第11頁2023年福建省泉州市永春一中高三5月質檢數學試卷〔文科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求，每題選出答案后，請把答案填寫在答題卡相應位置上．1．〔5分〕〔2023?大興區一模〕復數〔1+i〕2的值是〔〕A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i考點：復數代數形式的乘除運算．專題：計算題．分析：利用完全平方公式把要求的式子展開，再利用虛數單位i的冪運算性質求得結果．解答：解：復數〔1+i〕2=12+i2+2i=2i，應選C．點評：此題主要考查完全平方公式，虛數單位i的冪運算性質，屬于根底題．2．〔5分〕〔2023?西城區一模〕全集U={x∈Z||x|＜5}，集合A={﹣2，1，3，4}，B={0，2，4}，那么A∩?UB=〔〕A．{﹣2，1，4}B．{﹣2，1，3}C．{0，2}D．{﹣2，1，3，4}考點：交、并、補集的混合運算．專題：計算題．分析：根據題意，由全集與集合B，可得?UB，由集合A，結合交集的意義，可得答案．解答：解：根據題意，全集U={x∈Z||x|＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={0，2，4}，那么?UB={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，3}，A={﹣2，1，3，4}，那么A∩〔?UB〕={﹣2，1，3}；應選B．點評：此題考查交、并、補集的混合運算，關鍵要理解它們的意義．屬于根底題．3．〔5分〕〔2023?延慶縣一模〕命題“?x∈R，ex＞x〞的否認是〔〕A．?x0∈R，ex＜xB．?x∈R，ex＜xC．?x∈R，ex≤xD．?x0∈R，ex≤x考點：命題的否認．專題：計算題．分析：全稱命題的否認是特稱命題，全稱量詞“?〞改為存在量詞“?〞，并同時把“ex＞x〞否認．解答：解：∵全稱命題的否認是特稱命題，∴命題“?x∈R，ex＞x〞的否認是?x0∈R，ex≤x．應選D．點評：此題主要考查了命題的否認，屬于根底題之列．4．〔5分〕〔2023?鄭州一模〕執行如下圖的程序框圖，假設輸入x═2，那么輸出y的值為〔〕A．5B．9C．14D．41考點：程序框圖．專題：圖表型．分析：框圖首先輸入x的值為2，然后執行一次運算y=3x﹣1，判斷|x﹣y|與9的大小，不大于9，執行用y替換x，再執行y=3x﹣1，大于9時跳出循環，輸出y的值．解答：解：輸入的x的值為2，執行y=3×2﹣1=5；判斷|2﹣5|=3＞9不成立，執行x=5，y=3×5﹣1=14；判斷|5﹣14|=9＞9不成立，執行x=14，y=3×14﹣1=41；判斷|14﹣41|=27＞9成立，跳出循環，輸出y的值為41，算法結束．應選D．點評：此題考查了程序框圖，是直到型結構，直到型結構是先執行一次運算，然后進行判斷，不滿足條件執行循環，滿足條件跳出循環，算法結束，是根底題．5．〔5分〕設平面向量=〔﹣2，6〕，，假設∥，那么﹣2=〔〕A．〔4，24〕B．〔﹣8，24〕C．〔﹣8，12〕D．〔4，﹣12〕考點：平面向量共線〔平行〕的坐標表示．專題：平面向量及應用．分析：由向量共線的坐標表示求出y，然后直接由向量的數乘及減法運算求﹣2．解答：解：由=〔﹣2，6〕，，且∥，所以﹣2y﹣18=0，即y=﹣9．所以．那么﹣2=〔﹣2，6〕﹣2〔3，﹣9〕=〔﹣8，24〕．應選B．點評：此題考查了平面向量共線的坐標表示，假設=〔a1，a2〕，=〔b1，b2〕，那么⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是根底題．6．〔5分〕高三〔1〕班有學生52人，現將所有學生隨機編號，用系統抽樣方法，抽取一個容量為4的樣本，6號32號45號學生在樣本中，那么樣本中還有一個學生的編號是〔〕A．3B．12C．16D．19考點：系統抽樣方法．專題：概率與統計．分析：根據系統抽樣的特征可知抽樣是等距抽樣的原那么，構造一個等差數列，將四個學生的號碼從小到大成等差數列，建立等式關系，解之即可．解答：解：用系統抽樣抽出的四個學生的號碼從小到大成等差數列，因此，另一學生編號為6+45﹣32=19．應選D．點評：系統抽樣過程中，每個個體被抽取的可能性是相等的，系統抽樣的原那么是等距，抓住這一原那么構造等差數列，是我們常用的方法．7．〔5分〕〔2023?揭陽一模〕以下函數在其定義域內，既是奇函數又存在零點的是〔〕A．f〔x〕=ex﹣1B．f〔x〕=x+x﹣1C．f〔x〕=x﹣x﹣1D．f〔x〕=﹣|sinx|考點：函數奇偶性的判斷；函數的零點．專題：函數的性質及應用．分析：先判斷函數的奇偶性，再判斷函數的零點情況，從而得出結論．解答：解：由于函數f〔x〕=ex﹣1，f〔﹣x〕=e﹣x+1≠﹣f〔x〕，故函數不是奇函數，故排除A．由于函數f〔x〕=x+x﹣1滿足f〔﹣x〕=﹣x+〔﹣x〕﹣1﹣〔x﹣x﹣1〕=﹣f〔x〕，是奇函數，但方程f〔x〕=0無解，故不存在零點，故排除B．由于函數f〔x〕=x﹣x﹣1是滿足f〔﹣x〕=﹣x﹣〔﹣x〕﹣1=﹣〔x﹣〕=﹣f〔x〕，是奇函數，且由f〔x〕=0解得x=1，故存在零點x=1，故C滿足條件．由于函數f〔x〕=﹣|sinx|，滿足f〔﹣x〕=﹣|sin〔﹣x〕|=﹣|sinx|=f〔x〕，是偶函數，不是奇函數，故排除D，應選C．點評：此題主要考查函數零點的定義和判斷，函數的奇偶性的判斷，屬于中檔題．8．〔5分〕要得到函數y=sinx的圖象，只需將函數的圖象〔〕A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向右平移個單位D．向左平移個單位考點：函數y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換．專題：計算題．分析：利用誘導公式化簡函數y=sinx為y=cos〔x﹣〕，然后利用左加右減的原那么，確定平移的單位與方向，得到選項．解答：解：函數y=sinx化為y=cos〔x﹣〕，要得到此函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位，得到=cos〔x﹣〕=sinx．應選C．點評：此題考查三角函數的圖象的變換，誘導公式的應用，考查計算能力．9．〔5分〕〔2023?海口二模〕A={〔x，y〕丨﹣1≤x≤1，0≤y≤2}，B{〔x，y〕丨≤y}．假設在區域A中隨機的扔一顆豆子，求該豆子落在區域B中的概率為〔〕A．1﹣B．C．D．考點：幾何概型．專題：概率與統計．分析：先求出區域A的面積，然后利用定積分求區域B的面積，最后利用幾何概型的概率公式解之即可．解答：解：集合M={〔x，y〕|﹣1≤x≤1，0≤y≤2}表示的區域是一正方形，其面積為4，集合B={〔x，y〕丨≤y}表示的區域為圖中陰影局部，其面積為4﹣12×π．∴向區域A內隨機拋擲一粒豆子，那么豆子落在區域B內的概率為=1﹣．應選A．點評：此題主要考查了幾何概型的概率，以及利用定積分求區域面積，屬于中檔題．10．〔5分〕設雙曲線=1〔a＞0〕的漸近線方程為3x±4y=0，那么雙曲線的離心率為〔〕A．B．C．D．考點：雙曲線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：利用雙曲線=1〔a＞0〕的漸近線方程為3x±4y=0，確定雙曲線方程，求出幾何量，利用離心率公式，即可得到結論．解答：解：∵雙曲線=1〔a＞0〕的漸近線方程為3x±4y=0，∴∴a=4∴∴雙曲線的離心率e=應選B．點評：此題考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于根底題．11．〔5分〕〔2023?延慶縣一模〕一四面體的三視圖如下圖，那么該四面體四個面中最大的面積是〔〕A．2B．C．D．考點：由三視圖求面積、體積．專題：探究型．分析：根據三視圖，得到四面體的直觀圖，然后判斷四個面中的最大面積即可．解答：解：將該幾何體放入邊長為2的正方體中，由三視圖可知該四面體為D﹣BD1C1，由直觀圖可知，最大的面為BD1C1．在等邊三角形BD1C1中，所以面積應選D．點評：此題主要考查三視圖的識別和判斷，將幾何體放入正方體中去研究，是解決此題的關鍵．12．〔5分〕〔2023?廣州一模〕設函數f〔x〕的定義域為D．如果?x∈D，?y∈D，使〔C為常數〕成立，那么稱函數f〔x〕在D上的均值為C，給出以下四個函數①y=x3；③y=lnx；④y=2sinx+1，那么滿足在其定義域上均值為1的函數的個數是〔〕A．1B．2C．3D．4考點：函數的值域．專題：壓軸題；新定義．分析：根據在其定義域上均值為1的函數的定義，逐一對四個函數列出方程，解出y關于x的表達式，其中①③④在其定義域內有解，②在其定義域內無解，從而得出正確答案．解答：解：①對于函數y=x3，定義域為R，設x∈R，由，得y3=2﹣x3，所以∈R，所以函數y=x3是定義域上均值為1的函數；②對于，定義域為R，設x∈R，由，得，當x=﹣2時，，不存在實數y的值，使，所以該函數不是定義域上均值為1的函數；③對于函數y=lnx，定義域是〔0，+∞〕，設x∈〔0，+∞〕，由，得lny=2﹣lnx，那么y=e2﹣lnx∈R，所以該函數是定義域上均值為1的函數；④對于函數y=2sinx+1，定義域是R，設x∈R，由，得siny=﹣sinx，因為﹣sinx∈[﹣1，1]，所以存在實數y，使得siny=﹣sinx，所以函數y=2sinx+1是定義域上均值為1的函數．所以滿足在其定義域上均值為1的函數的個數是3．應選C．點評：此題著重考查了函數的值域，屬于根底題．熟練掌握各根本初等函數的定義域和值域是解決此題的關鍵．二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分，請把答案填在答題卡的橫線上．13．〔4分〕〔2023?豐臺區一模〕變量x，y滿足約束條件，那么z=2x+y的最大值為2．考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：先畫出線性約束條件表示的可行域，再將目標函數賦予幾何意義，最后利用數形結合即可得目標函數的最值．解答：解：畫出可行域如圖陰影局部，由得A〔1，0〕目標函數z=2x+y可看做斜率為﹣2的動直線，其縱截距越大z越大，由圖數形結合可得當動直線過點A〔1，0〕時，z最大=2×1+0=2．故答案為：2．點評：此題主要考查了線性規劃，以及二元一次不等式組表示平面區域的知識，數形結合的思想方法，屬于根底題．14．〔4分〕〔2023?延慶縣一模〕，，向量與的夾角為60°，那么=．考點：數量積表示兩個向量的夾角．專題：平面向量及應用．分析：由條件求得利用兩個向量的數量積的定義求得、、的值，再求得的值，即可得到的值解答：解：∵，，向量與的夾角為60°，∴=1，=4，=1×2×cos60°=1，．∴=++2=1+4+2=7，∴=，故答案為．點評：此題主要考查兩個向量的數量積的定義，求向量的模的方法，屬于中檔題．15．〔4分〕〔2023?揭陽一模〕某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為400元．假設每批生產x件，那么平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品40件．考點：根本不等式．專題：應用題．分析：設平均每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和為y，那么y=，整理后利用根本不等式可求最小值及相應的x解答：解：設平均每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和為y，那么，當且僅當，即x=40時“=〞成立，故每批應生產產品40件故答案為：40點評：此題主要考查了根本不等式在求解實際問題中的最值中的應用，解題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題16．〔4分〕下面的數組均由三個數組成，它們是：〔1，2，3〕、〔2，4，6〕、〔3，8，11〕、〔4，16，20〕、〔5，32，37〕、…、〔an，bn，cn〕，假設數列{cn}的前n項和為Mn，那么M10=2101．考點：數列的求和．專題：計算題；壓軸題．分析：根據給出的數組歸納出cn=an+bn，再表示出M10=〔1+2+…+10〕+〔2+4+…+210〕，利用等差和等比數列的前n項和公式進行求解．解答：解：由題意得，cn=an+bn，∴M10=〔a1+a2+…+a10〕+〔b1+b2+…+b10〕=〔1+2+…+10〕+〔2+4+…+210〕=55+=2101，故答案為：2101．點評：此題考查了等差和等比數列的前n項和公式的應用，關鍵是利用歸納推理求出通項公式，考查了學生的觀察能力．三、解答題：本大題共6小題，共74分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．請在答題卡各自題目的答題區域內作答．17．〔12分〕近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病．為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表：患心肺疾病不患心肺疾病合計男20525女101525合計302050〔Ⅰ〕用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？〔Ⅱ〕在上述抽取的6人中選2人，求恰有一名女性的概率；〔Ⅲ〕為了研究心肺疾病是否與性別有關，請計算出統計量K2，你有多大的把握認為心肺疾病與性別有關？下面的臨界值表供參考：P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828〔參考公式，其中n=a+b+c+d〕考點：獨立性檢驗的應用；分層抽樣方法．專題：應用題．分析：〔I〕根據分層抽樣的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先計算了抽取比例，再根據比例即可求出男性應該抽取人數．〔II〕在上述抽取的6名學性中，女性的有2人，男性4人．女性2人記A，B；男性4人為c，d，e，f，列出其一切可能的結果組成的根本領件個數，通過列舉得到滿足條件事件數，求出概率．〔III〕根據所給的公式，代入數據求出臨界值，把求得的結果同臨界值表進行比擬，看出有多大的把握認為心肺疾病與性別有關．解答：解：〔I〕在患心肺疾病的人群中抽6人，那么抽取比例為=，∴男性應該抽取20×=4人…．〔4分〕〔II〕在上述抽取的6名學生中，女性的有2人，男性4人．女性2人記A，B；男性4人為c，d，e，f，那么從6名學生任取2名的所有情況為：〔A，B〕、〔A，c〕、〔A，d〕、〔A，e〕、〔A，f〕、〔B，c〕、〔B，d〕、〔B，e〕、〔B，f〕、〔c，d〕、〔c，e〕、〔c，f〕、〔d，e〕、〔d，f〕、〔e，f〕共15種情況，其中恰有1名女生情況有：〔A，c〕、〔A，d〕、〔A，e〕、〔A，f〕、〔B，c〕、〔B，d〕、〔B，e〕、〔B，f〕，共8種情況，故上述抽取的6人中選2人，恰有一名女性的概率概率為P=．…．〔8分〕〔III〕∵K2≈8.333，且P〔k2≥7.879〕=0.005=0.5%，那么，我們有99.5%的把握認為是否患心肺疾病是與性別有關系的．…．〔12分〕點評：此題是一個統計綜合題，包含獨立性檢驗和概率，此題通過創設情境激發學生學習數學的情感，幫助培養其嚴謹治學的態度．18．〔12分〕〔2023?龍泉驛區模擬〕函數f〔x〕=．〔Ⅰ〕求函數f〔x〕的最小值和最小正周期；〔Ⅱ〕△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=3，f〔C〕=0，假設向量與共線，求a，b的值．考點：正弦定理；三角函數的化簡求值；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的定義域和值域．專題：計算題．分析：〔Ⅰ〕利用三角函數的恒等變換化簡函數f〔x〕的解析式為sin〔2x﹣〕﹣1，由此求出最小值和周期．〔Ⅱ〕由f〔C〕=0可得sin〔2C﹣〕=1，再根據C的范圍求出角C的值，根據兩個向量共線的性質可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理得9=，求出a，b的值．解答：解：〔Ⅰ〕函數f〔x〕==﹣﹣1=sin〔2x﹣〕﹣1，∴f〔x〕的最小值為﹣2，最小正周期為π．…〔5分〕〔Ⅱ〕∵f〔C〕=sin〔2C﹣〕﹣1=0，即sin〔2C﹣〕=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．…〔7分〕∵向量與共線，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得b=2a，①…〔9分〕∵c=3，由余弦定理得9=，②…〔11分〕解方程組①②，得a=b=2．…〔13分〕點評：此題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的周期性、定義域和值域，兩個向量共線的性質，正弦定理、余弦定理的應用，屬于中檔題．19．〔12分〕〔2023?虹口區二模〕復數zn=an+bn?i，其中an∈R，bn∈R，n∈N*，i是虛數單位，且，z1=1+i．〔1〕求數列{an}，{bn}的通項公式；〔2〕求和：①z1+z2+…+zn；②a1b1+a2b2+…+anbn．考點：等差數列與等比數列的綜合；數列的求和；復數代數形式的乘除運算．專題：等差數列與等比數列．分析：〔1〕由zn=an+bn?i，取n=1后得到z1=a1+b1?i，結合條件求出a1，b1．再由，把zn=an+bn?i代入后由復數相等可得數列{an}，{bn}分別為等比數列和等差數列，那么數列{an}，{bn}的通項公式可求；〔2〕①直接由等比數列和等差數列的前n項和公式化簡，②由錯位相減法進行求解．解答：解：〔1〕∵z1=a1+b1?i=1+i，∴a1=1，b1=1．由，得an+1+bn+1?i=2〔an+bn?i〕+〔an﹣bn?i〕+2i=3an+〔bn+2〕?i，∴，∴數列{an}是以1為首項公比為3的等比數列，數列{bn}是以1為首項公差為2的等差數列，∴，bn=2n﹣1；〔2〕由〔1〕知，bn=2n﹣1．①z1+z2+…+zn=〔a1+a2+…+an〕+〔b1+b2+…+bn〕?i=〔1+31+32+…+3n﹣1〕+〔1+3+5+??+2n﹣1〕?i=．②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbn，〔Ⅰ〕將〔Ⅰ〕式兩邊乘以3得，〔Ⅱ〕將〔Ⅰ〕減〔Ⅱ〕得．∴，所以．點評：此題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數相等的條件，考查了等差關系和等比關系確實定，考查了數列的和，由等差數列和等比數列的積構成的數列，求和的方法是錯位相減法．是中檔題．20．〔12分〕〔2023?大興區一模〕如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1〔Ⅰ〕求證：直線A1D⊥B1C1〔Ⅱ〕判斷A1B與平面ADC1的位置關系，并證明你的結論．考點：直線與平面垂直的性質；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關系與距離．分析：〔I〕利用直三棱柱的性質即可得出四邊形BCC1B1是平行四邊形，AA1⊥面ABC，∴BC∥B1C1，AA1〔II〕利用平行四邊形的性質、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；解答：證明：〔Ⅰ〕在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∴AA1在等邊△ABC中，D是BC中點，∴AD⊥BC∵在平面A1AD中，A1A∩AD=A，∴BC⊥面A1又∵A1D?面A1AD，∴A1D⊥BC在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形BCC1B1是平行四邊形，∴B1C∴A1D⊥B1C〔Ⅱ〕在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形ACC1A在平行四邊形ACC1A1中聯結A1C，交于AC故O為A1C在三角形A1CB中，D為BC中點，O為A1C中點，∴DO∥A1因為DO?平面DAC1，A1B?平面DAC1，∴A1B∥面ADC1∴A1B與面ADC1平行．點評：熟練掌握直三棱柱的性質、等邊三角形的性質、線面垂直的判定和性質定理、平行四邊形的性質、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理是就如同的關鍵．21．〔12分〕橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2點A在橢圓C上，=0，，，過點F2且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點．〔Ⅰ〕求橢圓C的方程；〔Ⅱ〕線段OF2上是否存在點M〔m，0〕，使得假設存在，求出實數m的取值范圍；假設不存在，說明理由．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．專題：向量與圓錐曲線．分析：〔Ⅰ〕利用，可得∠AF1F2=90°．由，利用夾角公式可得cos∠F1AF2=．又=2，解得，．即可得到2a==4，c=1，即可得到b2=a2﹣c2，進而得到橢圓方程；〔II〕存在這樣的點M符合題意．設線段PQ的中點為N，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，N〔x0，y0〕，直線PQ的斜率為k〔k≠0〕，注意到F2〔1，0〕，那么直線PQ的方程為y=k〔x﹣1〕，與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，利用中點坐標公式即可得到點N，再利用向量可得，因此PQ⊥MN，利用k?kMN=﹣1即可得到m與k的關系．解答：解：〔Ⅰ〕∵，∴∠AF1F2=90°．∵，∴cos∠F1AF2=．又=2，解得，．∴2a==4，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，即所求橢圓方程為．〔Ⅱ〕存在這樣的點M符合題意．設線段PQ的中點為N，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，N〔x0，y0〕，直線PQ的斜率為k〔k≠0〕，注意到F2〔1，0〕，那么直線PQ的方程為y=k〔x﹣1〕，由消去y得：〔4k2+3〕x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以，故，y0=k〔x0﹣1〕=．又點N在直線PQ上，所以N，由可得，∴PQ⊥MN，∴kMN=，整理得=，所以，在線段OF2上存在點M〔