第三章§2、一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知函數y＝f(x)在x＝a處可導，則eq\o(lim,\s\do5(h→a))eq\f(fh－fa,h－a)等于()A．f(a) B．f′(a)C．f(h) D．f′(h)解析：令Δx＝h－a，則h＝a＋Δx故：eq\o(lim,\s\do5(h→a))eq\f(fh－fa,h－a)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→a))eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝f′(a)．答案：B2．一個物體的運動方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是m，t的單位是s，那么物體在3s末的瞬時速度是()A．7m/s B．C．5m/s D．解析：∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s3＋Δt－s3,Δt)＝eq\f(1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32,Δt)＝eq\f(Δt2＋5Δt,Δt)＝Δt＋5∴s′(3)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(Δt＋5)＝5.答案：C3．下列點中，在曲線y＝x2上，且在此點處的切線傾斜角為eq\f(π,4)的是()A．(0,0) B．(2,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：k＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.∵傾斜角為eq\f(π,4)，∴k＝1.∴2x＝1，x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，故選D.答案：D4．直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則b的值為()A．3 B．－3C．5 D．－5解析：由題意切點A(1,3)在直線y＝kx＋1上．∴3＝k＋1，得斜率k＝2，又∵y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋ax＋Δx＋b－x3－ax－b,Δx)＝3x3＋a＝k＝2即3x2＋a＝2∴把x＝1代入上述方程得a＝－1，再把切點A(1,3)坐標和a＝－1代入曲線方程得b＝3.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知函數y＝2x2＋4x＋1，則y′|x＝－1＝______，y′|x＝3＝______.解析：當x＝－1時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2－1＋Δx2＋4－1＋Δx＋1－[2×－12＋4－1＋1],Δx)＝2Δx當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→0，當x＝3時，eq\f(Δy,Δx)＝16＋2Δx，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→16.答案：0166．過點P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線平行的直線方程是________．解析：y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2＋3Δx)＝2.所以直線的斜率為2，所以所求直線的方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0答案：2x－y＋4＝0三、解答題(每小題10分，共20分)7．利用導數的定義求函數y＝eq\f(1,\r(x))在x＝1處的導數．解析：Δy＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－eq\f(1,\r(1))＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,\r(1＋Δx)·1＋\r(1＋Δx))，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx)).當Δx無限趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)無限趨近于－eq\f(1,2).∴f′(1)＝－eq\f(1,2).8．求經過點(2,0)且與曲線y＝eq\f(1,x)相切的直線方程．解析：可以驗證點(2,0)不在曲線上，設切點為P(x0，y0)．由y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(－Δx,Δx·x0＋Δx·x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(－1,x0x0＋Δx)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).故所求直線方程為y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．由點(2,0)在所求的直線上，得xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲線y＝eq\f(1,x)上，得x0y0＝1，聯立可解得x0＝1，y0＝1，所以直線方程為x＋y－2＝0.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)已知曲線y＝x2＋1，是否存在實數a，使得經過點(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx2＋1－x2＋1,Δx)＝2x＋Δx則y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x，設切點為P(x0，y0)，則切線的斜率為k＝f′(x0)＝2x0，由點斜式可得，所求切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)又因為切線過(1，a)，則y0＝xeq\o\al(2,0)＋1，所以a－(xeq