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第4節無窮小與無窮大

無窮小的比較一、無窮小二、無窮大三、無窮小的比較主講：唐輝成1

定義1.12

若函數在自變量的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,為無窮小量．簡稱無窮小．2.4.1無窮小例如，當時，，，是無窮小量；當時，是無窮小量當時，，是無窮小量．我們經常用希臘字母，，來表示無窮小量．注意：

（1）無窮小是以零為極限的變量，常數中只有零是無窮小

（2）無窮小總是和自變量的變化趨勢相關聯的，例如:

當時,為無窮小當時,就不是無窮小定理1.2函數以為極限的充分

必要條件是：可以表示為與一個無窮小量之和．即其中．無窮小的代數性質性質1

無限個無窮小之和仍是無窮小。性質2

有界變量與無窮小之積仍是無窮小。推論1

常數與無窮小之積是無窮小。推論2

有限個無窮小之積是無窮小。

定義1.10如果(或)時，相應的函數值的絕對值無限增大，則稱 當(或)時為無窮大量，簡稱無窮大.2.4.2無窮大

如果函數當時為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說“函數的極限是無窮大”并記為而且，把正值的無窮大叫做正無窮大，把負值的無窮大叫做負無窮大，分別記為例如，（1）

無窮大是個變量，不是常數

（2）

無窮大總和自變量的變化趨勢相關聯

注意：

時，,時，是無窮小例1

指出下列函數分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？

解時，,時，是無窮小時，,時，是無窮大解時，,時，是無窮大時，,時，是無窮大解時，，所以時，是無窮小時，,所以時，是正無窮大練習一1.下列函數中哪些是無窮小？哪些是是無窮大？是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大2.指出下列函數分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小

時，是無窮小時，是無窮大時，是無窮小時，是無窮大時，是無窮小時，是正無窮大解因為，所以是有界變量；例2

求．當時，是無窮小量．根據性質1.2，乘積是無窮小量．即．練習求下列函數的極限，，．我們記，，，它們都是時的無窮小量．但2.4.3無窮小的比較，，趨于零的情況10100100010000

0.10.010.0010.0001

0.20.020.0020.00020.010.00010.0000010.00000001定義1.14設、是同一變化過程中的兩個無窮小量，(2)若(是不等于零的常數)，則稱與是同階無窮小量．若，則稱與是等價無窮小量．(1)若,則稱是比高階的無窮小量．也稱是比低階的無窮小量．關于等價無窮小，有下面重要的性質．定理4–4設

~，

~，且存在，則證明：21在

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