第三章統計案例回歸分析的基本思想及其初步應用第2課時殘差分析A級基礎鞏固一、選擇題1．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性做實驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數r與殘差平方和m如下表所示：分類甲乙丙丁rm106115124103則哪位同學的試驗結果體現A、B兩變量有更強的線性相關性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：r越接近1，相關性越強，殘差平方和m越小，相關性越強，所以選D正確．答案：D2．為了表示n個點與相應直線在整體上的接近程度，我們常用的表示法為()解析：由回歸直線方程可知，為一個量的估計值，而yi為它的實際值，在最小二乘估計中（yi－a－bxi）2，即（yi－）2.答案：C3.甲、乙、丙、丁4位同學各自對A，B兩變量進行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和如下表所示：分類甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103哪位同學的試驗結果體現擬合A，B兩變量關系的模型擬合精度高（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析：根據線性相關的知識，散點圖中各樣本點條狀分布越均勻，同時保持殘差平方和越小（對于已經獲取的樣本數據，R2的表達式中為確定的數，則殘差平方和越小，R2越大)，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗結果知丁要好些．答案：D4．通過殘差圖我們發現在采集樣本點過程中，樣本點數據不準確的是()A．第四個 B．第五個C．第六個 D．第八個解析：由題圖可知，第六個的數據偏差最大，所以第六個數據不準確．答案：C5．如圖所示，5個(x，y)數據，去掉D(3，10)后，下列說法錯誤的是()A．相關系數r變大B．殘差平方和變大C．相關指數R2變大D．解釋變量x與預報變量y的相關性變強解析：由散點圖知，去掉D后，x與y的相關性變強，且為正相關，所以r變大，R2變大，殘差平方和變小．答案：B二、填空題6．若一組觀測值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒為0，則R2為________．解析：由ei恒為0，知yi＝eq\o(y,\s\up12(^))i，即yi－eq\o(y,\s\up12(^))i＝0，答案：17．x，y滿足如下表的關系：xy1則x，y之間符合的函數模型為________．解析：通過數據發現y的值與x的平方值比較接近，所以x，y之間的函數模型為y＝x2.答案：y＝x28．關于x與y，有如下數據：x24568y3040605070有如下的兩個模型：(1)eq\o(y,\s\up12(^))＝＋；(2)eq\o(y,\s\up12(^))＝7x＋17.通過殘差分析發現第(1)個線性回歸模型比第(2)個擬合效果好．則Req\o\al(2,1)________Req\o\al(2,2)，Q1________Q2(用大于，小于號填空，R，Q分別是相關指數和殘差平方和)．解析：根據相關指數和殘差平方和的意義知Req\o\al(2,1)＞Req\o\al(2,2)，Q1＜Q2.答案：＞＜三、解答題9．在實驗中得到變量y與x的數據如下表所示：x78335y由經驗知，y與eq\f(1,x)之間具有線性相關關系，試求y與x之間的回歸曲線方程，并預測x0＝時，y0的值．解：令u＝eq\f(1,x)，由題目所給數據可得下表所示的數據：序號uiyiueq\o\al(2,i)uiyi12255912139001230411512合計56計算得eq\o(b,\s\up12(^))＝，eq\o(a,\s\up12(^))＝.所以eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.所以試求回歸曲線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋eq\f,x).當x0＝時，y0＝＋eq\f,≈.10．關于x與y有以下數據：x24568y3040605070已知x與y線性相關，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up12(^))＝.(1)求y與x的線性回歸方程；(2)現有第二個線性模型：eq\o(y,\s\up12(^))＝7x＋17，且R2＝.若與(1)的線性模型比較，哪一個線性模型擬合效果比較好，請說明理由．解：(1)依題意設y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋eq\o(a,\s\up12(^)).eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，因為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋eq\o(a,\s\up12(^))經過(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y)))，所以y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.所以50＝×5＋eq\o(a,\s\up12(^)).所以eq\o(a,\s\up12(^))＝.(2)由(1)的線性模型得yi－yi與yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))的關系如下表所示：yi－yi－－10－yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－20－1010020由于Req\o\al(2,1)＝，R2＝知Req\o\al(2,1)＞R2，所以(1)的線性模型擬合效果比較好．B級能力提升1．在研究身高和體重的關系時，得到的結論是“身高解釋了64%的體重變化，而隨機誤差貢獻了剩余的36%，所以身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多”，則求得的相關指數R2≈()A． B．C． D．解析：根據相關指數的意義知R2≈.答案：B2．若某函數型相對一組數據的殘差平方和為89，其相關指數為，則總偏差平方和為________，回歸平方和為________．解析：因為R2＝1－eq\f(殘差平方和,總偏差平方和)，0．95＝1－eq\f(89,總偏差平方和)，所以總偏差平方和為1780；回歸平方和＝總偏差平方和－殘差平方和＝1780－89＝1691.答案：178016913．某運動員訓練次數與成績之間的數據關系如下：次數x3033353739444650成績y3034373942464851(1)作出散點圖；(2)求出回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計算相關指數R2；(5)試預測該運動員訓練47次及55次的成績．解：(1)作出該運動員訓練次數(x)與成績(y)之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關關系．(2)eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝,＝13180，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝－88.所以回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝－88.(3)作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區域中，說明選用的模型比