廣東省廣州市東涌中學2022-2023學年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則A∩B=（

）A.(0,1] B.{1} C.[0,1] D.{0,1}參考答案：D【分析】先解出集合和，再利用交集的運算律可得出.【詳解】因為，，所以，故選：C.【點睛】本題考查集合的交集運算，解題的關(guān)鍵就是將集合都表示出來，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。2.函數(shù)(,則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（

）

A.

B.

C.

D.大小關(guān)系不能確定參考答案：C略3.橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，則△PF1F2的周長為（

）A、20

B、18

C、16

D、14參考答案：B4.如圖，長方形的四個頂點為，曲線經(jīng)過點．現(xiàn)將一質(zhì)點隨機投入長方形中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知定義域為R的函數(shù)，且對任意實數(shù)x，總有/（x)＜3

則不等式＜3x－15的解集為

A

(﹣∞，4）

B（﹣∞，﹣4）

C

（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D（4，﹢∞）

參考答案：D略6.已知都是實數(shù)，那么“”是“”的（

）A、充分而不必要條件

B、必要而不充分條件C、充分且必要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：D略7.已知實數(shù)a滿足下列兩個條件：①關(guān)于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代數(shù)式log2（a+3）有意義．則使得指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】幾何概型．【分析】根據(jù)題意先確定是幾何概型中的長度類型，由實數(shù)a滿足下列兩個條件得出關(guān)于a的不等式，并求出構(gòu)成的區(qū)域長度，再求出指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的數(shù)a構(gòu)成的區(qū)域長度，再求兩長度的比值．【解答】解：：①關(guān)于x的方程ax2+3x+1=0有解，則a=0或a≠0，△≥0?，解得：a≤，且a≠0，綜合得：a≤；②代數(shù)式log2（a+3）有意義?a＞﹣3．綜合得：﹣3＜a≤．滿足兩個條件：①②數(shù)a構(gòu)成的區(qū)域長度為+3=，指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)?0＜3a﹣2＜1?＜a＜1．則其構(gòu)成的區(qū)域長度為：1﹣=，則使得指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的概率為=故選：A．8.若，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值是．

．

．

．參考答案：．實數(shù)，滿足不等式組，則可行域如圖，作出，平移，當直線通過時，的最大值是．故選．9.若雙曲線=1（a＞b＞0）的漸近線和圓x2+y2﹣6y+8=0相切，則該雙曲線的離心率等于(

)A． B．2 C．3 D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線方程得到它的漸近線方程為bx±ay=0，因為漸近線與圓x2+（y﹣3）2=1相切，故圓心到直線的距離等于半徑，用點到直線的距離公式列式，化簡得c=3a，可得該雙曲線離心率．【解答】解：雙曲線=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±x，即bx±ay=0又∵漸近線與圓x2+（y﹣3）2=1相切，∴點（0，3）到直線bx±ay=0的距離等于半徑1，即=1，解之得c=3a，可得雙曲線離心率為e==3，故選：C．【點評】本題給出雙曲線的漸近線與已知圓相切，求雙曲線的離心率，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和雙曲線的基本概念等知識，屬于中檔題．10.已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項和，則使得達到最大值的是（

）.A.21

B.20

C.19

D.18參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.兩條平行直線之間的距離是

；參考答案：12.為了解高三復習備考情況，某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布.已知成績在117.5分以上（含117.5分）的學生有80人，則此次參加考試的學生成績不超過82.5分的概率為_________；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次考試數(shù)學成績特別優(yōu)秀的大約有________人.（若，則，參考答案：0.16；

10人.【分析】根據(jù)已知，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可求出學生成績不超過82.5分的概率，求出，進而求出學生總?cè)藬?shù)，再由，即可求解.【詳解】，，成績在117.5分以上（含117.5分）的學生有80人，高三考生總?cè)藬?shù)有人，，本次考試數(shù)學成績特別優(yōu)秀的大約有人.故答案為:0.16；10人.【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及應(yīng)用，運用概率估計實際問題，屬于中檔題.13.某展室有9個展臺，現(xiàn)有件不同的展品需要展出，要求每件展品獨自占用個展臺，并且件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有______種；參考答案：60略14.已知F1、F2是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上的一點，若∠F1PF2=900，ΔF1PF2三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為

.參考答案：515.已知若有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_____參考答案：【分析】討論＞1，0＜＜1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，絕對值函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，可得的范圍．【詳解】當＞1時，x≤1時，f（x）＝+在上遞增，則f（x）∈（，2]，x＞1時，f（x）＝|x﹣|+1≥1，當x＝時取得最小值1，則f（x）的值域為[1，+∞），可得＞1時f（x）取得最小值1；當0＜＜1時，x≤1時，f（x）＝+在上遞減，則f（x）∈[2，+∞）；x＞1時，f（x）＝|x﹣|+1＝x﹣+1遞增，可得f（x）＞2﹣，若f（x）存在最小值，可得2﹣≥2，即≤，可得0＜≤．綜上可得＞1或0＜≤．故答案為：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的運用，考查分類討論思想方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．16.下表是一個容量為60的樣本（60名學生的數(shù)學考試成績，成績?yōu)?﹣100的整數(shù)）的頻率分布表，則表中頻率a的值為

．分組0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5～100.5頻數(shù)3612

頻率

a0.3參考答案：0.35【考點】頻率分布表．【專題】對應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)頻率=以及頻率和為1，即可求出a的值．【解答】解：根據(jù)題意，填寫表中數(shù)據(jù)，如下；成績在0.5～20.5內(nèi)的頻率是=0.05，成績在20.5～40.5內(nèi)的頻率是=0.10，成績在40.5～60.5內(nèi)的頻率是=0.20，∴成績在60.5～80.5內(nèi)的頻率是1﹣（0.05+0.10+0.20+0.30）=0.35；∴a的值是0.35．故答案為：0.35．【點評】本題考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的計算問題，是基礎(chǔ)題目．17.某班級有50名學生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號1～50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，…，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為________的學生。參考答案：37略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=，x∈[1，+∞），（1）當a=時，求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）a=時，函數(shù)為，f在[1，+∞）上為增函數(shù)，故可求得函數(shù)f（x）的最小值（2）問題等價于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分類參數(shù)法，通過求函數(shù)的最值，從而可確定a的取值范圍【解答】解：（1）因為，f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值為f（1）=．…（2）問題等價于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣（x+1）2+1，則g（x）在[1，+∞）上遞減，當x=1時，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，即實數(shù)a的取值范圍是（﹣3，+∞）．…【點評】本題以函數(shù)為載體，考查對勾函數(shù)門課程二次函數(shù)的最值，考查恒成立問題的處理，注意解題策略．19.（本題滿分12分）如圖，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M.平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢圓C于A、B兩個不同點.

（1）求橢圓C的標準方程；（2）求的取值范圍；y

（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.參考答案：解：（1）設(shè)橢圓C的標準方程為

（＞＞0）

由題意

解得

C的方程為

………………4分

（2）

設(shè)：由消去得

直線與橢圓有兩個不同的交點

式有兩個不等實根

則＞0

解得＜＜2

又

的取值范圍為

………………8分

（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，設(shè)MA交軸于點P，MB交軸于點Q

MA的方程為：

令，可得P（）=

同理可得Q

設(shè)PQ的中點為N，則

由②知

又

MPQ的中線MNPQ

MPQ為等腰三角形

………………12分20.（本小題滿分13分）設(shè)。（1）求的值；（2）歸納{}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明。參考答案：解：（1）…4分

（2）根據(jù)計算結(jié)果，可以歸納出

………..6分

證明：①當n=1時,與已知相符，歸納出的公式成立。……8分

②假設(shè)當n=k()時，公式成立，即那么,

所以，當n=k+1時公式也成立。…12分

由①②知，時，有成立。……….13分略21.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當x∈[－1，e－1]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）已知f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點，最后根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；（Ⅱ）由題意當時，不等式f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，從而求出實數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）已知方程f（x）=x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，整理移項得方程g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，利用函數(shù)的增減性得根，于是有，從而求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（﹣1，+∞）．∵，由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0．∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（﹣1，0）．（Ⅱ）∵由，得x=0，x=﹣2（舍去）由（Ⅰ）知f（x）在上遞減，在[0，e﹣1]上遞增．高三數(shù)學（理科）答案第3頁（共6頁）又，f（e﹣1）=e2﹣2，且．∴當時，f（x）的最大值為e2﹣2．故當m＞e2﹣2時，不等式f（x）＜m恒成立．（Ⅲ）方程f（x）=x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．記g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．為使方程f（x）=x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個實數(shù)根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴實數(shù)a的取值范圍是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．22.（本小題滿分12分）2009年推出一種新型家用轎車，購買時費用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共0.7萬元，汽車的維修費為：第一年無維修費用，第二年為0.2萬元，從第三年起，每年的維修費均比上一年增加0.2萬元.

（I）設(shè)該輛轎車使用n年的總費用（包括購買費用、保險費、養(yǎng)路費、汽油費及維修費）為f(n)，求f(n)的表達式；

（II）這種汽車使用多少報廢最合算（即該車使用多少年，年平均費用最少）？參考答案：解析：（I）由題意得：每年的維修費構(gòu)成一等差數(shù)列，n年的維修總費用為

（萬元）

…………3分

所以

（萬元）

…………6分