選修2-3第二章一、選擇題1．已知一次考試共有60名同學參加，考生的成績X～N(110,52)，據此估計，大約應有57人的分數在下列哪個區間內eq\x(導學號03960552)()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115][答案]C[解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考試成績在區間(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分別應是,,.由于一共有60人參加考試，∴成績位于上述三個區間的人數分別是：60×≈41人，60×≈57人，60×≈60人．故選C．2．(2023·武漢高二檢測)某班有50名學生，一次考試后數學成績ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝，則估計該班學生數學成績在120分以上的人數為eq\x(導學號03960553)()A．10 B．9C．8 D．7[答案]C[解析]∵考試的成績ξ服從正態分布N(110,102)，∴考試成績ξ的概率分布關于ξ＝110對稱，∵P(100≤ξ≤110)＝，∴P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝eq\f(1,2)(1－×2)＝，∴該班數學成績在120分以上的人數為×50＝8.故選C．3．如圖是當σ取三個不同值σ1，σ2，σ3時的三種正態曲線，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是eq\x(導學號03960554)()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3[答案]D[解析]由正態曲線的特點知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又eq\f(1,\r(2π)σ2)＝eq\f(1,\r(2π))，∴σ2＝1.故選D．4．某廠生產的零件外直徑X～N,，單位mm，今從該廠上、下午生產的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認為eq\x(導學號03960555)()A．上、下午生產情況均為正常B．上、下午生產情況均為異常C．上午生產情況正常，下午生產情況異常D．上午生產情況異常，下午生產情況正常[答案]C[解析]根據3σ原則，在(8－3×,8＋3×]即,]之外時為異常．結合已知可知上午生產情況正常，下午生產情況異常．5．某市進行一次高三教學質量抽樣檢測，考試后統計的所有考生的數學成績服從正態分布．已知數學成績平均分為90分，60分以下的人數占10%，則數學成績在90分至120分之間的考生人數所占百分比約為eq\x(導學號03960556)()A．10% B．20%C．30% D．40%[答案]D[解析]由條件知μ＝90，P(ξ<60)＝，∴P(ξ>120)＝，∴P(90≤ξ<120)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ<60)]＝eq\f(1,2)×(1－＝，故選D．6．以Φ(x)表示標準正態總體在區間(－∞，x)內取值的概率，若隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，則概率P(|ξ－μ|<σ)等于eq\x(導學號03960557)()A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ))) D．2Φ(μ＋σ)[答案]B[解析]設η＝eq\f(|ξ－μ|,σ)，則P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故選B．二、填空題7．正態變量的概率密度函數f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－32,2)，x∈R的圖象關于直線________對稱，f(x)的最大值為\x(導學號03960558)[答案]x＝3eq\f(1,\r(2π))8．設隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<1)＝________.eq\x(導學號03960559)[答案]eq\f(1,2)－p[解析]∵隨機變量X～N(μ，σ2)，∴x＝μ是圖象的對稱軸，∵P(X<1)＝eq\f(1,2)，∴μ＝1.∵P(X>2)＝p，∴P(X<0)＝p，則P(0<X<1)＝eq\f(1,2)－p.9．(2023·宜昌高二檢測)已知隨機變量ξ服從正態分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，則P(0<ξ<2)等于\x(導學號03960560)[答案][解析]∵ξ～N(2，σ2)，∴P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝.∴P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝eq\f(1,2)×[1－2P(ξ≥4)]＝eq\f(1,2)×[1－2×]＝.三、解答題10．某個工廠的工人月收入服從正態分布N(500,202)，該工廠共有1200名工人，試估計月收入在440元以下和560元以上的工人大約有多少？eq\x(導學號03960561)[解析]設該工廠工人的月收入為ξ，則ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在區間(500－3×20,500＋3×20)內取值的概率是，該區間即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大約有1200×(1－＝1200×≈3(人)．一、選擇題1．(2023·湖北理，4)設X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是eq\x(導學號03960562)()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對任意正數t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[答案]C[解析]由圖象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)<P(Y≥μ1)，∴A錯；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，∴B錯；對任意實數t，P(X≥t)<P(Y≥t)，∴D錯，P(X≤t)≥P(Y≤t)，∴C正確，故選C．2．(2023·黑龍江省龍東南四校高二檢測)隨機變量ξ服從正態分布N(40，σ2)，若P(ξ≤30)＝，則P(30<ξ<50)＝eq\x(導學號03960563)()A． B．C． D．[答案]C[解析]根據題意，由隨機變量ξ服從正態分布N(40，σ2)，P(ξ≤30)＝，則可知P(30<ξ<50)＝1－P(ξ≤30)－P(ξ≥50)＝1－×2＝，故選C．二、填空題3．某廠生產的零件尺寸服從正態分布N(25,，為使該廠生產的產品有95%以上的合格率，則該廠生產的零件尺寸允許值范圍為\x(導學號03960564)[答案],[解析]正態總體N(25,在區間(25－2×，25＋2×內取值的概率在95%以上，故該廠生產的零件尺寸允許值范圍為,．4．設某城市居民私家車平均每輛車每月汽油費用為隨機變量ξ(單位為：元)，經統計得ξ～N(520,14400)，從該城市私家車中隨機選取容量為10000的樣本，其中每月汽油費用在(400,640)之間的私家車估計有________輛.eq\x(導學號03960565)(附：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝[答案]6826[解析]由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝，∴每月汽油費用在(400,640)之間的私家車估計有：×10000＝6826.三、解答題5．一投資者在兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利潤X(萬元)分別服從正態分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大，那么他應該選擇哪一個方案？eq\x(導學號03960566)[解析]對于第一個方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)＝eq\f(1＋,2)；對于第二個方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x>5)＝eq\f(1＋P7－2<X≤7＋2,2)＝eq\f(1＋,2).顯然第二個方案“利潤超過5萬元”的概率比較大，故他應該選擇第二個方案．6．(2023·天水高二檢測)某市教育局為了了解高三學生體育達標情況，對全市高三學生進行了體能測試，經分析，全市學生體能測試成績X服從正態分布N(80，σ2)(滿分為100分)，已知P(X<75)＝，P(X≥95)＝，現從該市高三學生中隨機抽取三位同學.eq\x(導學號03960567)(1)求抽到的三位同學該次體能測試成績在區間[80,85)，[85,95)，[95,100]內各有一位同學的概率；(2)記抽到的三位同學該次體能測試成績在區間[75,85]的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望E(ξ)．[解析](1)P(80≤X<85)＝eq\f(1,