§1正整數指數函數1.了解正整數指數函數模型的實際背景．2.了解正整數指數函數的概念．(重點)3.理解具體的指數函數的圖像特征．(重點)4.會用正整數指數函數解決某些實際問題．(難點)[基礎·初探]教材整理正整數指數函數的概念閱讀教材P61～P63有關內容，完成下列問題．1.一般地，函數y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數指數函數，其中x是自變量，定義域是正整數集N＋.2.正整數指數函數的圖像特點前面我們學習過的一次函數與二次函數，它們的圖像是連續不間斷的，而正整數指數函數的圖像是在第一象限內的一群孤立的點．3.當0<a<1時，y＝ax(x∈N＋)是減函數，當a>1時，y＝ax(x∈N＋)是增函數．4.指數型函數把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函數稱為指數型函數．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正整數指數函數的定義域為N.()(2)正整數指數函數的圖像是間斷的．()(3)函數y＝2·3x，x∈N＋是正整數指數函數．()【答案】(1)×(2)√(3)×[小組合作型]正整數指數函數的定義(1)下列函數中是正整數指數函數的是()A．y＝10x＋1，(x∈N＋) B．y＝(－2)x，(x∈N＋)C．y＝5·2x，(x∈N＋) D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，(x∈N＋)(2)函數y＝(a2－3a＋3)ax是正整數指數函數，則a【精彩點撥】明確正整數指數函數的結構形式是求解本例的關鍵．【嘗試解答】(1)A中y＝10x＋1的指數為x＋1，而不是x，故不是正整數指數函數；B中y＝(－2)x的底數－2<0，故不是正整數指數函數；C中y＝5·2x的系數為5，不是1，故不是正整數指數函數；D中y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x符合正整數指數函數的定義．(2)由正整數指數函數定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0，a≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2或1，,a>0，a≠1，))∴a＝2.【答案】(1)D(2)21.正整數指數函數解析式的基本特征：ax前面的系數必須是1，自變量x∈N＋，且x在指數的位置上，底數a是大于零且不等于1的常數．2.要注意正整數指數函數y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)與冪函數y＝xa的區別．[再練一題]1.正整數指數函數f(x)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，則f(x)＝______. 【導學號：04100039】【解析】設f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∴a2＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(\r(2),2)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，x∈N＋.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，x∈N＋正整數指數函數的圖像與性質(1)畫出函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)的圖像，并說明函數的單調性；(2)畫出函數y＝3x(x∈N＋)的圖像，并說明函數的單調性．【精彩點撥】使用描點法畫圖像，但因為函數的定義域是N＋，所以圖像應是一些孤立的點，畫圖像時就沒有“連線”步驟了．【嘗試解答】(1)函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)的圖像如圖①所示，從圖像可知，函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)是單調遞減的．(2)函數y＝3x(x∈N＋)的圖像如圖②所示，從圖像可知，函數y＝3x(x∈N＋)是單調遞增的．①②1.正整數指數函數是函數的一個特例，它的定義域是由一些正整數組成的集合，它的圖像是由一些孤立的點組成的．2.當0<a<1時，y＝ax(x∈N＋)是減函數；當a>1時，y＝ax(x∈N＋)是增函數．[再練一題]2.若函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的定義域為{1,2,3,4,5}，則函數的值域為________．【解析】當x＝1時，f(x)＝eq\f(1,3)，當x＝2時，f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9)，當x＝3時，f(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，當x＝4時，f(4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81)，當x＝5時，f(5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5＝eq\f(1,243).所以函數f(x)的值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,9)，\f(1,27)，\f(1,81)，\f(1,243))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,9)，\f(1,27)，\f(1,81)，\f(1,243)))[探究共研型]正整數指數函數的應用探究1某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1個細胞分裂次數分別為1,2,3,4,5時，得到的細胞個數嗎？用圖像表示呢？【提示】分裂次數(n)12345細胞個數(y)2481632探究2請你寫出探究1中得到的細胞個數y與分裂次數n之間的函數關系式．【提示】細胞個數y與分裂次數n之間的關系式為y＝2n，n∈N＋.霧霾對人的身體健康的危害日益嚴重，患呼吸道疾病的人數明顯增多，據不完全統計，某地從2023年到2023年間平均每年上升2%.若按這個增長率進行研究，設從2023年開始經過x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人數為y人，若2023年患病人數為11萬人：(參考數據≈,≈(1)試計算出2023年患呼吸道疾病的人數；(2)寫出x，y之間的關系式，并計算2023年患呼吸道疾病的人數．【精彩點撥】利用正整數指數型函數模型，列出關系式，計算．【嘗試解答】(1)設2023年患病人數為a萬人，則a(1＋2%)5≈11，即a×≈11.∵≈，∴a≈10(萬人)，∴2023年患呼吸道疾病的人數約10萬人．(2)2023年患病的人數為10(1＋20%)，2023年患病的人數為10(1＋20%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2023年患病的人數為10(1＋20%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3.…x年后患病的人數為10(1＋20%)x.故y＝10(1＋2%)x＝10×(x∈N＋)，在2023年，x＝8，故患病人數y≈10×＝10××≈10××＝(萬人)．∴2023年患呼吸道疾病的人數約萬人．1.由特殊到一般的歸納方法是探究增長型函數問題常用的手段．2.在實際問題中，對于平均增長率的問題，如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產值或總產量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．[再練一題]3.日本福島核電站爆炸中釋放的碘-131不斷衰變，每經過8天(周期)剩留的這種物質是原來的50%，寫出這種物質的剩留量y隨時間x(周期)變化的函數解析式．【解】設這種物質最初的質量是1，經過x個周期，剩留量是y.經過1個周期，剩留量y＝1×50%＝；經過2個周期，剩留量y＝(1×50%)×50%＝；…經過x個周期，剩留量y＝(x∈N＋).1.給出下列函數：①y＝πx；②y＝4－x；③y＝x3；④y＝(1－eq\r(2))x.當x∈N＋時，是正整數指數函數的個數為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由正整數指數函數的定義，知①y＝πx，②y＝4－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x是正整數指數函數．【答案】B2.函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x∈N＋是()A．增函數 B．減函數C．奇函數 D．偶函數【解析】正整數指數函數，不具備奇偶性，故C、D錯誤，因為函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x∈N＋的底數0<eq\f(1,2)<1，故此函數是減函數．【答案】B3.指數型函數y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域為________．【解析】當x＝1,2,3,4,5時，y＝2,4,8,16,32，故y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域為{2,4,8,16,32}．【答案】{2,4,8,16,32}4.某藥品經過兩次降價，每瓶的零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率相同，設為x，則求兩次降價的百分率列出的方程為________．【導學號：04100040】【解析】由題意，兩次降價后的藥品價格滿足100(1－x)2＝81.【答案】100(1－x)2＝815.由于某款手機的制作成本不斷降低，若五年內每年手機價格降低原來的eq\f(1,3)，設現在的手機價格為8100元．(1)寫出手機價格y隨年數x的變化的關系式，并寫出