓心的直線的極坐標方程是直線軸對稱．故選B．8.函數f（x）=x2﹣lnx的遞減區間為（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）參考答案：B【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可．【解答】解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=x﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函數f（x）在（0，1）遞減，故選：B．9.在等差數列中，已知，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件

②若為兩個事件，則③若事件兩兩互斥，則④若事件滿足則是對立事件.其中錯誤命題的個數是（

）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.球O的半徑為1，點A、B、C在球面上，A與B、A與C的球面距離都是，B與C的球面距離為，則球O在二面角B–OA–C內的部分的體積是

；表面積是

。參考答案：，12.將邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱錐中，給出下列三個命題：①面是等邊三角形；

②；

③三棱錐的體積是.其中正確命題的序號是_________.（寫出所有正確命題的序號）

參考答案：①②.13.設曲線

。參考答案：114.曲線在點P（0，1）處的切線方程是__________。參考答案：15.已知的展開式中的常數項為，是以為周期的偶函數，且當時，，若在區間內，函數有4個零點，則實數的取值范圍是

．參考答案：略16.已知關于x的不等式的解集為，則實數=

．參考答案：317.將邊長為1的正方形ABCD延對角形AC折起，使平面平面，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列三個命題：1

面是等邊三角形； 2

③三棱錐D-ABC的體積為其中正確命題的序號是_________（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓的焦點及點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知直線過橢圓的左焦點，交橢圓于點P、Q.（ⅰ）若滿足（為坐標原點），求的面積；（ⅱ）若直線與兩坐標軸都不垂直，點在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點為橢圓的“特征點”，求橢圓的特征點．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可知，直線的方程為，………1分∵直線過橢圓的焦點，∴該焦點坐標為∴…………2分又橢圓的短軸長為，∴，∴………3分∴橢圓的方程為………4分（Ⅱ）（ⅰ）∵∴………6分∴…………8分（ⅱ）設特征點，左焦點為，可設直線PQ的方程為，由消去得設，則……………10分∵為的一條角平分線，∴，即…………12分又，，代入上式可得∴，解得∴橢圓C的特征點為．………14分略19.（本小題滿分12分）如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，,點在底面內的射影恰好是的中點，且(1)求證:平面平面;(2)若，求點到平面的距離.參考答案：(1)取中點，連接，則面，，----------5分（2）設點到平面的距離，…………6分,……8分……12分

20.在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25．（I）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；（II）直線l的參數方程為（t為參數），α為直線l的傾斜角，l與C交于A，B兩點，且|AB|=，求l的斜率．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出C的極坐標方程．（Ⅱ）直線l的直角坐標方程為=0，圓心（﹣6，0）到直線l的距離d==，由此能求出l的斜率k．【解答】解：（Ⅰ）∵在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴C的極坐標方程為ρ2+ρcosθ+11=0．（Ⅱ）∵直線l的參數方程為（t為參數），α為直線l的傾斜角，∴直線l的直角坐標方程為=0，∵l與C交于A，B兩點，且|AB|=，∴圓心（﹣6，0）到直線l的距離d==，解得cosα=，當cosα=時，l的斜率k=tanα=2；當cosα=﹣時，l的斜率k=tanα=﹣2．21.（14分）已知定義在正實數集上的函數，其中a>0。設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同。（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求證：參考答案：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同。

2分

由題意。

即由

得（舍去）

即有。

4分

令則。于是

當，即；

當，即。

故h(t)在為增函數，在為減函數，

于是h(t)在的最大值為。

7分

（Ⅱ）設

10分

則。

10分

故F(x)在(0，a）為減函數，在為增函數，

于是函數F(x)在上的最小值是。

故當x>0時，有，即當x>0時，14分22.有兩個等差數列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，求這個新數列的各項之和．參考答案：【考點】84：等差數